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1、第四章 4.2 4.2.2 圆与圆的位置关系A级基础巩固一、选择题1已知圆C1：(x1)2(y3)225，圆C2与圆C1关于点(2,1)对称，则圆C2的方程是 (B)A(x3)2(y5)225B(x5)2(y1)225C(x1)2(y4)225D(x3)2(y2)225解析设C2上任一点P(x，y)，它关于(2,1)的对称点(4x,2y)在C1上，(x5)2(y1)225.2圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为 (A)Axy10B2xy10Cx2y10Dxy10解析解法一：线段AB的中垂线即两圆的连心线所在直线l，由圆心C1(1,0)，C2(1
2、,2)，得l方程为xy10.解法二：直线AB的方程为：4x4y10，因此线段AB的垂直平分线斜率为1，过圆心(1,0)，方程为y(x1)，故选A3若圆(xa)2(yb)2b21始终平分圆(x1)2(y1)24的周长，则a、b应满足的关系式是 (B)Aa22a2b30Ba22a2b50Ca22b22a2b10D3a22b22a2b10解析利用公共弦始终经过圆(x1)2(y1)24的圆心即可求得两圆的公共弦所在直线方程为：(2a2)x(2b2)ya210，它过圆心(1，1)，代入得a22a2b50.4(20162017太原高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x5)2(y7)216相外切，则动圆圆心的
3、轨迹方程是 (A)A(x5)2(y7)225B(x5)2(y7)29C(x5)2(y7)215D(x5)2(y7)225解析设动圆圆心为P(x，y)，则41，(x5)2(y7)225.故选A5两圆x2y216与(x4)2(y3)2r2(r0)在交点处的切线互相垂直，则r (C)A5B4C3D2解析设一个交点P(x0，y0)，则xy16，(x04)2(y03)2r2，r2418x06y0，两切线互相垂直，1，3y04x016.r2412(3y04x0)9，r3.6半径长为6的圆与y轴相切，且与圆(x3)2y21内切，则此圆的方程为 (D)A(x6)2(y4)26B(x6)2(y4)26C(x6)
4、2(y4)236D(x6)2(y4)236解析半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则a6，再由5可以解得b4，故所求圆的方程为(x6)2(y4)236.二、填空题7圆x2y26x70和圆x2y26y270的位置关系是_相交_.解析圆x2y26x70的圆心为O1(3,0)，半径r14，圆x2y26y270的圆心为O2(0，3)，半径为r26，|O1O2|3，r2r1|O1O2|r1r2，故两圆相交8若圆x2y24与圆x2y22ay60(a0)的公共弦长为2，则a_1_.解析两个圆的方程作差，可以得到公共弦的直线方程为y，圆心(0,0)到直线y的距离d|，于是由()2|222，解得a
5、1.三、解答题9求以圆C1：x2y212x2y130和圆C2：x2y212x16y250的公共弦为直径的圆C的方程.解析解法一：联立两圆方程，相减得公共弦所在直线方程为4x3y20.再由，联立得两圆交点坐标(1,2)、(5，6)所求圆以公共弦为直径，圆心C是公共弦的中点(2，2)，半径为5.圆C的方程为(x2)2(y2)225.解法二：由解法一可知公共弦所在直线方程为4x3y20.设所求圆的方程为x2y212x2y13(x2y212x16y25)0(为参数)可求得圆心C(，)圆心C在公共弦所在直线上，4320，解得.圆C的方程为x2y24x4y170.10判断下列两圆的位置关系.(1)C1：x
6、2y22x30，C2：x2y24x2y30；(2)C1：x2y22y0，C2：x2y22x60；(3)C1：x2y24x6y90，C2：x2y212x6y190；(4)C1：x2y22x2y20，C2：x2y24x6y30.解析(1)C1：(x1)2y24，C2：(x2)2(y1)22.圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径r12，圆C2的圆心坐标为(2，1)，半径r2，d|C1C2|.r1r22，r1r22，r1r2dr1r2，两圆相交(2)C1：x2(y1)21，C2：(x)2y29，圆C1的圆心坐标为(0,1)，r11，圆C2的圆心坐标为(，0)，r23，d|C1C2|2.r2r12，dr2
7、r1，两圆内切(3)C1：(x2)2(y3)24，C2：(x6)2(y3)264.圆C1的圆心坐标为(2,3)，半径r12，圆C2的圆心坐标为(6，3)，半径r28，|C1C2|10r1r2，两圆外切(4)C1：(x1)2(y1)24，C2：(x2)2(y3)216，圆C1的圆心坐标为(1,1)，半径r12，圆C2的圆心坐标为(2,3)，半径r24，|C1C2|.|r1r2|C1C2|0)截直线xy0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x1)2(y1)21的位置关系是 (B)A内切B相交C外切D相离解析由题知圆M：x2(ya)2a2，圆心(0，a)到直线xy0的距离d，所以22，解得a2.圆M
8、、圆N的圆心距|MN|，两圆半径之差为1、半径之和为3，故两圆相交二、填空题5若点A(a，b)在圆x2y24上，则圆(xa)2y21与圆x2(yb)21的位置关系是_外切_.解析点A(a，b)在圆x2y24上，a2b24.又圆x2(yb)21的圆心C1(0，b)，半径r11，圆(xa)2y21的圆心C2(a,0)，半径r21，则d|C1C2|2，dr1r2.两圆外切6与直线xy20和圆x2y212x12y540都相切的半径最小的圆的标准方程是_(x2)2(y2)22_.解析已知圆的标准方程为(x6)2(y6)218，则过圆心(6,6)且与直线xy20垂直的方程为xy0.方程xy0分别与直线xy
9、20和已知圆联立得交点坐标分别为(1,1)和(3,3)或(3，3)由题意知所求圆在已知直线和已知圆之间，故所求圆的圆心为(2,2)，半径为，即圆的标准方程为(x2)2(y2)22.C级能力拔高1已知圆M：x2y22mx2nym210与圆N：x2y22x2y20交于A、B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆心M的轨迹方程.解析两圆方程相减，得公共弦AB所在的直线方程为2(m1)x2(n1)ym210，由于A、B两点平分圆N的圆周，所以A、B为圆N直径的两个端点，即直线AB过圆N的圆心N，而N(1，1)，所以2(m1)2(n1)m210，即m22m2n50，即(m1)22(n2)(n2)，由于圆M的圆心M(m，n)，从而可知圆心M的轨迹方程为(x1)22(y2)(y2)2(20162017金华高一检测)已知圆O：x2y21和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|PA|成立，如图.(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值解析(1)连接OQ，OP，则OQP为直角三角形，又|PQ|PA|，所以|OP|2|OQ|2|PQ|21|PA|2，所以a2b21(a2)2(b1)2，故2ab30.(2)由(1)知，P在直线l：2xy30上，所以|PQ|min|PA|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min.6