《课标通用2018年高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算学案理20171014.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课标通用2018年高考数学一轮复习第五章平面向量5.1平面向量的概念及线性运算学案理20171014.doc（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、5.1平面向量的概念及线性运算考纲展示1.了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义考点1平面向量的有关概念 向量的有关概念(1)向量：既有大小又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(2)零向量：长度为_的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度等于_的向量(4)平行向量：方向相同或_的非零向量，又叫共线向量规定：0与任一向量共线(5)相等向量：长度相等且方向_的向量(6)相反向量：长度相等且方向_的向量答案：(1)
2、方向模(2)0(3)1个单位(4)相反(5)相同(6)相反向量有关概念的理解误区：相等向量；共线向量(1)若四边形ABCD满足，则四边形ABCD的形状是_答案：平行四边形解析：表示ADBC且ADBC，所以四边形ABCD是平行四边形(2)若四边形ABCD满足k(k0，k1)，则四边形ABCD的形状是_答案：梯形解析：k(k0，k1)表示ADBC，但AD与BC不相等，所以四边形ABCD是梯形.典题1(1)给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac.其中正确命题的序号是()A B C
3、 D答案A解析不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确，|且.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则|，且，方向相同因此.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当b0时，a，c可能不平行综上所述，正确命题的序号是.(2)给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；若a0(为实数)，则必为零；已知，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析错误两向量共线
4、要看其方向而不是起点与终点；正确因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小；错误当a0时，不论为何值，a0；错误当0时，ab，此时，a与b可以是任意向量点石成金1.相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2共线向量即平行向量，它们均与起点无关3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈4非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量考点2向量的线性运算 向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：ab_；结合律：(ab)ca(_)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(_)数乘
5、求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a0( a)(_)a；()a_；(ab)_答案：babcb相同相反aaab(1)教材习题改编向量和式()()化简后等于_答案：解析：原式.(2)教材习题改编已知三角形ABC，用与表示BC边上的中线向量，则_.答案：典题2(1)2017广东惠州高三二模如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么()A. B.C. D.答案D解析在CEF中，有.因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以，故选D.(2)2017辽宁沈阳模拟已知ABC和点M满足0.若存在
6、实数m使得m成立，则m()A2 B3 C4 D5答案B解析由0知，点M为ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则()()，所以3，故m3.点石成金向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果考点3共线向量定理的应用 共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，
7、使得b_.答案：a处理向量问题的常见错误：忽视零向量；滥用结论(1)若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c的关系是_答案：共线向量或不共线向量解析：若b0，则a与c未必是共线向量；若b是非零向量，则a与c是共线向量注意：在处理向量问题时不要忽略零向量(2)已知两向量a，b，若|a|1，|b|2，则|ab|的范围是_答案：1,3解析：当a，b方向相同时，有|ab|3；当a，b方向相反时，有|ab|1；当a，b不共线时，1|ab|3.所以|ab|的范围是1,3. 注意：在一般情况下，|ab|a|b|不成立.有关向量的几个结论：三点共线；向量的中线公式；三角形重心的向量表示(1)A，B，C三
8、点共线的充要条件是对不在直线AB上的任意一点O，存在实数t使得t_.答案：1t解析：根据共线向量定理知，A，B，C三点共线的充要条件是存在实数t使得t，即t()，即t(1t).(2)ABC中，D是BC的中点，则()，则_.答案：解析：由，得2()()0，() 典题3设两个非零向量a和b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab与akb共线(1)证明因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线又与有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)解因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即解得k1.即当
9、k1时，kab与akb共线题点发散1若将本例(1)中“2a8b”改为“amb”，则当m为何值时，A，B，D三点共线？解：(amb)3(ab)4a(m3)b，若A，B，D三点共线，则存在实数，使，即4a(m3)b(ab)，所以解得m7.故当m7时，A，B，D三点共线题点发散2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为kab与akb反向共线，所以存在实数，使kab(akb)(0)，即解得k1.又0，k，所以k1.故当k1时，两向量反向共线点石成金1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线2向量a
10、，b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a，b不共线 1.已知向量a，b不共线，且cab，da(21)b，若c与d同向，则实数_.答案：1解析：由于c与d同向，所以ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共线，所以有整理得2210，所以1或.又k0，所以0，故1.2已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同若a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，则t_.答案：解析：a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同atb与a(ab)共线，即atb与ab共线，存在实数，使
11、atb，解得即当t时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上.方法技巧1.向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”2对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.易错防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误. 真题演练集训 12015新课标全国卷设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.
12、 B.C. D.答案：A解析：().故选A.22014新课标全国卷设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A. B. C. D.答案：A解析：()()()，故选A.32014新课标全国卷已知A，B，C为圆O上的三点，若()，则与的夹角为_答案：90解析：()，点O是ABC边BC的中点，BC为直径，根据圆的几何性质有，90. 课外拓展阅读 专题一平面向量与三角形问题的综合典例1已知P是ABC内一点，且，PBC的面积是2 015，则PAB的面积是_思路分析PBC，PAB分别与ABC共底边于BC，AB，由平面几何知识，将每组共底边的三角形面积之比转化为共底边上的对应高的比，即可得
13、出面积关系，进而计算出PAB的面积解析设SABCS，SPBCS12 015，SPABS2.解法一：(恰当切入，从“三点共线”突破)如图所示，延长AP交BC于D，由平面几何知识，得.由A，P，D三点共线，可得(R)由B，D，C三点共线，可得(1)(R)联立和，有解得则，那么，于是SS1.同理，延长CP交AB于E，计算可得，所以S2S.于是S2SS1S12 0152 821.解法二：(巧妙构造，引出向量“投影”取胜)如图所示，构造一个单位向量e(其中e)，那么，在单位向量e方向上的投影长度|e|与|e|分别是PBC，ABC的公共底边上的高，则S|e|e|cose，|sinABC；因为()，所以S1
14、|cose，|S.设i为与向量垂直的单位向量，同理，可以推出S2S.于是S2SS1S12 0152 821.解法三：(划归转化，牵手三角形“重心”巧解)由，可得5670.令5，6，7，连接AB，BC，CA，如图所示，于是0.即P是ABC的重心，SPABSPBC，根据已知条件，得S1|sinBPCsinBPCSPBC，所以SPBC42S1，同理可得SPAB30S2.于是S2S12 821.故填2 821.答案2 821温馨提示在寻找三个三角形面积之间的关系时，可以从多方面思考：可以从“三点共线”突破，运用三点共线向量式求解，思维起点低，思路直接，如解法一；可以从向量“投影”得出关系，构造出一个中
15、介性辅助元素单位向量e，i，如解法二；可以转化条件形式，将转化成5670，利用三角形“重心”性质引出巧解，如解法三专题二用几何法求解向量填空题利用向量加法的几何意义或向量减法的几何意义，可以将一些向量问题转化为几何问题，利用数形结合的方法，快速得到答案，避免繁琐的运算和由于运算而产生的错误典例2已知a，b是两个非零向量，且|a|b|ab|，则a与ab的夹角是_解析令a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则OCab，BAab，又|a|b|ab|，所以OAB是正三角形，由向量加法的几何意义，可知OC是AOB的平分线，所以a与ab的夹角是.答案典例3已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是_ab；ab；|a|b|；abab.解析根据向量加法、减法的几何意义可知，|ab|与|ab|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|ab|ab|.所以该平行四边形为矩形，所以ab.答案- 14 -