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1、微积分教学的两个作用 10.3969/j.issn.1671-489X.2014.12.103 摘要 分析、阐述微积分教学的两个不可忽视的作用：微积分教学在对学生进行辩证唯物主义观点教育中的作用；微积分教学在对学生进行美学教育中的作用。强调教师应给予足够的重视，并不断探讨与研究充分利用微积分的知识内容对学生进行人文素质的教育。 微积分的概念与原理包含丰富的辩证思想，充分体现着辩证唯物主义观点，蕴含着丰富的哲理，是对学生进行这方面教育的很好的素材。微积分的知识内容充分地体现数学美，教师在教学中重视这方面的问题，会使学生在欣赏数学美的同时充分认识数学的本质，激发学生的学习兴趣，对于学生学好数学有积
2、极的作用。 1 微积分教学在对学生进行辩证唯物主义观点教育中的作用 下面以有限与无限的辩证关系谈谈这方面的看法。现实世界中的有限与无限，反映到人们的头脑中，经过思维的加工，构成数学中的有限与无限。 人们通过有限认识无限，从有限中找到无限例如，自然数从1开始，超过1得到2，超过2得到3，如此类推，由此产生的每一个数都是有限的；同时，由此产生的每一个数又都是可以超越的，因此自然数列无限延伸，从而在有限的发展过程中形成无限的概念。 又如，一条线段截去一半，截去之后剩下的部分再截去一半，这样的过程可以无休止地进行下去。这正是“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的朴素的无限可分的思想。从数学的观点看，这一无
3、限去半的量的过程可用无穷小量来表示。 通过上面例子的讲解，引导学生看到无限是可以认识的，它可以通过有限的个体去认识，从有限中找到无限。要使学生明白无限是反映事物发展的全过程，有限是反映事物发展全过程中的某个阶段或片段，要认识事物发展的全过程必须认识事物发展的每个阶段。 有限与无限有着质的差异例如，一个有限集与它的真子集之间是不能建立一一对应关系的。 又如，一个连续函数在任何一个有限闭区间上都是可积分的，但是在无限区间上就不一定可积分了。 对于数的有限和式的运算是满足诸如结合律、交换律以及分配律等。但是，无限多项求和式中就不能任意地使用这些运算律了，否则将导致谬误的结论。 比如，下述运算式的第三
4、步是不允许的。 在讲解这些问题时，应使学生充分认识到有限与无限的差异，在处理有限与无限的问题时不能盲目，一些定理与定律在有限与无限的过程中是不同的。 有限与无限在一定的条件下是可以转变的有限与无限的差异并非不可逾越的鸿沟，两者在一定的条件下是可以相互转化的。正是这种转化为数学应用于实际提供了有利的手段，微积分正是这种转化的重大成果。在微积分中求函数在一点的导数就体现了一个化有限为无限、又从无限认识有限的最好例证。微积分中的另一个基本问题曲边梯形面积的求法也可以说明问题。 通过这些问题的讲解，使学生明确知道，有限与无限在一定的条件下是可以相互转化的。 微积分中的直与曲、变量与常量、局部与整体、连
5、续与不连续、量变与质变、对立与统一、肯定与否定思想的体现，使人们真实地感觉到，微积分的丰富内容在对学生进行辩证唯物主义观点教育中可以起到非常好的作用。教师在教学中不应忽视这一问题，这将对学生基本素质的培养产生积极的影响。 2 微积分教学在对学生进行美学教育中的作用 在许多人的眼里，数学是抽象和复杂的，但是在这抽象与复杂的背后却有着和谐的规律，如果能够更好地理解这些规律并深入到数学中去细细品味，就会对数学有更深的认识和感受，数学的美感就会油然而生，一种完全属于数学的美将会使人豁然开朗。 数学美不是虚无缥缈、忽有忽无的，数学美也不是什么纯粹主观、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容的。数学美的基
6、本内容包含有统一美、对称美、简洁美与奇异美等。微积分的知识内容淋漓尽致地反映了数学美。 统一美微积分中最重要的几个概念（函数的连续性、导数、定积分、重积分、级数的收敛性）都是统一用极限来定义的。 牛顿-莱布尼兹公式 将不定积分与定积分统一起来，反映出不定积分与定积分的关系，同时解决了定积分的计算问题。 多元函数的积分统一归结为一元函数的积分（累次定积分）。求多元函数的导数统一归结为求一元函数的导数。 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理将函数与其导数统一起来。 微积分基本定理将当初人们作为互不相干的两种运算“微分”与“积分”统一起来。 这种知识内容反映的和谐的统一，不管是仅就内容的统一
7、还是结构的统一，或者是方法的统一，在理性认识上都给人以整体感，而给人以整体感的理性认识完全能够作为审美对象，使人产生稳定、秩序的感觉，成为一种美的享受。在教学中应使学生认识到这种统一美，这样才能使学生对数学概念、命题与方法有全局性、概括性的理解。同时还可以坚定学生学好并掌握数学的信心。 对称美数学的对称之美在微积分中体现得淋漓尽致。如：一元函数与多元函数的对称；连续变量与离散变量的对称；微分与积分的对称；无穷积分与瑕积分的对称；反常积分与级数的对称；等等。由无穷积分与瑕积分的对称，可以得到关于瑕积分的概念与所有的收敛的判别法；根据微分与积分的对称，由微分法，可以得到求原函数的各种技巧等。 微积
8、分的这种对称美不仅仅供人们欣赏，更能启发人们的思维，给人们解决数学问题提供好的方法。 比如：计算，由于被积函数为奇函数，积分区间关于原点对称，积分结果为0，看到对称美为解决数学问题带来了方便。教师在教学中要注意到微积分对称美的有关内容，不管是数学解析式的对称形式美，还是思想方法的对称美，都要给学生分析讲解透彻，这样就可以达到在欣赏美的同时启迪数学情趣、激发学生思维之目的。 简洁美数学中的简洁美是指数学事实的简单明了的表述、数学证明与计算的清晰与简洁及数学理论在逻辑结构上的严格与简单等。数学的简洁能给人以简洁、明快、准确、精炼之美感。在学习与研究数学中追求这种美感，会使人们养成说话言简意赅，做事
9、干练、不拖泥带水，做事恰到好处的习惯。 数学语言的简洁性体现了数学的简洁美，用简洁的语言揭示数学对象的本质属性是数学简洁美的重要表现形式。 数学符号与数学式子体现了数学的简洁美，用形式化的符号表现数学对象与数学思想也是数学简洁美的重要表现形式。比如：公式，结构简单，符号较少，却概括地表示出直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等五种曲线的方程；公式f(x)dx=F(x)+C结构简单，但它的内容是非常丰富的，f(x)的所有原函数是f(x)的不定积分，f(x)的不定积分用f(x)的一个原函数F(x)+C去计算。 微积分计算技巧、解决问题思想方法的简洁美在它的内容中随处可见，教师不可视而不见，应充分利用这些素材，对学生进行教育，在学习微积分的同时懂得欣赏美，增加学习情趣，培养学生的学习兴趣。 3 结语 微积分所包含的内容是非常丰富的，不仅仅是数学知识与思想，而且哲学内涵非常的丰富，美学思想充分体现。教师在教学中应不断研究与探讨，发掘数学教学内容中的人文教育因素，充分利用这些因素对学生进行教育。对于数学教学而言，这是一件很有意义工作。