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1、1.4 全称 量词与存 在量词 123 1.全称量词与全称命题 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑 中通常叫做全称量词,并用 符号“”表示. (2)含有全称量词的命题,叫做全称命题. (3)全称命题的表述形式:对M中任意一个x,有p(x)成立,可简记为 :xM,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. (4)全称命题的真假判断:要判断一个全称命题是真命题,必须对 限定集合M中的每一个元素x,验证 p(x)成立;但要判断一个全称命 题是假命题,只需列举出一个x0M,使得p(x0)不成立即可. 名师点拨 常用的全称量词还有“所有”“每一个”“任何”“任意”“一 切”“任给”“全部”.
2、只要含有这些量词,或者命题具有全称量词所表 达的含义,就是全称命题. 123 【做一做1】 (1)给出下列命题:平行四边形的对角线互相平 分;梯形有两边平行;存在一个菱形,它的四条边不相等.其中 全称命题的个数为( ) A.0B.1C.2D.3 (2)给出下列全称命题,负数没有对数;对任意的实数a,b,都 有a2+b22ab;二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点 ;xR,yR,都有x2+|y|0.其中真命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 解析：(1)是全称命题,不是全称命题,故选C. (2)为真命题,是假命题. 答案：(1)C (2)C 123 2.存在量词与特称命题 (1
3、)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑 中通常叫做存在量词, 并用符号“”表示. (2)含有存在量词的命题,叫做特称命题. (3)特称命题的表述形式:存在M中的一个x0,使p(x0)成立,可简记 为:x0M,p(x0),读作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”. (4)特称命题的真假判断:要判断一个特称命题是真命题,只要在 限定集合M中,能找到一个x0,使得命题p(x0)成立即可;否则这 一命 题就是假命题. 名师点拨 常用的存在量词还有“有些”、“有一个”、“存在”、“某 个”、“有的”等.只要含有这些量词,或者命题具有特称量词所表达 的含义,就是特称命题. 123 【做一做2】 (1)
4、给出下列命题,有些自然数是偶数;正方形 是菱形;能被6整除的数也能被3整除;对于任意xR,总有|sin x|1.其中特称命题的个数是 ( ) A.0B.1 C.2D.3 (2)下列命题中,既是真命题又是特称命题的是 ( ) A.存在一个,使tan =tan(90-) C.对一切,使sin =sin(180-) D.sin(-)=sin cos -cos sin 123 解析：(1)命题含有存在量词;命题可以叙述为“所有的正方 形都是菱形”,故为全称命题;命题可以叙述为“一切能被6整除的 数都能被3整除”,是全称命题;而命题是全称命题.故只有一个特 称命题. (2)只有A,B两个选项中的命题是特
5、称命题.因为|sin x|1,所以sin x0= 不成立,故B中命题为假命题.又因为当=45时,tan =tan(90-),故A中命题为真命题. 答案：(1)B (2)A 123 3.全称命题与特称命题的否定 特别提醒 1.写出一个全称命题或特称命题的否定时,通常要将命 题的两个地方进行改变,一是量词符号要改变,二是结论要进行否 定. 2.全称命题(或特称命题)与其否定的真假性恰好相反. 123 【做一做3】 (1)命题“存在一个三角形,内角和不等于180”的 否定为( ) A.存在一个三角形的内角和等于180 B.所有三角形的内角和都等于180 C.所有三角形的内角和都不等于180 D.很多
6、三角形的内角和不等于180 (2)命题“xZ,4x-1是奇数”的否定是 . 答案：(1)B (2)x0Z,4x0-1不是奇数 123 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误 的打 “”. (1)全称命题中一定含有全称量词. ( ) (2)同一个特称命题的表达形式不是唯一的. ( ) (3)全称命题的否定一定是特称命题,特称命题的否定一定是全 称命题. ( ) (4)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的. ( ) (5)全称命题与其否定的真假可以相同. ( ) 答案：(1) (2) (3) (4) (5) 探究一探究二探究三探究四思维辨析 全称命题题与特称命题题的
7、辨析 【例1】 判断下列命题是全称命题还 是特称命题? (1)凸多边形的外角和等于360; (2)有的向量方向不定; (3)对任意角,都有sin2+cos2=1; (4)有些素数的和仍是素数; (5)若一个四边形是菱形,则这 个四边形的对角线互相垂直. 思路分析首先看命题中是否含有全称量词或存在量词,若含有相 关量词,则根据量词确定命题是全称命题或者是特称命题;若没有, 要结合命题的具体意义进行判断. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 解(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和都等于360,故为全 称命题. (2)含有存在量词“有的”,故为特称命题. (3)含有全称量词“任意”,故为全称命题.
8、(4)含有存在量词“有些”,故为特称命题. (5)若一个四边形是菱形,也就是所有的菱形,故为全称命题. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 反思感悟 判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤 (1)首先判断语句是否为命题,若不是命题,就当然不是全称命题 或特称命题. (2)若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是 全称命题,含有存在量词的命题是特称命题. (3)当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质. (4)一个全称命题(或特称命题)往往有多种不同的表述方法,有时 可能会省略全称量词(或存在量词),应结合具体问题多加体会. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练1下列命题
9、中,是全称命题的是 ,是特称命题 的是 (填序号). 正方形的四条边相等;有两个角是45的三角形是等腰直 角三角形;正数的平方根不等于0;至少有一个正整数是偶数. 解析：是全称命题,是特称命题. 答案： 探究一探究二探究三探究四思维辨析 全称命题题与特称命题题的真假判断 【例2】 判断下列命题的真假: (1)p:任意等比数列的公比不能等于0; (2)q:存在等差数列,其前n项和Sn=n2+2n-1; (3)r:xR,sin x+cos x-1; (4)s:x0R, -2x0+31 B.x-1,2,x2-2x3 探究一探究二探究三探究四思维辨析 答案：D 探究一探究二探究三探究四思维辨析 全称命
10、题题与特称命题题的否定 【例3】 写出下列各命题的否定. (2)q:三角形有且仅有一个外接圆; (3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180; (4)s:有些质数是奇数; (5)t:,R,cos(+)=cos +cos ; 思路分析先判断每个命题是全称命题还是特称命题,再写出相应 的否定. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 探究一探究二探究三探究四思维辨析 反思感悟 1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确 这个命题是全称命题还是特称命题,并找到量词及相应结论,然后 把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时 否定结论,即得其否定. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘
11、命题中隐含的量词,改写成含量 词的完整形式,再写出命题的否定. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假. (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:xR,x2+3x+70; (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 (2)q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题. (3)r:xR,x2+3x+70,是真命题. r是真命题. (4)s:xR,x3+10,是假命题. 当x=-1时,x3+1=0, s是假命题. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 根据命题题真假求参数的取值值范围围 【例4】若命题p:xR,ax2+4x+a-
12、2x2+1是真命题,则实 数a的 取值范围是 ( ) A.(-,2B.2,+) C.(-2,+)D.(-2,2) 思路分析将问题转化为不等式的恒成立问题,结合二次函数的有 关知识求解. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 解析：ax2+4x+a-2x2+1是真命题,即不等式ax2+4x+a-2x2+1 对xR恒成立, 即(a+2)x2+4x+(a-1)0恒成立. 当a+2=0时,不符合题意. 解得a2. 答案：B 探究一探究二探究三探究四思维辨析 反思感悟 应用全称命题与特称命题求参数范围的常见题型 (1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味 着命题对应的集合中的每一个元素都
13、具有某种性质,所以可以代入 ,也可以根据函数等数学知识来解决. (2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存 在”“是否存在”等语句表达“能成立”的问题.解答这类问题,一般要 先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知 条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致 矛盾,则否定了假设. 探究一探究二探究三探究四思维辨析 变式训练4若存在x0R,使a +2x0+a=0,则实数a的取值范围是 . 解析：当a=0时,x0=0满足题意. 当a0时,由题意知方程ax2+2x+a=0有实数根, 综上可知-1a1. 答案：-1,1 探究一探究二探究三探究四思维辨析 对命题的否定理解不清致误 【典例】 命题p:x09的否定p为 . 答案：命题p的否定p:x0 C.x,yR,x2+y20,且a1,则对 任意实数x,ax0; (2)T0R,使|sin(x+T0)|=|sin x|; 解命题(1)为全称命题,根据指数函数的性质可知,该命题为真命 题. 命题(2)是特称命题,存在T0=,使|sin(x+T0)|=|sin x|,故该命题为 真命题. 命题(3)是特称命题,对任意的xR,都有x2+10,故该命题为假命 题.