《2018届高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程教师用书理选修4_420171014227.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018届高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第二节参数方程教师用书理选修4_420171014227.doc（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二节参数方程2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解参数方程及其参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。2016，全国卷，23,10分(参数方程求最值)2016，江苏卷，21,10分(直线方程的应用)2015，全国卷，23,10分(参数方程化普通方程)1.直线与圆的参数方程是历年高考命题的热点；2.直线与圆的参数方程与位置关系是高考的重点；3.应用参数方程求最值也是高考的重点。微知识小题练自|主|排|查1参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这
2、条曲线上，那么方程组叫做这条曲线的参数方程，t叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。2直线的参数方程过定点P0(x0，y0)且倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)，则参数t的几何意义是有向线段的数量。3圆的参数方程圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时针方向旋转到圆上一点所在半径形成的角为参数的圆的参数方程为0,2)。4椭圆的参数方程以椭圆的离心角为参数，椭圆1(ab0)的参数方程为0,2)。微点提醒1将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)
3、的值域，即x和y的取值范围。2直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离。小|题|快|练1若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的倾斜角为_。【解析】由直线的参数方程知，斜率ktan，为直线的倾斜角，所以该直线的倾斜角为150。【答案】1502曲线(为参数)的左焦点的坐标是_。【解析】化为普通方程为1，故左焦点为(4,0)。【答案】(4,0)3已知直线l1：(t为参数)与直线l2：(s为参数)垂直，则k的值是_。【解析】直线l1的方程为yx，斜率为；直线l2的方程为y2x1，斜率为2。l1与l2垂直，(2
4、)1k1。【答案】14在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知射线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_。【解析】记A(x1，y1)，B(x2，y2)，将射线转化为直角坐标方程为yx(x0)，曲线为y(x2)2，联立上述两个方程得x25x40，所以x1x25，故线段AB的中点坐标为。【答案】5在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(参数tR)，圆C的参数方程为(参数0,2)，则圆心C到直线l的距离是_。【解析】直线方程可化为xy10，圆的方程可化为(x1)2y21。由点到直线的距离公式可得，圆心C(1,0)到直线l的距离为。【
5、答案】微考点大课堂考点一 参数方程与普通方程的互化【典例1】将下列参数方程化为普通方程。(1)(t为参数)；(2)(为参数)。【解析】(1)221，x2y21。t210，t1或t1。又x，x0。当t1时，0x1，当t1时，1x0，所求普通方程为x2y21。(2)y1cos2112sin22sin2，sin2x2，y2x4，2xy40。0sin21，0x21。2x3。所求的普通方程为2xy40(2x3)。【答案】(1)x2y21(2)2xy40(2x3)反思归纳将参数方程化为普通方程的方法1将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法。常见的消参方法有：代入消参法、加减
6、消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin2cos21等。2将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解。【变式训练】将下列参数方程化为普通方程。(1)(2)【解析】(1)两式相除，得k，将其代入得x，化简得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)。(2)由(sincos)21sin22(1sin2)得y22x。又x1sin20,2，得所求的普通方程为y22x，x0,2。【答案】(1)4x2y26y0(y6)(2)y22x，x0,2考点二 直线参数方程的应用【典例2】(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(
7、t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)。设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长。【解析】椭圆C的普通方程为x21。将直线l的参数方程代入x21，得21，即7t216t0，解得t10，t2。所以|AB|t1t2|。【答案】反思归纳经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)。若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2。线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0。注意以下几个常用的结论：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|。【变式训练】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与
8、直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为2sin 。(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)设圆C与直线l交于点A、B。若点P的坐标为(3，)，求|PA|PB|。【解析】(1)由2sin ，得x2y22y0，即圆C的直角坐标方程为x2(y)25。由可得直线l的普通方程为xy30。所以圆C的圆心(0，)到直线l的距离为。(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得225，即t23t40。由于(3)24420，故可设t1，t2是上述方程的两个实根，所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义得|PA|PB|t1|t2|t1t23。【答案】(1
9、)(2)3考点三 圆的参数方程的应用【典例3】已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：(为参数)。(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)的距离的最小值。【解析】(1)曲线C1：(x4)2(y3)21，曲线C2：1，曲线C1是以(4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。(2)当t时，P(4,4)，Q(8cos，3sin)，故M。曲线C3为直线x2y70，M到C3的距离d|4cos3sin13|，从而当cos，sin时，
10、d取最小值。【答案】(1)见解析(2)反思归纳将参数方程中的参数消去便可得到曲线的普通方程，消去参数时常用的方法是代入法，有时也可根据参数的特征，通过对参数方程的加、减、乘、除、乘方等运算消去参数，消参时要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响。【变式训练】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，。(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标。【解析】(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)。可得C的参数方程为(t为参数，0t)。(2)设D(1co
11、st，sint)。由(1)知C是以C(1,0)为圆心，1为半径的上半圆。因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线CD与l的斜率相同，tant，t。故点D的直角坐标为，即。【答案】(1)(t为参数，0t)(2)考点四 椭圆参数方程的应用【典例4】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2。(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标。【解析】(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40。(2)由题意
12、，可设点P的直角坐标为(cos，sin)。因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()|sin2|。当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为。【答案】(1)C1为y21，C2为xy40(2)最小值为，P反思归纳椭圆的参数方程实质是三角代换，有关椭圆上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用椭圆的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解。【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，动圆x2y24xcos4ysin7cos280(R，为参数)的圆心轨迹为曲线C，点P在曲线C上运动。以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若
13、直线l的极坐标方程为2cos3，求点P到直线l的最大距离。【解析】将动圆的方程配方，得(x2cos)2(y2sin)293sin2，设圆心(x，y)，则(R，为参数)，即曲线C的参数方程为(R，为参数)，直线l的直角坐标方程为xy30，设点P(x1，y1)，则(R，为参数)，点P到直线l的距离d，其中tan。当sin()1时，点P到直线l的距离d取得最大值。【答案】微考场新提升1已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(为参数)。(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围。解析(1)直线l的普通方程为2xy2a0，圆C的普通方程为x2y216。
14、(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C的圆心到直线l的距离d4，解得2a2。答案(1)l为2xy2a0，C为x2y216(2)2，22在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为。(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(2)试判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在，求出两交点间的距离；若不存在，说明理由。解析(1)对于曲线C1有xy1，对于曲线C2有y21。(2)显然曲线C1：xy1为直线，则其参数方程可写为(为参数)，与曲线C2：y21联立，可得521280，可知0，所以C1与C2存在两个交
15、点，由12，12，得两交点间的距离d|21|。答案(1)C1为xy1，C2为y21(2)存在，两交点间的距离为3(2017赤峰模拟)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的极坐标方程为sin2。(1)写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的最大距离。解析(1)由sin2得(sincos)4，所以l：xy40，由得C：x21。(2)在C上任取一点P(cos，sin)，则点P到直线l的距离为d，其中cos，sin，所以当cos()1时，dmax2。答案(1)C为x21，l为xy40(2)2- 8 -