《直线与平面平行的判定和性质.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《直线与平面平行的判定和性质.doc（17页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、直线与平面平行的判定和性质教学内容：直线与平面平行的判定和性质【基础知识精讲】1.直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有如下三种关系：(1)直线在平面内直线上的所有点在平面内，根据公理1，如果直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内.直线a在平面α内，记作aα.(2)直线和平面相交直线和平面有且只有一个公共点.记作a∩α=A(3)直线和平面平行如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行.记作aα.直线和平面相交或平行两种情况统称直线在平面外，记作aα.2.直线和平面平行的判
2、定判定 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.(简记“线线平行，则线面平行”)即 ab,aα，bαaα证明 直线和平面平行的方法有：依定义采用反证法利用线面平行的判定定理面面平行的性质定理也可证明3.直线和平面平行的性质定理性质 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行(简记为“线面平行，线线平行”).即 aα,aβ，α∩β=bab.这为证线线平行积累了方法：排除异面与相交 公理4 线面平行的性质定理【重点难点解析】本节重点是
3、直线与平面的三种位置关系，直线和平面平行的判定和性质，难点是直线和平面平行的性质的应用.例1 如图，ABCD和ABEF均为平行四边形，M为对角线AC上的一点，N为对角线FB上的一点，且有AMFN=ACBF，求证：MN平面CBE.分析：欲证MN平面CBE，当然还是需要证明MN平行于平面CBE内的一条直线才行.题目上所给的是线段成比例的关系，因此本题必须通过三角形相似，由比例关系的变通，才能达到“线线平行”到“线面平行”的转化.证：连AN并延长交BE的延长线于P. BEAF，∴ ΔBNPΔFNA.∴ =，则=.即 =.又 =，=，∴
4、 =.∴ MNCP，CP平面CBE.∴ MN平面CBE.例2 一直线分别平行于两个相交平面，则这条直线与它们的交线平行.已知：α∩β=a,lα,lβ.求证：la.分析：由线面平行推出线线平行，再由线线平行推出线面平行，反复应用线面平行的判定和性质.证明：过l作平面交α于b.lα，由性质定理知lb.过l作平面交β于c.lβ，由性质定理知lc.∴ bc，显然cβ.∴ bβ.又 bα，α∩&beta
5、;=a，∴ ba.又 lb.∴ la.评注：本题在证明过程中注意文字语言、符号语言，图形语言的转换和使用.例3 如图，在正四棱锥SABCD中，P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SPPC=12，SQSB=23，SRRD=21.求证：SA平面PQR.分析：根据直线和平面平行的判定定理，必须在平面PQR内找一条直线与AS平行即可.证：连AC、BD，设交于O，连SO，连RQ交SO于M，取SC中点N，连ON，那么ONSA.∴RQBD∴=而=∴=∴PMONSAON.∴SAPM,PM平面PQR&there4
6、; SA平面PQR.评析：利用平几中的平行线截比例线段定理.三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.例4 证明：过平面上一点而与这平面的一条平行线平行的直线，在这平面上.证明 如图，设直线a平面α，点A∈α,A∈直线b,ba，欲证bα.事实上，ba，可确定平面β，β与α有公共点A，∴α，B交于过A的直线c，aα,∴ac，从而在β上有三条直线，其中b、c均过点A且都与a平行.于是b、c重合，即bα.【难题巧解点拨】
7、例1 S是空间四边形ABCD的对角线BD上任意一点，E、F分别在AD、CD上，且AEAD=CFCD，BE与AS相交于R，BF与SC相交于Q.求证：EFRQ.证 在ΔADC中，因AEAD=CFCD，故EFAC，而AC平面ACS，故EF平面ACS.而RQ=平面ACS∩平面RQEF，故EFRQ(线面平行性质定理).例2 已知正方体ABCDA′B′C′D′中，面对角线AB′、BC′上分别有两点E、F且B′E=C′F求证：EF平面AC.分析 如图，欲证EF平面AC，可证与平面AC内的一条直
8、线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行.证法1 过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MNBB′⊥平面AC ∴ BB′⊥AB，BB′⊥BC∴EM⊥AB，FN⊥BC∴EMFN，AB′=BC′，B′E=C′F∴AE=BF又∠B′AB=∠C′BC=45°∴RtΔAMERtΔBNF∴
9、EM=FN∴四边形MNFE是平行四边形∴EFMN又MN平面AC∴EF平面AC证法2 过E作EGAB交BB′于G，连GF∴=B′E=C′F，B′A=C′B∴=∴FGB′C′BC又EG∩FG=G,AB∩BC=B∴平面EFG平面AC又EF平面EFG∴EF平面AC例3 如图，四边形EFGH为四面体ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：(1)AB平面EFGH;(2)CD平面EFGH证明：
10、(1)EFGH为平行四边形，∴EFHG，HG平面ABD，∴EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB.∴EFAB，∴AB平面EFGH.(2)同理可证：CDEH，∴CD平面EFGH.评析：由线线平行线面平行线线平行.【课本难题解答】1.求证：如果两条平行线中的一条和一个平面相交，那么另一条也和这个平面相交.已知：ab,a∩α=A，求证：b和α相交.证明：假设bα或bα.若bα，ba，∴aα.这与a∩&
11、alpha;=A矛盾，∴bα不成立.若bα，设过a、b的平面与α交于c.bα,∴bc,又ab ∴ac∴aα这与a∩α=A矛盾.∴bα不成立.∴b与α相交.2.求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.已知：ab,aα，bβ，α∩β=c.求证：cab【命题趋势分析】本节主要掌握直线和平面的位置关系的判定，直线与平面平行的
12、证明与应用，它是高考中常考的内容，难度适中，因此学习好本节内容至关重要.【典型热点考题】例1 在下列命题中，真命题是( )A.若直线m、n都平行平面α，则mn;B.设αlβ是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥n，m⊥βC.若直线m、n在平面α内的射影是一个点和一条直线，且m⊥n，则n在α内或n与α平行;D.设m、n是异面直线，若m和平面α平行，则n与α相交.解 对于直线的平行有传递性，而两直线与平面的平行没有传递性故A不正确;平面与平面垂直可得出线面垂直，
13、要一直线在一平面内且垂直于交线，而B中m不一定在α内，故不正确;对D来说存在平面同时和两异面直线平行，故不正确;应选C.例2 设a、b是两条异面直线，在下列命题中正确的是( )A.有且仅有一条直线与a、b都垂直B.有一平面与a、b都垂直C.过直线a有且仅有一平面与b平行D.过空间中任一点必可作一条直线与a、b都相交解 因为与异面直线a、b的公垂线平行的直线有无数条，所以A不对;若有平面与a、b都垂直，则ab不可能，所以B不对.若空间的一点与直线a(或b)确定的平面与另一条直线b(或a)平行，则过点与a相交的直线必在这个平面内，它不可能再与另一条直线相交，所以D不对，故选C.例3 三
14、个平面两两相交得三条交线，若有两条相交，则第三条必过交点;若有两条平行，则第三条必与之平行.已知：α∩β=a,α∩=b, ∩α=c.求证：要么a、b、c三线共点，要么abc.证明：如图一，设a∩b=A，α∩β=a.∴aα而A∈a.∴A∈α.又β∩=b∴b,而A∈b.∴A∈.则A∈α，A∈，那么A在α、的交线c
15、上.从而a、b、c三线共点.如图二，若ab，显然c，b∴ a而 aα, α∩=c.∴ ac从而 abc【同步达纲练习】一、选择题1.如果直线a平行于平面α，直线ba，点A∈α，A∈b,则b与α的位置关系是( )A.bα B.bαC.bα或bα D.b∩α=A2.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的线段，那么经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )A.平行 B.相交C.AC在平面内 D.以上都有可能3.平面
16、内一点与平面外一点的连线和这个平面内的直线的关系是( )A.异面 B.相交C.异面或平行 D.异面或相交4.若AB、BC、CD是不在同一平面内的三线段，它们的中点分别是P、Q、R，且PQ=2，QR=，PR=3，则AC与BD所成角为( )A.60° B.30° C.90° D.120°5.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A.α内的所有直线都与直线a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点6.直线a平面α，P∈α，过
17、点P且平行于a的直线( )A.只有一条，不在平面α内 B.有无数条，不一定在α内C.只有一条，且在平面α内 D.有无数条，一定在α内7.下列判断正确的是( )A.aα,bα，则ab B.a∩α=P,bα，则a与b不平行C.aα，则aα D.aα,bα,则ab8.若α∩β=a,l∩α=M,l∩β=n，则a和1( )A.异面 B.可平行C.相交，平行 D.异面，平行9.若ab,b&
18、alpha;，则( )A.aα B.a∩α=AC.a与α不相交 D.以上都不对10.直线和平面平行，那么这条直线和这个平面内的( )A.一条直线不相交 B.两条相交直线不相交C.无数条直线不相交 D.任意一条直线都不相交二、填空题1.过平面外一点作一平面的平行线有 条.2.若a平面α，b平面α，那么a,b的位置关系是 .3.A、B、C、D四个点不在同一平面内，到这四点距离都相等的平面有 个.4.已知直线ab，直线aα，则b与α的位置关系是( )三、解答题1.四面体ABCD，被一平面所截，截面EFGH是一
19、个矩形.(1)求证：CD平面EFGH.(2)求异面直线AB、CD所成的角.2.已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底面ABCD的中心.求证：OC1平面AB1D1【素质优化训练】1.如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.求：(1)A点到CD1的距离.(2)A到BD1的距离.(3)A点到面BDD1B1的距离.(4)A点到面A1BD的距离.(5)AA1到面BB1D1D的距离.2.已知：空间四边形ABCD，E、F分别为AB、AD的中点.求证：EF平面BDC.3.已知：a平面α，P∈α，P∈b,且ab.求证：bα.4.用平行于四面体
20、ABCD的一组对棱AC和BD的平面截此四面体得一四边形MNPQ.如图：(1)求证：MNPQ是平行四边形.(2)若AC=BD，能截得菱形吗?如何截?(3)在什么情况下，可以截得一个矩形?(4)在什么情况下，能截得一个正方形吗?如何截?(5)若AC=BD=a，求证：平行四边形MNPQ的周长一定.(6)若AC=a，BD=b，AC和BD所成的角为θ，求平行四边形MNPQ面积的最大值，此时如何截取?【生活实际运用】教室内，日光灯管所示直线与地面平行，若想在地面上作出一条直线与灯管所示直线平行，该怎样作出?提示：只需由灯管两头和地面引两条平行线，两条相交线与地面的交点连线就是与灯管平行的直线.
21、【知识验证实验】一根长为a的木梁，它的两端悬挂在两条互相平行的，长度都为b的绳索下，木梁处于水平位置，如果把木梁绕通过它的中点的铅垂轴转动一个角度φ，那么木梁升高多少?提示 设M、N为悬挂点，AB为木梁的初始位置，那么AB=a，MANB，MA=NB=b,∠A=∠B=90°.设S为中点，L为过S的铅垂轴，那么L平面MANB，木梁绕L转动角度φ后位于CD位置，T为CD中点，那么木梁上升的高度为异面直线AB与CD之间的距离ST.在平面MANB中，作TKAB，交MA于K，则AK=ST.设ST=x，则x=b-KM.又KT=CT=，∠KTC=φ，有K
22、C=asin.从而KM=∴x=b-【知识探究学习】三棱锥OABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，底面ABC上有一点P到各侧面的距离分别为2cm、3cm、6cm，求点P到棱锥顶点O的距离.提示：如图，经过补形.OP=7cm.参考答案【同步达纲练习】一、1.B 2.A 3.D 4.C 5.B 6.D 7.B 8.A 9.C 10.D二、1.无数 2.平行、相交、异面 3.7 4.bα或bα.三、1.(1)略 (2)90°2.设正方形A1B1C1D1的中心为O1，证明AO1OC1即可.【素质优化训练】1.(1)(2)(3)(4)(5)2.略3.证：在
23、α内取一点A(A异于P).aα.∴Aa，∴a、A确定平面β，设α∩β=a′，则aa′，又ab,∴a′b.若bα，则由于b∩α=P，且Pa′.a′α.∴b与a′为异面直线，这与a′b矛盾.∴bα.教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，
24、我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。要练说，得练听。听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误
25、，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。4.(1)略 (2)当M为AB中点时 (3)当AC⊥BD (4)当AC=BD，AC⊥BD，且M为AB中点. (5)2a (6)设MQ=x,PQ=y,=.S=absinθ≤absinθ，Q为AD中点时取等号.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。第 17 页