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1、锐角三角函数的教学思考,人大附中 孙芳 2018.11.16,2,一、教学思考 二、教学建议,3,从一个故事谈起,2000多年前 古希腊地理学家 埃拉托斯特尼 测量出地球的周长,4,夏至,计算： 未知的距离 未知的角,借助： 可测的距离 可测的角,直角三角形有何作用呢？,5,是否感受到锐角三角函数的生命力,一些思考：,6,锐角三角函数产生的历史,刻画角的大小,7,弦表： 促进三角学在天文测量等应用中的发展 最初的想法借助直角三角形中锐角所对边之比,古希腊计算弦值、弦表（弧所对的弦长） 古印度全弦变成半弦，与现代正弦更加接近 进一步完善 欧拉（17071783）现代定义的三角函数（引入单位圆及弧
2、度制，静态研究变成动态）,计算时间、日历、季节、航海、地理,8,9,直角三角形中的边角关系,锐角三角函数,解直角三角形,10,是否感受到锐角三角函数的生命力 对锐角三角函数的考查与评价,一些思考：,11,近两年中考试题,显性：特殊角三角函数值,12,近两年中考试题,隐性：三角形边角关系及其转化,6,3,5,？,特殊角所对应的边之比（三角函数值）,13,近两年中考试题,2,2,14,6,3,5,？,2,2,关注：怎样建立起角与边之比之间的关系,勾股定理、全等三角形、相似三角形等,15,再看中考题,2017年中考试题28,BH与AE的数量关系,MB与PQ的数量关系,2018年中考试题27,线段关系
3、图形关联借助角度转化为边,16,解三角形,算理 算法,图形 结构,数量 关系,17,是否感受到锐角三角函数的生命力 对锐角三角函数的考查与评价 锐角三角函数发展的隐线,一些思考：,知识的纵向联系,锐角三角函数,直角三角形 的完整认识,函数概念的充实（角度与数值的对应）,相似勾股定理,工具性,解直角三角形,解斜三角形,任意角三角函数,应用性（力学、电磁学）,边与边角与角边与角,18,实际问题,适当渗透函数思想,本章学习目标,1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角形函数（sinA 、cosA、 tanA），能够应用sinA 、cosA、 tanA表示直角三角形中两边的比；知道30、45、60
4、角的正弦、余弦和正切值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角。,2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。,19,3、理解直角三角形中边与边之间的关系、角与角之间的关系、边与角之间的关系，能运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余以及锐角三角函数解直角三角形，并能用解直角三角形等有关知识解决简单的实际问题，体会数学在解决实际问题中的作用。,20,2018年中考考试说明,21,22,一、教学思考 二、教学建议,第28章 锐角三角函数（12） 28.1 锐角三角函数（6） （正弦、余弦正切、特殊角三角函数、计算器及性质、应用及构造与组合） 28.2 解直角三角形及
5、其应用（4） （解直角三角形、仰角俯角、方位角、坡度坡角及综合） 数学活动（1） 小 结（1）,具体课时建议,23,24,1.问题的提出 2.概念的类比学习 3.特殊角三角函数值 4.解直角三角形 5.几个典型问题,教学建议,不同版本的教材引入不同： 从梯子的倾斜程度引入正切； 两个坡角不同的台阶引入正切； 利用铺设水管引入正弦。 共性应用与建模（直观、体会实际意义） 从认知的角度看问题驱动建立角与边的联系,25,引入1,趣味问题激趣 关注建模过程 提炼数学问题,26,也可以变化由静到动 估算管道：32，43 为什么选相近的角？为什么30、45就可求？ 揭示：角确定后，边有特殊的关系,27,关
6、注共性：出口高度、登山高度、梯子滑动,隐含条件： 直角三角形 简化：关注角与直角边斜边,28,历史的启示追溯到金字塔的建造,如何保证四个侧面的倾斜度不变？,某种比例不变？变了会怎样？,区别：研究锐角，借助直角三角形，三角形隐藏,29,引入2,把构造直角三角形的过程留给学生,引入3,问题： 借助一副三角板，对特殊的直角三角形，你了解了它的哪些性质？还有什么可以研究的问题？,便于梳理研究结构,前提： 足够基础进行知识的自然生长 关注： 图形研究的思路与顺序 边（勾股）、角、边与角 方法： 怎么研究（特殊到一般）,30,直角是已知条件,31,1.问题的提出 2.概念的类比学习 3.特殊角三角函数值
7、4.解直角三角形 5.几个典型问题,教学建议,32,经历了问题的提出： 1、明确在直角三角形中，角与边之比有关系 2、为什么借助直角三角形？ （直观、计算已经做好准备） 3、如果锐角不在直角三角形中？ （转化出直角三角形）,锐角的正弦,33,比值与画图的大小有关吗？,相似是进一步研究的基础,进一步理解 比值,34,35,特殊角度入手，启发发现规律,比值与画图的大小无关，与什么有关？ 从特殊例子说明开始,36,比值与角存在对应关系吗？ 充分体验发挥计算器的作用,37,比值与角存在对应关系吗？ 理性说明怎样发挥直角三角形的作用,正弦 对边/斜边 固定斜边 固定对边 构造是难点,从特殊到一般 数形结
8、合,演示动态变化过程,38,变静为动，由特殊到一般,渗透增减性,排除干扰： 避免对锐角三角函数的符号产生误解,将它们理解成代数符号; 明确sinA这个整体表示的是A的对边与斜边的一种关系 会识别对应锐角的直角三角形及相应比值,39,ACB的正弦？,类比正弦的研究方法，研究余弦、正切 定义； 研究的对象，新的对应关系； 怎样变化（结合图形）； 是否仍存在对应关系？ 研究的顺序（特殊到一般）,40,41,正弦确定，余弦与正切是否确定（*关系*）,直接用定义求锐角三角函数值 勾股定理是基础,42,引入不同名函数后，要关注： 区分不同名函数的定义； 数形结合看角与边的联系； 角与三个三角函数值，知一定
9、三,回归定义 借助勾股 体会方程,43,44,1.问题的提出 2.概念的类比学习 3.特殊角三角函数值 4.解直角三角形 5.几个典型问题,教学建议,挖掘特殊角三角函数值的能力生长点,熟悉的背景,45,灵活识表，探寻规律,数形结合 角度之间关系 函数值的关系 发挥勾股定理 的作用,46,互余两角三角函数,借助计算器 突出研究性,47,同角三角函数,48,锐角a，随着角的增大，正弦增大， 余弦减小，正切增大。,回归定义 借助勾股,49,落实应知必会的基本计算，适当综合,50,熟练掌握三角函数值 可以正用、逆用,15的三角函数值,51,15的三角函数值,52,转化为熟悉的边角关系 怎么转化： 垂直
10、、平行、角分线、 中垂线、等腰、特殊三角形 构造方程,53,1.问题的提出 2.概念的类比学习 3.特殊角三角函数值 4.解直角三角形 5.几个典型问题,教学建议,解直角三角形,除直角外的五个元素：由已知求未知的过程,54,知识储备,55,56,57,为什么学习解直角三角形,生活中的来源结合数学史的发展来看,58,关注：建模思想，画图能力,1、画平面图形 2、选适当的三角函数 3、解决数学问题 4、解决实际问题,59,明确术语,关注：书上习题,60,关注：斜三角形转化,61,斜三角形转化为直角三角形的基本方法,62,图形的结合点（公共量的确定） 方程的突破点（数值关系）,63,公共量在哪里 直
11、角三角形、相似,要解决好图形的确立问题，即存在什么条件时图形不能唯一确定？,64,斜三角形的可解性,斜三角形的可解性,-作高构造直角三角形,明确斜三角形SSS、SAS、ASA、AAS可解得唯一解， AAA无解， SSA：常见两解，也可能唯一解或无解。,65,66,1.问题的提出 2.概念的类比学习 3.特殊角三角函数值 4.解直角三角形 5.几个典型问题,教学建议,求线段长，怎样构造直角三角形,直角三角形的构造,67,68,69,70,构造直角三角形 慎重：没有平行,71,怎样求边角怎样构造图形怎样求解,72,E,45 ,2,AD=2,选择高与底,等积变换转化成三角形AED的面积,求角DEC的
12、正切？,综合三角形、相似、面积、及构造简单直角三角形,73,关注做高法 衔接过渡 正弦定理,74,借助相似 条件转换,75,76,D,C,A,B,3,75,30,45,45,求河对岸的CD的长,77,落实的基础知识： 锐角三角函数的概念 特殊角的三角函数值 解直角三角形的含义 实际问题与解三角形,体会的基本思想： 数形结合、建模、函数等,掌握的基本方法： 解直角三角形的条件 结合特殊角构造图形 组合图形的转化求解,78,锐角三角函数定义的使用了直角三角形 ,其局限性是只能求出锐角的三角函数 .,延伸,79,三角函数： 任意角与弧度制； 任意角的三角函数； 三角函数的诱导公式； 三角函数的图象与性质； 函数y=Asin(wx+g)的图象； 三角函数模型的简单应用。,解三角形： 正弦定理； 余弦定理； 应用举例。,80,(1)重视概念教学，体会对应关系; (2)关注研究方法，强调数形结合； (3)适当建立模型，提高应用意识； (4)重视思维培养，尝试探究推广。,对于本部分内容的教学体会：,81,周末愉快!,