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1、第一节 多边形与平行四边形,命题探究,考点研读,考情分析,随堂检测,总纲目录,考情分析,考点研读,考点三 平行线之间的距离,考点二 平地四边形的定义、性质和判定,考点一 多边形的相关概念和性质,考点一 多边形的相关概念和性质,1.多边形的相关概念 在平面内,由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做 多边形 ;连接多边形不相邻的两个顶点的线段,叫做多边形的 对角 线 ;各个角 相等 ,各条边也 相等 的多边形叫做正多 边形.,2.多边形的有关性质 (1)n边形的内角和为 (n-2)180 ; (2)任意多边形的外角和为 360 ; (3)对角线:过n(n3,n为整数)边形的一个顶点可以引(n-3)条
2、对角 线,n边形共有对角线 条.,3.正多边形的性质 (1)正多边形的各边相等,各角相等; (2)正n边形有n条对称轴; (3)正n边形的每个内角都等于 ,每个外角为 ; (4)对于正n边形,当n为奇数时,是轴对称图形,不是中心对称图形; 当n为偶数时,既是轴对称图形,又是中心对称图形.,考点二 平行四边形的定义、性质和判定,1.定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.如图记作 “ABCD”.,2.性质,名师点拨 平行四边形是中心对称图形,两条对角线的交点是它的对称中心.过对称中心的直线将平行四边形分成面积相等的两部分.,3.判定,考点三 平行线之间的距离,1.定义 两条平行线中,一条直
3、线上任意一点到另一条直线的距离叫做这 两条平行线间的距离.,2.性质 两平行线间的距离 处处相等 .,命题探究,命题点二 平行四边形的性质,命题点三 平行四边形的判定,命题点一 多边形及其性质,命题点一 多边形及其性质,例1 (2018河南模拟)如果边长相等的正五边形和正方形的一边 重合,那么1的度数为 ( ) A.30 B.15 C.18 D.20 思路导引 首先根据多边形的内角和为(n-2)180求得正五边 形的一个内角的度数,再减去正方形的一个内角的度数,即为1 的度数.,C,答案 C 正五边形每个内角都相等,且内角和为(5-2)180=5 40, 正五边形的一个内角的度数是 540=1
4、08, 又正方形的一个内角的度数是90, 1=108-90=18.故选C.,1-1 (2018呼和浩特)已知一个多边形的内角和为1 080,则这个 多边形是 ( ) A.九边形 B.八边形 C.七边形 D.六边形,B,答案 B 设该多边形的边数为n,则由题意可得180(n-2)=1 080 ,解得n=8.故选B.,1-2 一个多边形截去一个角后,形成的另一个多边形的内角和 为720,则原多边形的边数为 ( ) A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7,D,答案 D 易知新多边形为六边形,因此,若截线只过一个顶点,则 原多边形也是六边形;若截线过两个顶点,则原多边形是七边形; 若截线不过顶
5、点,则原多边形是五边形,故选D.,超级总结 方法技巧 与多边形或正多边形有关的常见计算类型:,1.角度计算:通常运用多边形的内角和(n-2)180、外角和(360)、外角与相邻的一个内角之间的互补关系以及正多边形的各 角相等等知识综合分析解决.,2.边数计算:方法一:根据多边形内角和等于(n-2)180列出方程求 解. 方法二:若多边形为正多边形,可求出该正多边形一个外角的度 数,再利用多边形的外角和为360进行求解.,命题点二 平行四边形的性质,例2-1 如图,ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ABAC.若 AB=4,AC=6,则BD的长是( ) A.8 B.9 C.10 D.11 思路
6、导引 先根据平行四边形的性质和AC的长,求得OA的长 且OB= BD,再根据ABAC和勾股定理求得OB的长,从而求得 BD的长.,C,答案 C 在ABCD中,AO=CO,BO=DO, AC=6,AO=3, ABAC, 在RtABO中, BO= = =5, BD=2BO=10,故选C.,例2-2 (2018河南平顶山一模)在平行四边形ABCD中,点E是边 AD上一点,且AE=2ED,EC交对角线BD于点F,则 等于 ( ) A. B. C. D. 思路导引,A,答案 A 四边形ABCD是平行四边形, ADBC,BC=AD. DEFBCF, = , AE=2ED, 设ED=k(k0),则AE=2k
7、,BC=3k, = = ,故选A.,2-1 (2018河南,9,3分)如图,已知AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点 B在x轴正半轴上.按以下步骤作图:以点O为圆心,适当长度为半 径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于 DE的长为半径作弧,两弧在AOB内交于点F;作射线OF,交边 AC于点G.则点G的坐标为 ( ) A.( -1,2) B.( ,2),A,C.(3- ,2) D.( -2,2),答案 A 如图,设AC与y轴交于点H. 在AOBC中,ACOB,AHy轴, A(-1,2),AO= = , 由作图知OF平分AOB,AOF=BOF=AGO, AG=A
8、O= ,HG=AG-AH= -1, 点G的坐标为( -1,2).故选A.,2-2 (2018湖南衡阳)如图,ABCD的对角线相交于点O,且AD CD,过点O作OMAC交AD于点M.如果CDM的周长为8,那么 ABCD的周长是 16 .,答案 16,解析 四边形ABCD是平行四边形, AD=BC,AB=CD,OA=OC. 又OMAC,AM=CM. CDM的周长为8,CD+DM+CM=8, AD+CD=8,2(AD+CD)=16,即CABCD=16.,超级总结 方法技巧 利用平行四边形的性质进行计算时,通常有两种方法:,1.利用平行四边形的性质,通过角或线段之间的等量关系进行相 应的计算,从而求解
9、.,2.利用平行四边形的性质能够将所求线段或角转化到三角形中, 有两种情况:当三角形为等腰或直角三角形时,通过等腰或直角三 角形的性质或勾股定理求解;当三角形为任意三角形时,可以利用 某两个三角形全等或相似的性质进行求解.,命题点三 平行四边形的判定,例3 (2016河南三门峡二模)如图,在ABC中,D是AC的中点,E是 线段BC延长线上一点,过点A作AFBC交ED的延长线于点F,连 接AE,CF. 求证:(1)四边形AFCE是平行四边形; (2)若EF交AB于点H,CF交AB于点G,则 = . 思路导引 (1)由已知条件易证AFDCED,得到FA=CE,再根据平行四边形的判定定理可证四边形A
10、FCE是平行四边形. (2)先由AFBC得到 = ,再根据平行四边形的性质可知AE FG,从而得到 = ,然后利用等比代换和等量代换即可得 证.,证明 (1)AFBC,D是AC的中点,AFD=CED,FAD= ECD,AD=CD, AFDCED(AAS),FA=CE, 四边形AFCE是平行四边形. (2)AFBC, = , 由(1)知四边形AFCE是平行四边形, FGAE, = , = , = .,3-1 如图1,ABCD中,点O是对角线AC的中点,EF过点O,与AD, BC分别相交于点E,F,GH过点O,与AB,CD分别相交于点G,H,连接 EG,FG,FH,EH. (1)求证:四边形EGF
11、H是平行四边形; (2)如图2,若EFAB,GHBC,在不添加任何辅助线的情况下,请 直接写出与图2中四边形AGHD面积相等的所有平行四边形(四 边形AGHD除外).,解析 (1)证明:四边形ABCD为平行四边形,ADBC, EAO=FCO. 又OA=OC,AOE=COF,OAEOCF,OE=OF, 同理,OG=OH.四边形EGFH是平行四边形. (2)GBCH,ABFE,EFCD,EGFH.,超级总结 方法技巧 判定四边形为平行四边形时,应灵活选用判定方法,借 助题设特点,应从边、角、对角线三方面考虑:若已知一组对边 相等,则需证明这组对边平行或者另一组对边相等;若已知一组 对边平行,则需证
12、明这组对边相等或者另外一组对边平行;若已 知一组对角相等,则需证明另一组对角相等;若已知一条对角线 平分另一条对角线,则需证明对角线互相平分.,一、选择题,随堂检测,1.一个正多边形,它的每一个外角都等于45,则该正多边形是 ( ) A.正六边形 B.正七边形 C.正八边形 D.正九边形,C,答案 C 正多边形的外角和为360,所以边数为 =8,故选C.,2.如图,一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后,得到一个 内角和为2 340的新多边形,则原多边形的边数为 ( ) A.13 B.14 C.15 D.16,B,答案 B 设原多边形的边数为x,则新多边形的边数为(x+1),根 据题意列出方
13、程,得(x+1-2)180=2 340,解得x=14.故选B.,3.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,对角线AC,BD 相交于点O,则OA的取值范围是 ( ) A.2 cmOA5 cm B.2 cmOA8 cm C.1 cmOA4 cm D.3 cmOA8 cm,C,答案 C 平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,OA=OC= AC (平行四边形的对角线互相平分). 在ABC中,BC-ABACBC+AB(三角形的三边关系), 即2 cmAC8 cm,1 cmOA4 cm.故选C.,4.如图,l1l2,BECF,BAl1,DCl2,下面的四个结论:AB
14、=DC; BE=CF;SABE=SDCF;SABCD=SBCFE,正确的有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个,A,答案 A 由l1l2,ABl1,CDl2知AB、CD的长为平行线l1、l 2之间的距离,由平行线间的距离处处相等知AB=CD; 由BECF,l1l2知四边形BEFC为平行四边形,故BE=CF; 由知AB=CD,BE=CF,又BAE=CDF=90, 故RtABERtDCF, 从而SABE=SDCF; 由于SABCD=BCAB,SBCFE=BCCD, 故SABCD=SBCFE.故选A.,5.(2018河南周口一模)如图,ABC中,ABC=BAC,D是AB的中 点,ECAB,
15、DEBC,AC与DE交于点O,下列结论中,不一定成立 的是 ( ) A.AC=DE B.AB=AC C.AD=EC D.OA=OE,B,答案 B ECAB,DEBC, 四边形BDEC是平行四边形, BD=CE,B=E, 又ABC=BAC,CEO=DAO,BC=AC, D是AB的中点,AD=BD,AD=CE, AODEOC,AD=CE,OA=OE, BC=DE,BC=AC,AC=DE. 而AB=AC无法证得.故选B.,6.如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,再添加一个条件: AD= BC(答案不唯一) ,使四边形ABCD为平行四边形(不再添加任何 辅助线).,二、填空题,答案 AD=BC(答案不唯一),解析 根据平行四边形的判定定理添加条件即可.,7.如图,在ABCD中,点E、F分别在边AD、BC上,且BEDF,若 EBF=45,则EDF= 45 .,答案 45,解析 四边形ABCD为平行四边形, ADBC,即EDBF. 又BEDF,四边形BEDF为平行四边形, EDF=EBF=45.,8.(2018湖南岳阳)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF. 求证:四边形BFDE是平行四边形.,三、解答题,证明 四边形ABCD是平行四边形, ABCD且AB=CD. 又AE=CF,BE=DF, 四边形BFDE是平行四边形.,