《高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系例题与探究新人教B版必修22017103.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学1.2点线面之间的位置关系1.2.3空间中的垂直关系例题与探究新人教B版必修22017103.doc（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2.3 空间中的垂直关系典题精讲例1如图1-2-3-1,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心,求证:B1O平面PAC.图1-2-3-1思路分析：要证B1O平面PAC,根据直线和平面垂直的判定定理,只需证B1O垂直于平面PAC内两条相交直线.证明:在正方体ABCDA1B1C1D1中,设其棱长为2a,因为B1B平面AC,且AC平面AC,所以B1BAC.又O是正方形ABCD的中心,所以ACBD.所以AC平面B1BO.而B1O平面B1BO,所以B1OAC.又PO2+OB12=3a2+6a2=9a2,PD12+B1D12=a2+8a2=9a2,PB12=PD1
2、2+B1D12,所以PO2+OB12=PB12.所以B1OPO.又POAC=O,所以B1O平面PAC.绿色通道：正方体是最常见的几何体,正方体的面、棱、对角线等几何元素有着各种特殊的位置关系,它是研究直线和平面关系最为简单的模型之一.本题抓住了特殊几何体正方体及特殊点P的位置关系,运用勾股定理的逆定理,通过计算证明了直线和直线垂直,再根据直线和平面垂直的判定定理证明了直线和平面垂直.黑色陷阱：证明直线与平面垂直时一定要证明直线和平面内的两条相交直线垂直,如果没有考虑相交的情况就可能把本来不垂直的情况证明成垂直的,得到错误的结论.变式训练1如图1-2-3-2,平面内有一个半圆,直径为AB,过A作
3、SA平面,在半圆上任取一点M,连结SM、SB,且N、H分别是A在SM、SB上的射影.图1-2-3-2(1)求证:NHSB；(2)这个图形中有多少个线面垂直关系？(3)这个图形中有多少个直角三角形？思路分析：解题时以空间的眼光观察图形，正确地发现线面的位置关系.(1)证明：连结AM、BM.AB为已知半圆直径，AMBM.SA平面，MB，SAMB.AMSA=A，MB面SAM.AN面SAM，BMAN.ANSM,AN面SMB.AHSB于H,则NH为AH在面SMB内的射影,NHSB.(2)解：由(1)知,SA面AMB,BM面SAM,AN面SMB.SBAH且SBHN,SB平面ANH.图中共有4个线面垂直关系
4、.(3)解：SA平面AMB,SAB、SAM均为直角三角形.BM平面SAM,BMA、BMS均为直角三角形.AN平面SMB,ANS、ANM、ANH均为直角三角形.SB平面AHN,SHA、BHA、SHN均为直角三角形.综上所述，图中共有10个直角三角形.例2如图1-2-3-3,立体图形PABCD的侧面PAD是正三角形,且垂直于底面,底面ABCD是矩形,E是PD的中点.求证:平面ACE平面PCD.图1-2-3-3思路分析：要证平面ACE平面PCD,只需在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面,即只需在该平面内找一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线即可.证明：PAD为正三角形,E为PD的中点,AE
5、PD.又平面PAD平面AC,平面PAD与平面ABCD交于AD,DCAD,CD平面PAD.CDAE.AE平面PCD.又AE平面ACE,平面ACE平面PCD.绿色通道：要证平面ACE平面PCD,关键是利用平面与平面垂直的性质定理得CDAE,再利用正三角形的性质及直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理.变式训练2如图1-2-3-4,在立体图形ABCD中,各个面均是正三角形,G、F、M分别是BC、AB、AC的中点,过FG的平面与平面ACD相交于EH,求证:平面BMD平面FGHE.图1-2-3-4证明：因为ABC是正三角形,M为AC的中点,所以MBAC,同理,MDAC.所以AC平面BDM.又
6、F、G为AB、CB中点,所以FGAC.所以FG平面BDM,FG平面FGHE.所以平面BDM平面FGHE.例3过点S引三条不共面的直线SA、SB、SC，如图1-2-3-5，BSC=90,ASC=ASB=60，若截取SA=SB=SC=a,(1)求证：平面ABC平面BSC;(2)求S到平面ABC的距离.图1-2-3-5思路分析：要证明平面ABC平面BSC，根据面面垂直的判定定理，需在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂直的直线.(1)证明:SA=SB=SC=a，又ASC=ASB=60，ASB和ASC都是等边三角形.AB=AC=a.取BC的中点为H，连结AH，AHBC.在RtBSC中，BS=
7、CS=a，SHBC，BC=a.AH2=AC2-CH2=a2-(a)2=.SH2=.在SHA中，AH2=，SH2=，SA2=a2.SA2=SH2+HA2.AHSH.AH平面SBC.AH平面ABC，平面ABC平面SBC.或SA=AC=AB，顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心.又BSC为直角三角形，H在斜边BC上.又BSC为等腰直角三角形，H为BC的中点.AH平面BSC.AH平面ABC，平面ABC平面BSC.(2)解:由前所证,SHAH，SHBC,SH平面ABC.SH的长即为点S到平面ABC的距离，SH=.点S到平面ABC的距离为.绿色通道：把有些条件集中起来,一般可以得到一些线,再进行相应
8、理解就可以得到相应的几何体,在几何体中研究线面之间的关系有很多简便的方法,也可以充分利用这些几何体的性质.变式训练3在直三棱柱A1B1C1ABC中,BC=CC1,当底面A1B1C1满足条件_时,有AB1BC1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情况).思路分析:要证明AB1BC1，主要利用线面垂直的定义来寻找AB1所在某一平面与直线BC1垂直，又由于由BC=CC1,可得BC1B1C,由此确定所找的平面就是平面ACB1.故对于这些开放探究题思考的方法是从特殊直线出发,然后利用条件确定边、角中特殊情形,而不是盲目地去找一个条件.图1-2-3-6解：连结B1C,由BC=CC1,可得
9、BC1B1C,因此要证AB1BC1,则只要证明BC1平面AB1C,即只要证ACBC1即可,由直三棱柱可知,只要证ACBC.因A1C1AC,B1C1BC,故只要A1C1B1C1即可.(或者能推出A1C1B1C1的条件,如A1C1B1=90等)答案:A1C1B1C1变式训练4平行四边形的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，已知其中有两个顶点到的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是：1;2;3;4.以上结论正确的为_.(写出所有正确结论的编号)思路解析：本题考查点到平面的距离及对图形不同情况的分类讨论思想.B、D到平面的距离为1、2，则DB的中点到平面的距离为,所以C到平面的距离
10、为3；B、C到平面的距离为1、2，D到平面的距离为x,则x+1=2或x+2=1,即x=1,所以D到平面的距离为1；C、D到平面的距离为1、2,同理可得B到平面的距离为1.答案：问题探究问题证明线面垂直、面面垂直都有哪些方法可以使用？导思:证明线面垂直可以根据线线垂直及线面垂直的定义和判定定理进行判定,也可以利用等价转化的思路,把空间问题转化为平面问题,利用平面几何知识进行证明.面面垂直是在线面垂直的基础上进行定义的,因此可以根据线面垂直证明面面垂直,进一步可以转化为线线垂直,反过来,面面垂直也可以转化为线面垂直、线线垂直,体现了整体与局部之间的关系.探究：证明线面垂直的方法:(1)利用线面垂直的定义:a与内的任何直线垂直a；(2)利用判定定理:(3)利用结论:ab,ab；(4)利用面面平行的性质:,aa；(5)利用面面垂直的性质:,=l,a,ala. 在证明两平面垂直时,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线,若这样的直线图中不存在,则可通过作辅助线来解决.而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明,不能随意添加.在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.要熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化运用,这种转化方法是本节内容的显著特征.5