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1、专题32 动量与能量的综合应用一、两物体的碰撞问题两物体发生正碰（m1，v1；m2，v2m1，v3；m2，v4），总能量损失E动量守恒：m1v1+m2v2=m1v3+m2v4，能量守恒：+=+E规定总动量p=m1v1+m2v2，几何平均质量m=，总质量M=m1+m2可得v3=，v4=1若E=0，损失能量最小。当m1=m2=m时，可得v3=v2，v4=v1（另解v3=v1，v4=v2舍去），即发生速度交换。故E=0的碰撞称为弹性碰撞，E0的碰撞称为非弹性碰撞。2若E尽量大，取最大值时，有。此时可得v3=v4=，碰后两物体共同运动。故E最大的碰撞称为完全非弹性碰撞。二、弹簧连接体的“碰撞”光滑水平
2、面上，若将轻弹簧连接体系统的动能损失（等于弹簧的弹性势能）视为一般碰撞问题中的E，则弹簧连接体的运动可视为碰撞模型。1弹簧处于原长状态时，可视为弹性碰撞。2弹簧压缩最短或拉伸最长时，弹簧弹性势能最大，即动能损失最大，对应完全非弹性碰撞。在规定了正方向的情况下，求出的两组速度解分别对应弹簧最短和最长的情况。3弹簧连接体问题一般会得到两组速度解，且均有实际物理意义，故需要联系具体情况保留或舍去。三、水平方向的动量守恒动量为矢量，故动量守恒定律也具备矢量性；系统在某一方向上受力平衡，则在该方向上的分动量之和不变；一般系统在竖直方向始终受到重力作用，故只在水平方向动量守恒。四、核反应过程：粒子系统的动
3、量守恒；能量变化E=mc2（m为质量亏损，c为真空光速）。甲、乙两球在光滑的水平面上沿同一方向运动，它们的动量大小分别为p1=10 kgm/s，p2=14 kgm/s，已知甲的速度大于乙的速度，当甲追上乙发生正碰后，乙球的动量大小变为20 kgm/s，则甲、乙两球的质量之比可能为A3:10 B1:10C1:4 D1:6【参考答案】AC【详细解析】碰撞前甲球速度大于乙球速度，则有，可得；根据动量守恒有p1+p2=p1+p2，解得p1=4 kgm/s，碰撞后甲、乙两球同向运动，甲球速度小于乙球速度，则有；根据碰撞过程总动能不增加，由Ek=，有+，可得。故mB，则A当弹簧压缩到最短时，B的速度达到最
4、大B当弹簧再次恢复原长时，A的速度一定向右C当弹簧再次恢复原长时，A的速度一定小于B的速度D当弹簧再次恢复原长时，A的速度可能大于B的速度【答案】BC【解析】A开始压缩弹簧时做减速运动，B做加速运动，当两者速度相等时，弹簧压缩到最短，然后B继续做加速运动，A继续做减速运动，所以弹簧压缩到最短时，B的速度未达到最大，A错误；弹簧压缩到最短时，两者速度相等，然后B继续加速，A继续减速，B的速度大于A的速度，弹簧伸长，弹簧恢复原长时，B的加速度为零，速度达到最大，根据动量守恒有mAv=mAvA+mBvB，若A的速度方向向左，vA0，则mAvmBvB，动能Ek=，可得EkAmA的条件下，mB越小，碰后
5、B球的速度越大D在保持mBmA的条件下，mB越大，碰后B球的动量越大4如图所示，在光滑水平桌面上放有足够长的木板C，在C上左端和距左端x处各放有小物块A和B，A、B均可视为质点，A、B与C间的动摩擦因数均为，A、B、C的质量均为m。开始时，B、C静止，A以某一初速度v0向右做匀减速运动，设B与C间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是 AA运动过程中，B受到的摩擦力为B最终A、B、C一起向右以做匀速直线运动C若要使A、B恰好不相碰，A的初速度D若要使A、B恰好不相碰，A的初速度5如图所示，光滑水平面上有一质量M=1.98 kg的小车，车的B点右侧上表面是粗糙水平轨道，B点左侧固定半径R
6、=0.7 m的光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在B点相切。车右端D点处固定一轻弹簧，弹簧自然伸长时其左端对应小车上C点。B、C间的距离L=0.9 m，一质量m=2 kg的小物块置于B点，车与小物块均处于静止状态。现有一质量m0=20 g的子弹以速度v0=500 m/s击中小车并停留在车中，子弹击中小车的时间极短，已知小物块与水平轨道间的动摩擦因数=0.5，取重力加速度g=10 m/s2。（1）通过计算判断小物块是否能达到圆弧轨道的最高点A，并求当小物块再次回到B点时，小物块的速度大小。（2）若已知弹簧被小物块压缩的最大压缩量x=10 cm，求弹簧的最大弹性势能。（3）求小物块与车最终相对静止时
7、，小物块与B点的距离。6如图所示，质量为2m的木板A静止在光滑水平面上，其左端与固定台阶相距s，长木板的右端固定一半径为R的四分之一光滑圆弧，圆弧的下端与木板水平相切但不相连。质量为m的滑块B（可视为质点）以初速度从圆弧的顶端沿圆弧下滑，当B到达最低点时，B从A右端的上表面水平滑入同时撤走圆弧。A与台阶碰撞无机械能损失，不计空气阻力，A、B之间动摩擦因数为，A足够长，B不会从A表面滑出，重力加速度为g。（1）求滑块B到圆弧底端时的速度大小v1。（2）若A与台阶只发生一次碰撞，求s满足的条件。（3）在满足（2）的条件下，讨论A与台阶碰前瞬间B的速度。7如图所示，上表面光滑的水平平台左端与竖直面内
8、半径为R的光滑半圆轨道相切，整体固定在水平地面上。平台上放置两滑块A、B（均可视为质点），质量分别为m、2m，两滑块间夹有被压缩的轻弹簧，弹簧与滑块不拴接。平台右侧有一小车，静止在光滑的水平地面上，质量M=3m、车长L=2R，小车上表面与平台等高，滑块与小车上表面间的动摩擦因数=0.2。现解除弹簧约束，滑块A、B在平台上与弹簧分离，滑块A恰好能够通过半圆轨道的最高点D，滑块B冲上小车。已知重力加速度为g。（1）求滑块A在半圆轨道最低点C处时的速度大小。（2）求滑块B冲上小车后与小车发生相对运动过程中小车的位移大小。（3）若右侧地面上有一高度略低于小车上表面的立桩（未画出），立桩与小车右端的距离
9、为s，当小车右端运动到立桩处立即被牢固粘连。请讨论滑块B在小车上运动过程中，克服摩擦力做的功W与s的关系。8如图所示，小球A从光滑曲面上高h的P处由静止滑下，小球B用长为L的细绳竖直悬挂在O点且刚和平面上Q点接触。两球质量均为m，曲面底端C点到Q点的距离为s。A和B碰撞时无能量损失。（1）若L，且平面CQ光滑，则碰后A、B各做何种运动？（2）若L=h，且A与平面CQ间的动摩擦因数为，则A、B可能碰撞几次？A最终停在何处？9（2016天津卷）如图所示，方盒A静止在光滑的水平面上，盒内有一个小滑块B，盒的质量是滑块质量的2倍，滑块与盒内水平面间的动摩擦因数为。若滑块以速度v开始向左运动，与盒的左右
10、壁发生无机械能损失的碰撞，滑块在盒中来回运动多次，最终相对盒静止，则此时盒的速度大小为_，滑块相对于盒运动的路程为_。10（2017天津卷）如图所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg。初始时A静止于水平地面上，B悬于空中。先将B竖直向上再举高h=1.8 m（未触及滑轮）然后由静止释放。一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触。取g=10 m/s2。空气阻力不计。求：（1）B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；（2）A的最大速度v的大小；（3）初始时B离地面的高度H。11（2017
11、北京卷）在磁感应强度为B的匀强磁场中，一个静止的放射性原子核发生了一次衰变。放射出的粒子（）在与磁场垂直的平面内做圆周运动，其轨道半径为R。以m、q分别表示粒子的质量和电荷量。（1）放射性原子核用表示，新核的元素符号用Y表示，写出该衰变的核反应方程。（2）粒子的圆周运动可以等效成一个环形电流，求圆周运动的周期和环形电流大小。（3）设该衰变过程释放的核能都转化为粒子和新核的动能，新核的质量为M，求衰变过程的质量亏损m。12（2016海南卷）如图，物块A通过一不可伸长的轻绳悬挂在天花板下，初始时静止；从发射器（图中未画出）射出的物块B沿水平方向与A相撞，碰撞后两者粘连在一起运动；碰撞前B的速度的大
12、小v及碰撞后A和B一起上升的高度h均可由传感器（图中未画出）测得。某同学以h为纵坐标，v2为横坐标，利用实验数据作直线拟合，求得该直线的斜率为k=1.92 103 s2/m。已知物块A和B的质量分别为mA=0.400 kg和mB=0.100 kg，重力加速度大小g=9.80 m/s2。（1）若碰撞时间极短且忽略空气阻力，求hv2直线斜率的理论值k0。（2）求k值的相对误差（=100%，结果保留1位有效数字）。13（2016新课标全国卷）如图，光滑冰面上静止放置一表面光滑的斜面体，斜面体右侧一蹲在滑板上的小孩和其面前的冰块均静止于冰面上。某时刻小孩将冰块以相对冰面3 m/s的速度向斜面体推出，冰
13、块平滑地滑上斜面体，在斜面体上上升的最大高度为h=0.3 m（h小于斜面体的高度）。已知小孩与滑板的总质量为m1=30 kg，冰块的质量为m2=10 kg，小孩与滑板始终无相对运动。取重力加速度的大小g=10 m/s2。（1）求斜面体的质量；（2）通过计算判断，冰块与斜面体分离后能否追上小孩？14（2016新课标全国卷）如图，水平地面上有两个静止的小物块a和b，其连线与墙垂直：a和b相距l；b与墙之间也相距l；a的质量为m，b的质量为m。两物块与地面间的动摩擦因数均相同。现使a以初速度向右滑动。此后a与b发生弹性碰撞，但b没有与墙发生碰撞，重力加速度大小为g。求物块与地面间的动摩擦因数满足的条
14、件。15（2015新课标全国卷）滑块a、b沿水平面上同一条直线发生碰撞；碰撞后两者粘在一起运动；经过一段时间后，从光滑路段进入粗糙路段。两者的位置x随时间t变化的图象如图所示。求：（1）滑块a、b的质量之比；（2）整个运动过程中，两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比。1ACD【解析】以水平向右为正方向，在小球上升过程中，系统水平方向动量守恒，有，系统机械能守恒，有，解得，A正确，B错误；设最终小球的速度为v2，物块的速度为v3，由水平方向动量守恒有，由机械能守恒有，解得v2=0，v3=v1（另解v2=v1，v3=0舍去），即交换速度，CD正确。3BCD【解析】A、B碰撞过程系统动量
15、守恒，以碰撞前A的速度方向为正方向，根据动量守恒有，根据机械能守恒有，联立解得，mB越小，碰后B的速度越大，A错误，C正确；碰后B的动能，由数学知识可知，当时，EkB最大，为，B正确；碰后B的动量，mB越大，碰后B的动量越大，D正确。4ABD【解析】设A在C上滑动时，B相对于C不动，则对B、C有，解得，又B依靠摩擦力能获得的最大加速度，故B未相对C滑动，B、C一起向右做加速运动，B受到的摩擦力，方向向右，A正确；A、B、C整体所受外力为零，动量守恒，故有，解得，B正确；若A、B恰好不相碰，则A运动到B处时，A、B、C速度相等，由能量守恒有，解得，C错误，D正确。5（1）不能 5 m/s （2）
16、2.5 J （3）0.75 m【解析】（1） 子弹打小车过程，根据动量守恒有解得v=5 m/s当小物块在圆弧轨道上运动到最高点时，设高度为h，此时三者共速，为v根据动量守恒有解得v=2.5 m/s根据能量守恒有联立解得h=0.625 mR，所以小物块不能到达A点当小物块再次回到B点时，设小物块速度为v1，车和子弹的速度为v2根据动量守恒有根据能量守恒有解得v1=5 m/s，v2=0（2）当弹簧具有最大弹性势能时，三者共速为v根据能量守恒有解得Epm=2.5 J（3）当小物块与车最终相对静止时，三者共速为v根据能量守恒有解得s=1.25 m由sLx=0.25 mL，可知最终小物块与B点的距离为2
17、(L+x)s=0.75 m6（1） （2） （3）【解析】（1）B从释放到最低点，机械能守恒，有解得（2）设A与台阶碰前瞬间，A、B的速度分别为vA和vB，由动量守恒有若A与台阶只碰撞一次，碰后必须满足对A，由动能定理有联立可得（3）设s=s0时，A与台阶碰前瞬间，A、B恰好达到共同速度v由动量守恒有对A，由动能定理有联立可得当时，A与台阶碰前瞬间B的速度当时，对A，由动能定理有由动量守恒有解得故7（1） （2） （3）W=【解析】（1）滑块A在半圆轨道运动，设到达最高点的速度为vD，则有mg=由机械能守恒有=+2mgR，联立可得vA=（2）A、B在弹簧恢复原长过程中动量守恒，有2mvBmvA
18、=0假设滑块可以在小车上与小车共速，由动量守恒有2mvB=(2m+M)v可得vB=，v=由能量守恒有=+2mgx，解得x=Lx=小车与立桩相碰到滑块脱离小车过程，滑块克服摩擦力做的功W2=2mg(Lx)=滑块B克服摩擦力做的功W=W1+W2=若sL=2R滑块一定能滑离小车，克服摩擦力做的功W=2mg(L+s)=故W=因为两球质量相等，且碰撞无能量损失，故两球交换速度设B球做完整的圆周运动时，通过最高点的速度为v由机械能守恒有=+mg2L由牛顿第二定律有mg可得L，因为，且平面CQ粗糙，B只能摆动，不能做完整的圆周运动A、B碰撞过程反复交换速度，A多次经过平面CQ，最终静止时，动能全部因克服摩擦
19、力做功损失掉对全过程分析有mgh=mgx，得x= 设x除以s的商为n，余数为k，即=n+k，若n为奇数，碰撞次数为次，A最终停在Q点左侧ns处若n为偶数，碰撞次数为次，A最终停在Q点左侧(n+1)s处9 【解析】设滑块质量为m，则盒的质量为2m。对整个过程，由动量守恒有mv=3mv，解得v=，由能量守恒有，解得。绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B重力，A、B沿绳方向动量守恒，有A、B系统获得的速度v=2 m/s之后A、B做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为最大速度，A的最大速度为2 m/s（3）绳绷直后，A、B一起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，这一过程中A、B组成的
20、系统机械能守恒，有解得H=0.6 m11（1） （2） （3）【解析】（1）根据核反应中质量数与电荷数守恒可知，该衰变的核反应方程为（2）设粒子在磁场中做圆周运动的速度大小为v，由洛伦兹力提供向心力有根据圆周运动的参量关系有得粒子在磁场中运动的周期根据电流强度定义式，可得环形电流大小为（3）由，得设衰变后新核Y的速度大小为v，核反应前后系统动量守恒，有Mvmv=0可得根据爱因斯坦质能方程和能量守恒有解得由题意得（2）按照定义，=100%=6%13（1）20 kg （2）不能【解析】（1）规定向右为速度正方向。冰块在斜面体上运动到最大高度时两者达到共同速度，设此共同速度为v，斜面体的质量为m3。
21、由水平方向动量守恒和机械能守恒有m2v20=(m2+m3)v，解得v20=3 m/s，m3=20 kg（2）设小孩推出冰块后的速度为v1，由动量守恒有m1v1+m2v20=0解得v1=1 m/s设冰块与斜面体分离后的速度分别为v2和v3，由水平方向动量守恒和机械能守恒有m2v20= m2v2+ m3v3，解得v2=1 m/s=v1，故冰块与斜面体分离后不能追上小孩设在a、b发生弹性碰前的瞬间，a的速度大小为，由能量守恒有设在a、b碰后的瞬间，a、b的速度大小分别为根据动量守恒和能量守恒有，b没有与墙发生碰撞，根据功能关系有联立可得故动摩擦因数应满足的条件为15（1）1:8 （2）1:2【解析】（1）设a、b质量分别为m1、m2由图可知碰前a、b的速度分别为v1=2 m/s，v2=1 m/sa、b发生完全非弹性碰撞，由图可知碰后两滑块的共同速度由动量守恒有m1v1+m2v2=(m1+m2)v解得m1:m2=1:8（2）由能量守恒，两滑块因碰撞而损失的机械能两滑块最后停止，由动能定理，两滑块克服摩擦力做的功解得W:E=1:2- 23 -