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1、49不定方程研究其解法方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。二、不定方程的解法1、筛选试验法根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。如：方程xyz = 100共有几组正整数解？解：当x = 1时yz = 99，这时共有98个解：(y，z)
2、为(1，98) (2，97)(98，1)。 当x = 2时yz = 98，这时共有97个解：(y，z)为(1，97) (2，96)(97，1)。 当 x = 98时，yz = 2，这时有一个解。 9897961= = 4851 方程xyz = 100共有4851个正整数解。2、表格记数法如：方程式4x7 y =55共有哪些正整数解。解：X1234512y51 方程4x7 y =55的正整数解有x = 5 x = 12 y = 5 y = 13、分离系数法如： 求7x2 y =38的整数解解： y =19-3x-x令 t=xx=2 t则 y=19-7t2t019-7t0 （t为整） 2t0t=2
3、，1当 t=2时， x=22=4 x=4y=19-72=5 y =5当 t=1时， x=21=2 x=2 y=19-71=12 y=12 第四十周 不定方程专题简析：当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x3y9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6 y1 y1.5 y2.1 y3 如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x3，Y2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程
4、时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。例1 求3x+4y23的自然数解。 先将原方程变形，y。可列表试验求解：X1234567Y52所以方程3x+4y23的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2练习一1、 求3x+2y25的自然数解。2、 求4x+5y37的自然数解。3、 求5x3y16的最小自然数解。例2 求下列
5、方程组的正整数解。5x+7y+3z253xy6z2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+，得13x+13y52 X+y4 把式变形，得y4x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3. 当x1时，y3 当x2时，y2 当x3时，y1 把上面的结果再分别代入或，得x1，y3时，z无正整数解。 x2，y2时，z也无正整数解。 x3时，y1时，z1.所以，原方程组的正整数解为 x1 y1 z1练习2求下面方程组的自然数解。1、 4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+
6、4z21 5x+7y+9z524、 5x+7y+4z263xy6z2例3 一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？ 两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。 设大盒子有x个，小盒子有y个，则 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）5经检验，符合条件的解有： x2 x7 y15 y3 所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。练习3.1、 某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小
7、船和大船各几只？（大、小船都有）2、 甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？3、 小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？例题4买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30xy）千克。根据题意得： 4x+3y+2（30xy）82 x10由式子可知：y8Y，不符合题意。解得: 答：蟋蟀有5只，蜘蛛2只；或者蟋蟀有1只，蜘蛛5只。例3解：设大盒用X
8、个，小盒用Y个，根据题意列方程 5X+3Y=6015X=6013YX=X、Y均为整数，是一个整数，则6013Y的值是5的倍数。601除以5余1，3Y除以5也应该余1，则Y=2、7、12、197，Y的值是一个首项是2，公差是5的等差数列，都有一个与之相对应的X值。共有40种不同的安排方法。说明：本题中讨论Y的取值，实质是从同余的角度来理解，若用同余的知识来讨论会更快捷一些，有兴的同学可以试一试。例4、分析 题目中大、中、小三种盒子，根据共装24盒，可设X个大盒，Y个中盒，小盒个数用代数式24-X-Y来表示。再根据共有426个乒乓球这个等量关系列方程。解： 设用X个大盒，Y个中盒，那么用小盒24-
9、X-Y个。列方程有 25X+20Y+16（24-X-Y）=426化简整理，得 9X+4Y=42由方程9X+4Y=42可知，X5。42是偶数，4Y的值也是偶数，则9X的值也应该是偶数，那么X也一定是偶数。解得 答： 用了2个大盒。例5、二月9日例6、25例7、x=11 y=2 x=2 y=4例8、六年级奥数：不定方程（一） 年级 班 姓名 得分 一、填空题 1.已知1999+4=9991,其中, 是自然数,那么= . 2.数学测试卷有20道题.做对一道得7分;做错一道扣4分;不答得0分.张红得了100分,她有 道题没答. 3.x是自然数,字母a表示一个数字,x是 . 4.不定方程的整数解是 .
10、5.某青年1997年的年龄等于出生年份各数字的和,那么,他的出生年份是 .6.如果在分数的分子分母上分别加上自然数a、b,所得结果是,那么a+b的最小值等于 .7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中,共有26个头和298只脚,若40只脚的蜈蚣有1个头,那么3个头的龙有 只脚.8.甲、乙两个小队的同学去植树.甲小队一人植树6棵,其余每人都植树13棵;乙小队有一人植树5棵,其余每人都植树10棵.已知两小队植树棵数相等,且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有 人.9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书.已知第二天看的页数比第一天多,第三天看的页数是第一、二两天看
11、的页数之和,第四天看的页数是第二、三两天看的页数之和,第五天看的页数是第三、四两天看的页数之和.那么,小明第五天至少看了 页.10.一群猴子采摘水蜜挑.猴王不在的时候,一个大猴子一小时可采摘15公斤,一个小猴子一小时可采11公斤;猴王在场监督的时候,大猴子的和小猴子的必须停止采摘,去伺侯猴王.有一天,采摘了8小时,其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督,结果共采摘3382公斤水密桃,那么在这个猴群中,大猴子共有 个.二、解答题 11.今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只.用100个钱买100只鸡,问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只?12.某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度
12、,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片.他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片,剩余的卡片到“乙”文具店去买了.“乙”文具店的一张卡价格是以每百分为单位,且小于2000分.哲洙买了50张卡片共花了30400分.请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形.14.现有两小堆小石头,如果从第一堆中取出100块放进第二堆,那么第二堆比第一堆多一倍,相反,如果从第二堆中取出一些放进第一堆,那么第一堆比第二堆多五倍.问第一堆中可能的最少石头块数等于多少?并在这种情况下求出第
13、二堆的石头块数.答 案1. 1998.提示: 是小于4的奇数,检验=1或3两种情况即可.2. 1.设张红做对x道题,做错y道题,依题意得: 所以 .又 x+y20 所以 x20-y20,故 x20.又4|4 y,4|100,由知4|7 x,又4与7互质,所以4| x,故 x=16或20.当x=20时,由得y=10,与产生矛盾.因此x=16,代入得y=3.张红共有20-x-y=1(道)题没做.3. 750.根据题意,整理得, .因为x为自然数,37是质数,所以4a+1一定能被37整除,推知a=9,因此.4. 没有整数解.若方程有整数解,则,因此,且3|17,产生矛盾,因此原方程没有整数解.5.
14、1975.设他出生年份为,依题意,得:整理得:所以 由0b9得 ,即a.故a=7,从而b=5,他出生于1975年.6. 24.依题意,有,于是可得12(28+a)=7(43+b)即 12a+35=7b 显然,7|35.又因(12,7)=1,故7|a.由知, b随a增大而增大,所以a取最小值7时, b也取最小值,是17.所以, a+b的最小值是7+17=24.7. 14.设有x只蜈蚣,y只三头龙,每只三头龙有n只脚,依题意得方程组: 40-,得,即 由于x和y都是正整数,从式得y8.又因为,所以从式得y=7,由此得n=14.8. 32.设甲小队有x人,乙小队有y人.由两小队植树棵数相等,得到 1
15、3 x-7=10 y-5.因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4, y=5是上式的一组解,且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解.为使10y-5在100与200之间,只有y =5+13=18,所以乙小队有18人,甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).9. 84.设小明第一天看了a页,第二天看了b页,则前五天看的页数依次为: a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.上面各个数的和是200,得到 5a+7b=200.因为5a与200都是5的倍数,所以b是5的倍数.因为ba,所以上式只有两组解: b=20, a=12; b=25, a=5.将这两
16、组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页.10. 15. 以5只大猴子为一组,根据题意,一组大猴子这天可采摘1538(千克).同理,以5只小猴子为一组,这天可采摘1138(千克).设有大猴子x组,小猴子y组,则有 , .易知其整数解为x=3, y=4,所以有大猴子53=15(只).11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只,由题意列方程组: 3-整理得 . 又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.又.所以x=4,8或12. x=4时,y=18, z=78; x=8时,y=11,z=81; x=12时,y=4,z=84.即可能有三种情况:4只公鸡,1
17、8只母鸡,78只小鸡;或8只公鸡,11只母鸡,81只小鸡;12只公鸡,4只母鸡,84只小鸡.12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x)度,乙用电(50- y)度.因为甲比乙多交33角电费,所以有: 8x+5y=33. 容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.13. 设哲洙在乙文具店买了x张卡片,花了100分.由共花钱数可列方程 整理得 因为x是小于50的54的约数,则x与y的关系如下表:x123691827y-55427189632 因为乙文具店一张卡片的价格小于2000分,推知y小于2000100=20,即y-
18、515,所以x的可能取值是6,9,18,27.14. 设第一堆有x块石头,第二堆有y块石头,并设z为从第二堆取出放进第一堆的块数,由题意: 由得 .代入整理得 .所以 .又x,z自然数,所以11|z+1,当z=10时, x有最小值,此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块.在这种情况下,第二堆40块.不定方程例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生。已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分，那么甲班的平均成绩比乙班高_分。（1998年奥林初赛试题）分析与解：设甲班的平均成绩为x分，乙班的平均成绩为y分。依题意列方
19、程：42x=48y根据甲、乙两班的平均成绩都是整数，平均成绩都高于80分，且是百分制，可分别取y=84、91、98尝试可得y84，x96。因此，甲班的平均成绩比乙班高的分数为：96-8412（分）例2一群猴子采摘水蜜桃。猴王不在的时候，一个大猴子一小时可采摘15公斤，一个小猴子一小时可采摘11公斤；猴王在场监督的时候，大猴子只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘3382公斤水蜜桃，那么在这个猴群中，共有大猴子_个。（1998年奥林决赛试题）分析与解：设大猴子有x个，小猴子有y个。依题意列方程：15x11y=44511y=445-15x根据大、小猴子的个数均为整数，且是5的倍数，可分
20、别取x5、10、15、20、25尝试可得x=15，y20。因此，在这个猴群中，共有大猴子15个。练一练： 和的最小值是。（1991年奥林初赛试题）【教学内容】 求二元一次方程与多元一次方程组的整数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题。【典型问题】1. 甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支。张明用五角钱恰好可以买两种不同的铅笔共多少支？解答：7x+3y=50，有两组解（x=2,y=12）或（x=5,y=5），所以共10或14支.2. 将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管（加工损耗忽略不计）。问：剩余部分的管子最少是多少厘米？ 解答：36和24的最大公约
21、数是12，37412=312，所以至少剩下2厘米.3. 有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学部把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片。问他们所买的3分画片的总数是多少张？解答：8，13，18，23，28，33，38，43，48都是1张3分的；9，14，19，24，29，34，39，44，49都是3张3分的；10，15，20，25，30，35，40，45，50都不用3分的；11，16，21，26，31，36，41，46都是2张3分的；12，17，22，27，32，37，42，47都是4张3分的，所以一共是91+9
22、3+0+82+84=36+48=84张.4. 小萌在邮局寄了三种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角。她共用了一元二角二分。那么小萌寄的三种信的总和最少是多少封？解答：因为最后是122分，个位只能是平信的，所以至少有9封平信（98=72分），还差50分，最好是1封航空，2封挂号，所以至少是12封信.5. 有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克。请你取最少个数的砝码，使它们的总重量为130克。写出你的取法：需要多少个砝码？其中3克、5克和7克的砝码各有几个？解答：7克的要尽量多，如果18个就是126克，差4克，不行！那17个7克就是119克
23、，差11克，1个5克和2个3克就够了！所以一共是20个.6. 五种商品的价格如下表，其中的单位是元：品种 单价A 2.9B 4.7C 7.2D 10.6E 14.9现用60元钱恰好买了10件商品，那么有多少种不同的选购方式？解答：29a+47b+72c+106d+149e=600，a+b+c+d+e=10，用第一个等式减去第二个等式的29倍，得到18b+43c+77d+120e=310，找到4组整数解！ 7. 有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？解答：每张纸币的金额除以9的余数都是1，所以60张纸币的金额除以9的余数就是60，即6，但
24、是100元除以9余1，所以不能！8. 设A和B都是自然数，并且满足A/11+B/3=17/33，那么A+B等于多少？解答：显然A=2，B=1，那么A+B=3.9. 两位数中，能被其各位数字和整除，并且除得的商恰好是4的数有多少个？解答：12，24，36，48共4个。（个位必须是十位的2倍！）10. 某单位的职工到郊外植树，其中有男职工也有女职工，并且有1/3的职工各带一个孩子参加。男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树，那么其中有多少名男职工？解答：13x+10y+61/3（x+y）=216，即15x+12y=216，5x+4y=72，有（x=4,
25、y=13），（x=8,y=8）和（x=12,y=3）三组解，考虑到职工人数应该是3的倍数，所以男职工应该是12人.11. 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”。间：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数字是1。解答：168=71+97.12. （1）将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少？ （2）将60分拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少？解答：（1）最大的要尽量大，那就让别的都小，全是2不行，所以是8个2和1个3，这时最大的是31。（2）最大的尽量小，那就很接近平均数6，所以看
26、看7，实际上5个5和5个7就行了，所以最大是7.13. 某居民要装修房屋，买来长07米和08米的两种木条各若干根。如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如，0.70.71.4（米），0.70.81.5（米）等等，那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米和3.7米这5长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的？ 解答：3.6=0.7+0.7+0.7+0.7+0.8；3.7=0.7+0.7+0.7+0.8+0.8；3.9=0.7+0.8+0.8+0.8+0.8；3.8=0.7+0.7+0.8+0.8+0.8；只有3.4不行！14. 有30个2分硬币和8个5分硬币，
27、用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种？解答：首先1分和3分不行，然后看100-1=99分和100-3=97分也不行，所以共4种。其他都可以构成，大家不妨自己证明一下！15. 小明买红、蓝两支笔，共用了17元。两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵。小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完，那么红笔的单价是多少元？ 解答：x+y=17，显然x和y不是35的约数，否则是可以将35元恰好用完的。（x=16,y=1），（x=15,y=2），（x=14,y=3），（x=13,y=4），（x=12,y=5），（x=11,y=6），（x=10,
28、y=7），（x=9,y=8）这些解中很快可以将第一，五，七组排除，然后排除第二，三，六，八组，只有第四组是可以的，所以红笔的价钱是13元.三 不定方程1 装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？2 有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？3 大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位。问：需大、小客车各几辆？4 某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元，问：这两种钢笔
29、共卖出多少支？5 小明花4.5元钱买了0.14元一支的铅笔和0.67元一支的圆珠笔共17支。问：铅笔和圆珠笔各几支？6 小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。你知道小明的生日是几月几日吗？7 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数。丁丁和冬冬分别命中几次？8 甲、乙二人植树，用每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵
30、树。问：甲、乙二人各干了几天？9 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？10 参加围棋比赛的八段、九段选手有若干名，他们的段位数字加在一起正好是100段。问：八段、九段选手各几名？11 有 104个同学去操场踢足球和打排球，每个足球场地22人，每个排球场地12人。问：他们占用了足球场地和排球场地各几个？12 甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖。问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？13 14个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。问：大、中、小号钢珠各多少个？14 有100个同学去操场踢足球、打排球和打篮球，每个足球场地22人，每个排球场地12人，每个篮球场地10人，他们共占了8个场地。问：其中足球场、排球场和篮球场各几个？15 某人打靶，8发打了53环，全部命中