[初三数学]24-5相似三角形的性质很好_很全_很详细.doc

《[初三数学]24-5相似三角形的性质很好_很全_很详细.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[初三数学]24-5相似三角形的性质很好_很全_很详细.doc（31页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、 奋飞教育-您值得信赖的一对一个性化辅导学校 咨询：36517856 24.5 相似三角形的性质【学习目标】1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程. 2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质. 3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题.【主要概念】1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例。2、相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比。3、

2、相似三角形的周长比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方。【典型例题】【例1】 从下面这些三角形中，选出相似的三角形【例2】 已知：如图，ABCD中，求与的周长的比，如果，求【例3】 如图，已知，求证：【例4】 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似 （2）所有的等腰三角形都相似（3）所有的等腰直角三角形都相似 （4）所有的等边三角形都相似【例5】 如图，D点是的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在的边上，并且点D、点E和的一个顶点组成的小三角形与相似尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法【例6】 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在

3、距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高【例7】 如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m）【例8】 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由【例9】 根据下列各组条件，判定和是否相似，并说明理由：（1） （2）（3）【例10】 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据【例11】 已知：如图，在

4、中，是角平分线，试利用三角形相似的关系说明【例12】 已知的三边长分别为5、12、13，与其相似的的最大边长为26，求的面积S【例13】 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行？请说明理由【例14】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使，然后再选点E，使，确定

5、BC与AE的交点为D，测得米，米，米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？【例15】如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）【例16】 如图，已知ABC的边AB，AC2，BC边上的高AD（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积【例

6、17】 已知：ABCABC，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm, BC=24cm,求BC,AC, AB, AC 解：ABCABCAB:AB=AC:AC=60:72(相似三角形周长的比等于相似比)把AB=15cm, BC=24cm代入上式，解得AB=18cm，BC=20cmAC=60-15-20=25(cm)ADBC AC=72-18-24=30(cm)【例18】如图，CD是RtABC的斜边上的高。(1)已知AD=9cm,CD=6cm,求BD；(2)已知AB=25cm,BC=15cm,求BD.解：（1）ABC为直角三角形，CD是斜边AB 上的高 ACDCBD AD:CD=CD:

7、BD 即 9:6=6:BD BD=(66)9=4(cm) （2）同（1）可得：CBDABC,BC:BA=BD:BC 15:25=BD:15 BD=(1515)25=9(cm)【例19】 已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AC=6，DB=5，求AD的长分析：由已知AC=6，DB=5，选用来解决，考虑ACDABC解：在ACD和ABC中，A=A，ADC=ACB=90，ACDABC设AD=x，则AB=x+5，又AC=6， 解得：x=4（舍去负值）AD=4【例19拓展】 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，底边上的高AD=10cm，腰AC上的高BE=12cm（1）求证：； 【例20

8、】 已知：如图，ABC中，ABAC，BDAC于D求证： BC22CDAC思考：欲证 BC22CDAC，只需证但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？证法一（构造2CD）：如图，在AC截取DEDC，BDAC于D，BD是线段CE的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCEACB， BC22CDAC【例20拓展】证法二（构造2AC）： 证法三（构造）： 【例21】如图，为的角平分线，垂直于的延长线于，于，的延长线交于点，求证：证明，.又，即.【例21拓展】如图，梯形中，为的中点，分别连结，且与交于，与交于，求证： 【例22】两相似三角形的对应边的比

9、为4：5，周长和为360cm，这两个三角形的周长分别是多少？解： 因为相似三角形的周长比等于对应比，所以相似三角形的对应边是4比5，则周长比也是4比5设小三角形周长为A，大三角形周长为BA：B=4：5A=360（4+5）4=160 cmB=360（4+5）5=200 cm所以这两个三角形的周长分别是160 cm和200 cm【例22拓展】如图，D、E分别是AC，AB上的点，ADEB，AGBC于点G，AFDE于点F.若AD3，AB5，求：（1）；（2）ADE与ABC的周长之比；【例23】如图，已知：在与中，交于，且，交于，。求和解答：，又，又，与等高【例23拓展】如图，已知，在梯形中，对角线、相

10、交于点，若的面积为，的面积为，其中，. 求：梯形的面积【例24】已知等腰直角三角形的面积为，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为5：2，求矩形的面积解：如图，中，内接矩形由等腰直角三角形和矩形的性质，得，设为，则由勾股定理得矩形面积拓展：如图所示的情况时，同理可得【例24拓展1】如图所示直角中，两直角边长分别为3和4，它的内接正方形有两种情况：一边在斜边上；一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。 【例24拓展2】是的高，是的中点，交于，若，求【例25】某市经济开发区建有三个食品加工厂，这三个工厂和开发区处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且米，米，米

11、自来水公司已经修好一条自来水主管道两厂之间的公路与自来水管道交于处，米若修建自来水主管道到各工厂的自来水管道的费用由各厂负担，每米造价800元（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图形中画出；（2）求出各厂所修建自来水管道的最低造价各是多少元？分析：要使修建自来水管道的造价最低，则每个厂铺设的管道应最短，根据垂线段最短，可知三个厂家应分别沿垂直于的方向铺设要计算各厂所修建自来水管道的最低造价，可以分别求出铺设管道的长度解：（1）如图1，过分别作的垂线段，交于，即为所求的造价最低的管道路线（2）由，得，所以（米） 由，得，所以（米）， 由，得，所以（米）所

12、以三厂所建自来水管道的最低造价分别是（元），（元），（元）【例26】如图2，在水平的桌面上两个“E”，当点在一直线上时，在点处用号“E”测得的视力与用号“E”测得的视力相同（1）图中满足怎样的关系式？（2）若，号“E”的测试距离，要使测得的视力相同，则号“E”的测试距离应为多少？分析：本题是一道以生活实际为素材的探索型试题，解决问题的关键是从实际问题中构建数学模型从已知图形可得，由此可得，借助相似三角形的特征列出比例式可解决问题解：（1）因为，所以，所以，即（2）因为，且，所以（注：可不进行单位换算），即号“E”的测试距离是【同步练习1】1、如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线BD分成两部分

13、面积的比是1：2，EF是中位线，则被EF分成的两部分面积之比为SAEFD：SBCFE=（ ）A、3：4B、4：5C：5：7D、7：92、如图，梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD相交于点O，若SAOD:SACD=1：3，则SAOD:SBOC等于（ ）A、1：6B、1：3C、1：4D、1：3、如图，DEBC，DE把ABC的面积分成相等的两部分，那么DE：BC等于（ ）A、1：2B、1：4C、2：D、：24、如图，将ABC的高AD三等分，过每一个分点作底边的平行线，这样把三角形分成三部分，设这三部分的面积为S1，S2，S3，则S1：S2：S3=（ ）A、1：2：3B、2：3：4C、1：3：5

14、D、3：5：75、如图，在ABC中，CBA=90，BDAC于D，则下面关系式中错误的是（ ）A、AB2=ADACB、BD2=ADDCC、AB2=AC2BC2D、AB2=ACDC6、如图，在ABC中，ADBC，PQMN为正方形，且顶点在ABC各边上，BC=60cm，AD=40cm，则正方形边长为（ ）A、12cmB、16cmC、20cmD、24cm7、如果两个相似三角形的对应边的比是4：5，周长的和为18cm，那么这两个三角形的周长分别为_。8、ABC中，BC=54cm，CA=45cm，AB=63cm，另一个与它相似的三角形的最短边为15cm，则周长为_。9、在ABC中，点D、E分别为AB、AC

15、上的点，DEAC，AB：DB=2：1，F为AC上任一点，DEF面积为2，则SABC=_。10、如图，DE是ABC的中位线，FH是梯形BCDE的中位线。DE：AE：AD=4：5：6。试比较AFH的周长与梯形BCDE的周长的大小。11、如图，D、E分别是AB、AC上的点，ABC的角平分线AH交DE于点F，过点F作BC的平行线，分别交AB、AC于点G、K。已知BC=20cm，求GK。12、 点M是RtABC的斜边AB的中点，过M作MDAB交AC于D，交BC的延长线于E。求证：MC是MD、ME的比例中项。【同步练习1答案】1、C2、C3、D4、C5、D6、D7、8，10cm8、54cm9、810、SB

16、CDE=23，SAFH=22.511、12cm12、证明：MC是RtABC的斜边上的中线CM=MBB=MCB又EMAB，得E=90B而MCD=90MCB=90BE=MCD又CMD=EMCEMC CMDMC2=MEMD【同步练习1】一、填空：1 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是 2 有一张比例尺为1：4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm，面积是250cm2，则这个地区的实际周长 m，面积是 m23 有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个三角形的周长为 ，面积是 。4 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm和20cm

17、，若它们的周长的差是60cm，则较大的三角形的周长是 ，若它们的面积之和为260cm2，则较小的三角形的面积为 cm25如图，矩形ABCD中，AEBD于E，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是 6 已知直角三角形的两直角边之比为1：2，则这两直角边在斜边上的射影之比 7若梯形上底为4CM，下底为6CM，面积为5CM2，则两腰延长线与上底围成的三角形的面积是 8. 已知直角三角形的斜边的长为13CM，两条直角边的和为17CM，则斜边上的高的长度为 9. RtABC中，CD是斜边上的高线，AB=29。AD=25，则DC= 10平行四边形ABCD中，E为BA延长线上的一点，CE交AD于F点，若AEA

18、B=13则SABCFSCDF= 11.ABCABC，相似比为3:2，则对应中线的比等于 。12相似三角形对应角平分线比为0.2，则相似比为 ，周长比为 ，面积比为 13ABCABC，相似比为，已知ABC的面积为18cm2，那么 ABC的面积为 。二、选择1两个三角形周长之比为9：5，则面积比为（ ）（A）95 （B）8125 （C）3（D）不能确定2RtABC中，ACB=90，CDAB于D，DEAC于E，那么和ABC相似但不全等的三角形共有（ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个3在RtABC中，C=90，CDAB于D，下列等式中错误的是（ ）（A）AD BD=CD2 （B）ACB

19、D=CBAD （C）AC2=ADAB （D）AB2=AC2+BC24在平行四边形ABCD中，E为AB中点，EF交AC于G，交AD于F，=则的比值是（ ）（A）2 （B）3 （C）4 （D）55在RtABC中，AD是斜边上的高，BC=3AC则ABD与ACD的面积的比值是（） （A）2 （B）3 （C）4 （ D）86在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，则BDAD等于（）（A）ab （B）a2b2 （C） （D）不能确定7.边长为a的等边三角形被平行于一边的直线分成等积的两部分，则截得的梯形一底的长为（ ）（A）a （B）a （C）a （D）a3、 应用题1、有一个面积为100平方米，周长

20、为80米的三角形菜地，菜农想把菜地分成两部分,留出一个角种毛豆，剩下的一个梯形地种大蒜，而梯形的上底恰好把原菜地一长30米的边AB分成了两等分.你能求出:种大豆的地的周长是多少？种大蒜的面积有多大吗？2、如图：三角形ABC是一快锐角三角形余料，边BC120mm,高AD80mm,要把它加工成正方形零件，是正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？ 3、已知：如图：FGHI为矩形，ADBC于D，BC36cm,AD12cm 。求：矩形FGNI的周长。4、如图所示,正方形ABCD中,AB=2,E是BC的中点,DFAE于F.(1)试说明ABEDFA；(2)求DFA

21、的面积S1和四边形CDFE的面积S2.5、如图，已知P为ABC的BC边上的一点，PQAC交AB于Q ，PRAB交AC于R，求证：AQR面积为BPQ面积和CPQ面积的比例中项。6、如图，已知正方形ABCD，E是AB的中点，F是AD上的一点，EGCF 且AF=AD，（1）求证：CE平分BCF,(2) AB2=CGFG7、如图，已知在矩形ABCD中，CD=2，AD=3，P是AD上的一个动点，且和A、D不重合，过P点作PECP，交直线AB于点E，设PD=x，AE=y.求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； 8、已知直线PA是一次函数y=x+1的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m的图象，A、B

22、分别是两直线与x轴的交点，如图17-102。（1）若AB=2，求点P的坐标；（2）在（1）的条件下，问：线段AB上是否存在点C，使APCABP？若存在，求出点C的坐标；否则，请说明理由；（3）对于任意m0，是否在线段AB上必定存在点C，使ABPAPC？请说明理由。9、如图17-103，在ABC中，C=900，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PEAB交AC边于点E，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB周长为y，求y与x之间的函数关系式1、已知：在ABC中ABAC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，BAEBDF，点M在

23、线段DF上，ABEDBM （1）如图1，当ABC45时，求证：AEMD； （2）如图2，当ABC60时，则线段AE、MD之间的数量关系为： 。（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MPBM，连接CP，若AB7，AE，求tanACP的值2、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且AFEB.(1) 求证：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的长.（1）证明：四边形ABCD是平行四边形 ADBC ABCD ADF=CED B+C=180 AFE+AFD=180 AFE=B AFD=C ADFDEC(2)解：四边形ABCD是平行四边形A

24、DBC CD=AB=4 又AEBC AEAD 在RtADE中，DE= ADFDEC AF=3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上， cm， OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒 cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1 cm的速度匀速运动设运动时间为t秒（1）用t的式子表示OPQ的面积S；（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；（3）当OPQ与PAB和QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两

25、部分的面积之比 解：(1) CQt，OP=t，CO=8 OQ=8tSOPQ（0t8） (2) S四边形OPBQS矩形ABCDSPABSCBQ32 四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32 （3） 当OPQ与PAB和QPB相似时, QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是QPB90 又BQ与AO不平行 QPO不可能等于PQB，APB不可能等于PBQ根据相似三角形的对应关系只能是OPQPBQABP 解得：t4 经检验：t4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）此时P（，0）B（，8）且抛物线经过B、P两点，抛物线是，直线BP是：设M（m, ）、N(m，) M在BP上运动 与交于P、B两点且抛物

26、线的顶点是P当时， 当时，MN有最大值是2设MN与BQ交于H 点则、SBHMSBHM ：S五边形QOPMH3:29当MN取最大值时两部分面积之比是3：29 4、如图，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BCCA43，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点(1)求证：ACCDPCBC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，PCD的面积最大？并求这个最大面积S第23题图解：(1)AB为直径，ACB90又PCCD，PCD90而CABCPD，ABCPCDACCDPCBC；第23题图(2)当点P运

27、动到AB弧中点时，过点B作BEPC于点EP是AB中点，PCB45，CEBEBC2又CABCPB，tanCPBtanCABPE从而PCPEEC由(1)得CDPC(3)当点P在AB上运动时，SPCDPCCD由(1)可知，CDPCSPCDPC2故PC最大时，SPCD取得最大值；而PC为直径时最大，SPCD的最大值S525、如图，RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F（1）证明：ACEFBE；（2）设ABC=，CAC =，试探索、满足什么关系时，ACE与FBE是全等三角形，并说明理由（1）证明：RtAB C 是由RtABC绕点A顺时针旋

28、转得到的， AC=AC ，AB=AB ，CAB=C AB CAC =BAB ACC =ABB 又AEC=FEBACEFBE （2）解：当时，ACEFBE 在ACC中，AC=AC ， 在RtABC中， ACC+BCE=90，即， BCE= ABC=， ABC=BCE CE=BE 由（1）知：ACEFBE， ACEFBE例1 解 、相似，、相似，、相似例2 解 是平行四边形，又，与的周长的比是1：3又，例3 分析 由于，则，因此，如果再进一步证明，则问题得证证明 ，又，在和中，例4分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同（2）也不正确，等腰三角形的顶角

29、大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同（3）正确设有等腰直角三角形ABC和，其中，则，设的三边为a、b、c，的边为，则，（4）也正确，如与都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此答：（1）、（2）不正确（3）、（4）正确例5解： 画法略例6分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即厘米米，厘米米，米，求BC由于，又，从而可以求出BC的长解 ，又，又厘米米，厘米米，米，米即电线杆的高为6米例7分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，与的相似关系就明确了解 因为，所以所以，即所以（m）说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦例8

30、分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的实际上格点无形中给图形增添了条件长度和角度解 在格点中，所以，又所以所以说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏例9解 （1）因为，所以；（2）因为，两个三角形中只有，另外两个角都不相等，所以与不相似；（3）因为，所以相似于例10解 （1） 两角相等； （2） 两角相等；（3） 两角相等； （4） 两边成比例夹角相等；（5）两边成比例夹角相等； （6） 两边成比例夹角相等例11分析 有一个角是65的等腰三角形，它的底角是72，而BD是底角的平分线，则可推出，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系证明 ，又平分，且，说

31、明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边（2）要说明线段的乘积式，或平方式，一般都是证明比例式，或，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式例12分析 由的三边长可以判断出为直角三角形，又因为，所以也是直角三角形，那么由的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出的两条直角边长，再求得的面积解 设的三边依次为，则，又， ，又， 例13分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高按这种测量方法，过F作于G，交CE于H，可知，且GF、HF、EH可求，这样可求得AG，故旗杆AB可求

32、解 这种测量方法可行理由如下：设旗杆高过F作于G，交CE于H（如图）所以因为，所以由，得，即，所以，解得（米）所以旗杆的高为21.5米说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行例14. 解：，（米），答：两岸间AB大致相距100米例15. 答案：米，步，（注意：）例16. 分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD，那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论求正方形的面积，关键是求正方形的边长解：（1）如上图，由ADBC，由勾股定理得BD3，DC1，所以BCBDDC314如下图，同理可求BD3，DC1，所以BCBDCD312（2）如下图，由题目中的图知BC4，且，所以ABC是直角三角形由AEGF是正方形，设GFx，则FC2x，GFAB，即 ，如下图，当BC2，AC2，ABC是等腰三角形，作CPAB于P，AP，在RtAPC中，由勾股定理得CP1，GHAB，CGHCBA，因此，正方形的面积为或31