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1、专题18 向心加速度与向心力一、圆周运动中的动力学分析1向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量。公式：。2向心力：作用效果产生向心加速度，Fnman。3向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。4向心力的确定（1）确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。（2）分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力。解决圆周运动问题的主要步骤（1）审清题意，确定研究对象；（2）分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；（3）分析物体
2、的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； （4）根据牛顿运动定律及向心力公式列方程。二、竖直平面内圆周运动的绳模型与杆模型问题1在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等），称为“绳（环）约束模型”，二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管道）约束模型”。2绳、杆模型涉及的临界问题绳模型杆模型常见类型均是没有支撑的小球均是有支撑的小球过最高点的临界条件由得：由小球恰能做圆周运动得v临=0讨论分析（1）过最高点时，绳、轨道对球产生弹力（2）不能过最高点时，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道（1）
3、当v=0时，FN=mg，FN为支持力，沿半径背离圆心（2）当时，FN背向圆心，随v的增大而减小（3）当时，FN=0（4）当时，FN指向圆心并随v的增大而增大3竖直面内圆周运动的求解思路（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同。（2）确定临界点：，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点。（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况。（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合=F向。（5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个
4、状态联系起来列方程。在水平面上小猴拉着小滑块做匀速圆周运动，O点为圆心，能正确表示某时刻小滑块受到的牵引力F及摩擦力Ff的示意图是A BC D【参考答案】A【名师点睛】解决本题的关键是对滑块受力分析，根据滑动摩擦力与相对滑动方向相反得出滑动摩擦力的方向，根据匀速圆周运动的合力指向圆心，得出拉力的方向。1如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有一个小物体在随圆盘一起做匀速圆周运动。分析小物体受到的力，下列说法正确的是A重力和支持力B重力和静摩擦力C重力、支持力和静摩擦力D重力、支持力、静摩擦力和向心力【答案】C【名师点睛】向心力是根据效果命名的力，只能由其他力的合力或者分力来充当，不是真实
5、存在的力，不能说物体受到向心力。2质量不计的轻质弹性杆P插入桌面的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，且角速度为，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为ABCD不能确定【答案】C【解析】小球所受的合力提供向心力，有：F合=mR2，根据平行四边形定则得，杆对小球的作用力，故C正确，ABD错误。如图所示，轻杆的一端有一个小球，另一端有光滑的固定轴O。使球和杆一起绕轴O在竖直面内转动，不计空气阻力，下列说法正确的是A只有当小球在最高点的速度大于或等于时，小球才能做完整的圆周运动B在最高点当小球的速度小于时，杆对小球有向上的支持力C在最高点当小球
6、的速度大于时，杆对小球有向上的支持力D若将轻杆换成轻绳，只要在最高点小球的速度大于0就能在竖直平面内做完整的圆周运动【参考答案】B【名师点睛】本题关键在于求出杆无弹力的临界情况，杆对小球可以是拉力，可以是支持力，也可以没有力，而绳子对球只能是拉力。1一个半径为R的竖直固定的光滑圆环上套有一个质量为m的小球，一根轻弹簧上端固定在圆环的圆心处，下端固定在小球上，在圆环的最低处给小球水平向右的大小为的初速度，此时圆环恰好对小球没有弹力，已知重力加速度为g，下列说法正确的是A小球在圆环最低点时，弹簧的弹力大小为mgB小球在圆环最高点时圆环对小球的弹力大小为7mgC小球在圆环的最高点时弹簧的弹力比小球在
7、最低点时的小D小球经过圆环的最高点的速度大小为【答案】D【名师点睛】本题考查了牛顿第二定律和机械能守恒定律的综合运用，知道最高点和最低点向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解。2如图所示，半径为R，内径很小的光滑半圆管道竖直放置，质量为m的小球以某一速度进入管内，小球通过最高点P时，对管壁的压力为0.5mg。求：（1）小球从管口飞出时的速率；（2）小球落地点到P点的水平距离。【答案】（1）或 （2）R或 R【解析】（1）分两种情况，当小球对管下部有压力时，则有mg0.5mg=，v1=当小球对管上部有压力时，则有mg+0.5mg=，v2=（2）小球从管口飞出做平抛运动2R=gt2，t=2x1=v
8、1t=Rx2=v2t=R如图所示，置于圆形水平转台上的小物块随转台转动。若转台以角速度0=2 rad/s。转动时，物块恰好与平台发生相对滑动。现测得小物块与转轴间的距离l1=0.50 m，设物块所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2。（1）求小物块与转台间的摩擦因数；（2）若小物块与转轴间距离变为l2=1.0 m，则水平转台转动的角速度最大为多少？【参考答案】（1）0.2 （2）【详细解析】（1）恰好发生相对滑动时由最大静摩擦力提供圆周运动向心力：，解得： 学%（2）转动半径变为l2时有：，解得：。【名师点睛】本题要能够进行正确的受力分析，知道静摩擦力提供向心力，根据牛
9、顿第二定律列式求解。1如图所示，长为L的细轻绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆。不计空气阻力，关于小球受力，下列说法中正确的是 A小球只受重力和向心力作用B小球只受重力、绳的拉力和向心力作用C小球只受重力和绳的拉力作用D小球只受重力、绳的拉力和离心力作用【答案】C【解析】对小球进行受力分析，受到重力、绳的拉力，二者的合力提供向心力，向心力是效果力，不能分析物体受到的向心力。小球只受重力和绳的拉力作用，二者的合力提供向心力，C正确。2如图所示，在光滑水平桌面上有一光滑小孔O，一根轻绳穿过小孔，一端连接质量为m=1
10、 kg的小球A，另一端连接质量为M=4 kg的重物B，已知g=10 m/s2，则：（1）当A球沿半径r=0.1 m的圆周做匀速圆周运动，其角速度1为多大时，B物体处于将要离开、而尚未离开地面的临界状态？（2）当小球A的角速度为2=10 rad/s时，物体B对地面的压力为多大？【答案】（1） （2） B对地面的压力为30 N，方向竖直向下（2）对小球A来说，小球受到的重力和支持力平衡。因此绳子的拉力提供向心力，则：FT=mr2=10.1102 N=10 N对物体B来说，物体受到三个力的作用：重力Mg、绳子的拉力FT、地面的支持力FN，由力的平衡条件可得：FT+FN=Mg，故 FN=MgFT将FT
11、=10 N代入可得：FN=(41010) N=30 N由牛顿第三定律可知，B对地面的压力为30 N，方向竖直向下。1如图所示，长为L的轻杆一端固定一质量为m的小球，另一端安装有固定转动轴O，杆可在竖直平面内绕O无摩擦转动。若在最低点P处给小球一沿切线方向的初速度，不计空气阻力，则下列说法正确的是A小球不可能到达圆周轨道的最高点QB小球能达到圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向上的支持力C小球能到达圆周轨道的最高点Q，且在Q点受到轻杆向下的拉力D小球能达到圆周轨道的最高点Q，且在Q点恰好不受轻杆的弹力2如图所示，水平光滑桌面上有一个小球在细绳的作用下，绕桌面上的固定点O做匀速圆周运动。下列说法
12、正确的有A小球处于平衡状态B小球所受的合外力不为零C如果剪断细绳，小球仍做匀速圆周运动D小球受到细绳拉力的方向与速度方向垂直3如图，汽车通过拱形桥时可以看作圆周运动，则以一定速度通过最高点时A竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力B汽车对桥面的压力小于桥面对汽车的支持力C汽车对桥面的压力小于汽车的重力D汽车对桥面的压力大于汽车的重力4地铁可以有效缓解城市拥堵，方便市民出行。在地铁轨道的转弯处，外侧轨道要略高于内侧轨道，如图所示。已知转弯处轨道平面倾角为，列车的转弯半径为R，则质量为m的列车以的速度转弯时A内侧车轮对内侧轨道有挤压B外侧车轮对外侧轨道有挤压C铁轨对列车的支持力等于D铁
13、轨对列车的支持力小于5如图所示，两个可视为质点的相同小球分别在两竖直光滑圆锥的内侧面上以相同的角速度做匀速圆周运动。已知两圆锥面与水平面的夹角分别为为30和45，重力加速度为g，则A两球的向心加速度大小相等B两球离地面的高度不相等C两球的线速度大小不相等D两球所需的向心力大小相等6物体m用线通过光滑的水平板间小孔与砝码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，如果减少M的重量，则物体m的轨道半径r，角速度，线速度v的大小变化情况应是Ar增大，变大Br增大，v变小Cr减小，v不变Dr减小，不变7振动电机实际上是一个偏心轮，简化模型如图甲所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做
14、半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力的大小为N，小球在最高点的速度大小为v，Nv2图象如图乙所示。下列说法正确的是A小球的质量为B当时，球对杆有向下的压力C当时，球对杆有向上的拉力D若，则此时杆对小球的弹力大小为2a8如图所示，两轻绳系一个质量为m的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面的绳长l=2 m，两绳都拉直时与轴夹角分别为30和45，则小球随轴转动的角速度满足什么条件时，两绳始终被拉直。（g取10 m/s2，结果保留两位有效数字）9某游乐场过山车模型简化为如图所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径
15、为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某点由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。（1）若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对圆形轨道底部的高度h至少要多少？（2）考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？10（2017江苏卷）如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F。小环和物块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动。整个过程中，物块在夹子中没有滑动。小环和夹子的质量均不计，
16、重力加速度为g。下列说法正确的是A物块向右匀速运动时，绳中的张力等于2FB小环碰到钉子P时，绳中的张力大于2FC物块上升的最大高度为D速度v不能超过11（2016新课标全国卷）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则ABCD12（2014安徽卷）如图所示，一倾斜的匀质圆盘垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度转动，盘面上离转轴距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为
17、。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面间的夹角为30，g取10 m/s2。则的最大值是Arad/s Brad/s C1.0rad/s D0.5rad/s 13（2016新课标全国卷）如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。（1）求小球在B、A两点的动能之比；（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。1B【解析】根据动能定理得：，把带入解得：，则小球能够到达最高点Q，且在最高点合力为零，即在Q点受到轻杆向上的支持力，故B正确，ACD错误。【
18、名师点睛】解决本题的关键知道圆周运动径向的合力提供向心力，以及知道杆的作用力可以表现为支持力，也可以表现为拉力。3C【解析】汽车通过凸圆弧形桥顶部时，由汽车的重力和桥面的支持力提供汽车的向心力，故A错误；汽车对桥面的压力等于桥面对汽车的支持力，为作用力和反作用力，故B错误；根据牛顿第二定律可知，解得，即FNmg，故C正确，D错误。4C【解析】如图所示，当列车对内外轨均无压力时，根据得，故AB错误；根据平行四边形定则知，铁轨对列车的支持力为，C正确，D错误。5BC【解析】对任意一球研究，斜面的倾角为，受力分析，如图所示。由图可知 F合=mgtan =ma，a=gtan ，则不同，a不等；根据向心
19、力公式有mgtan =m2R=，解得，v=R；球离地的高度为 h=Rtan=，不等，R不等，h不等，由v=R，知R不等，则v不等。由F=mgtan，知向心力不等，故AD错误，BC正确。【名师点睛】小球在砝码的重力作用下，在光滑水平面上做匀速圆周运动。显然砝码的重力等于物体的向心力，当砝码的重量变化，此时向心力与砝码的重力不等，从而做离心运动，导致半径变化，向心力再次与砝码的重力相等时，又做匀速圆周运动，因此由半径的变化可得出角速度、线速度的变化7A【解析】在最高点，若，则，若，则，解得，A正确；从图中可知当时，即时，杆对小球的弹力为零，故当时，杆对小球弹力方向向上，表现为支持力，故BC错误；若
20、，则，解得，D错误。82.4 rad/s3.2 rad/s【解析】由0逐渐增大时，将出现两个临界值，当绳BC恰好被拉直但无拉力时，小球受重力mg、绳AC的拉力F1设此时的角速度为1，由牛顿第二定律得mgtan30=mlsin30代入数据解得1=2.4 rad/s当绳AC恰好被拉直但无拉力时，小球受重力mg、绳BC的拉力F2，设此时的角速度为2。由牛顿第二定律得mgtan45=m22lsin30代入数据解得2=3.2 rad/s可见，要使两绳始终被拉直，必须满足条件2.4 rad/s3.2 rad/s运动过程机械能守恒：由式得：，高度h至少要2.5R（2）设从高度h2处开始下滑，过圆周最低点时速
21、度为v2，游客受到的支持力最大是FN=7mg。最低点：运动过程机械能守恒：由式得：，高度h不得超过3R10D【解析】由题意知，F为夹子与物块间的最大静摩擦力，但在实际运动过程中，夹子与物块间的静摩擦力没有达到最大，故物块向右匀速运动时，绳中的张力等于Mg，A错误；小环碰到钉子时，物块做圆周运动，绳中的张力大于物块的重力Mg，当绳中的张力大于2F时，物块将从夹子中滑出，即，此时速度，故B错误；D正确；物块能上升的最大高度，所以C错误。【名师点睛】在分析问题时，要细心。题中给的力F是夹子与物块间的最大静摩擦力，而在物块运动的过程中，没有信息表明夹子与物块间静摩擦力达到最大。另小环碰到钉子后，物块绕
22、钉子做圆周运动，夹子与物块间的静摩擦力会突然增大 11AC【解析】质点P下滑过程中，重力和摩擦力做功，根据动能定理可得，根据公式，联立可得，A正确，B错误；在最低点重力和支持力的合力充当向心力，摩擦力水平，不参与向心力，故根据牛顿第二定律可得，代入可得，C正确，D错误。【方法技巧】应用动能定理应注意的几个问题：（1）明确研究对象和研究过程，找出始末状态的速度；（2）要对物体正确地进行受力分析，明确各力做功的大小及正负情况（待求的功除外）；（3）有些力在物体运动过程中不是始终存在的，若物体运动过程中包括几个阶段，物体在不同阶段内的受力情况不同，在考虑外力做功时需根据情况区分对待。【方法技巧】匀速圆周运动，合外力提供向心力，重点是找到向心力的来源，分析出发生滑动的临界状态。13（1） （2）小球恰好可以沿轨道运动到C点【解析】（1）设小球的质量为m，小球在A点的动能为，由机械能守恒可得设小球在B点的动能为，同理有由联立可得（2）若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足设小球在C点的速度大小为，根据牛顿运动定律和向心加速度公式有联立可得，应满足根据机械能守恒有根据可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。17