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1、简述数学思想和数学方法及其在中学教材中的应用 科学的数学思想方法是培养学生数学素养的重要途径，掌握教学思想方法并应用于教学过程中，能提高教学效果。数学思想方法是数学的生命和灵魂，它永远比某一具体的思想结果更重要。具体的数学结果都有其适用范围，而同意数学方法却概括着许多数学知识并指导产生数学新知识。 一、明确数学思想方法教学的心理学意义 从心理发展规律看，进行数学思想方法教学是发展青少年思维的重要途径。初中学生的思维是以形式思维为主向辩证思维过渡，高中学生的思维则是辩证思维的形成阶段。而所谓思想方法，就是客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果，它是从大量的思维活动中获得的产物，经过反复
2、提炼和实践，一再被证明为正确的，可以反复被应用到新的思维活动中，并产生出新的结果。或者说思想方法就是那些颠扑不破、屡试不爽的思维产物。所谓数学思想方法，就是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等） 的本质认识。从学习的认知结构理论来看，进行数学思想方法教学对数学认识结构发展起着重要作用。学习的认识结构理论告诉我们，数学学习过程是一个数学认知结构的发展变化过程，在数学认知结构中，存在数学基础知识、数学思想方法、心理成分三种主要因素。这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的。所谓同化，就是主体把新的数学学习内容纳入
3、到自身原有的认知结构中去，这种纳入不是机械的囫囵吞枣式地摄入，而是把新的数学材料进行加工改造，使之与原数学学习认知结构相适应。所谓顺应，是指主体原有的数学认识结构不能有效地同化新的学习材料时，主体调整或改造原来的数学认知结构去适应新的学习材料。在同化中，数学基础知识显然不具备思维特点和能动性，不能指导加工过程的进行，就像材料本身不能自己变成产品一个道理。因而数学思想方法它不仅提供思维策略，而且还提供实施目标的具体手段。加强数学思想方法教学，使学习者极大地提高学习质量和数学能力，使其受益终生。 二、高中数学思想方法的主要内容 高中数学中的基本数学思想如下。两大“基石”思想符号化与变元表示思想（换
4、元思想、方程思想、参数思想） 与集合思想（分类思想、交集思想、补集思想） 。两大“支柱”思想对应思想（函数思想、变换思想、递归思想、数形结合思想） 与公理化与结构思想（公理化思想、结构思想、极限思想） 。两大“主梁”思想系统与统计思想（整体思想、分解组合思想、运动变化思想、最优化思想；随机思想、统计调查思想、假设检验思想、量化思想） 与化归与辩证思想（纵向化归、横向化归、同向化归、逆向化归思想， 对立统一、互变、一分为二思想） 。高中数学中的基本数学方法如下。五种科学认识方法观察与实验，比较与分类，归纳与类比，想象、直觉与顿悟。四种推理方法综合法与分析法，完全归纳法与数学归纳法，演绎法，反证法
5、与同一法。三种求解方法数学模型法，关系映射反演方法，构造法。 三、提高数学思想方法教学的意识性 对数学思想方法教学缺乏意识性是一个较普遍的问题。主要表现在制定教学目的时，对具体知识、技能训练的教学要求比较明确，而忽视数学思想方法的教学要求；教学时，往往注重知识的结论，而削弱知识形成过程中思想方法的训练；知识应用时，又偏重于就题论题，忽视数学思想方法的揭示与提炼；小结复习时，只注意知识的系统整理，忽视思想方法的归纳提高等等，致使数学教学停留在较低的层次上。 四、高中数学中的主要思想方法的简单应用 高中数学中的主要思想函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，化归与转化思想。 （一）函数与方程思
6、想就是用函数的观点、方法研究问题，将非函数问题转化为函数问题，通过对函数的研究，使问题得以解决。通常是这样进行的将问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。中学数学中，方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；几何量的变化问题也可以通过对函数值域的考察加以解决。 （二）数形结合思想数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”
7、直观地表达数，以“数”精确地研究形。华罗庚曾说“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。 （三）分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。数学中的分类有现象分类和本质分类两种，前一种分类是以分类对象的外部特征、外部关系为根据的，如复数分为实数与虚数等，这种分法看上去一目了然，但不能揭示所分对象之间的本质联系；后一种分类是按对象的本质特征、内部联系进行分类的，如函数按单调性或有界性分类，多面体按柱、锥、台分类等。 （四）化归与转化思想在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。 高中数学涉及最多的是转化思想，如超越方程代数化、三维空间平面化、复数问题实数化等，为了实现转化，相应地产生了许多的数学方法，如消元法、换元法、图象法、待定系数法、配方法等。通过这些数学方法的使用，使学生充分领略数学思想在数学领域里的地位与作用。 第 5 页