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1、第十七讲 等腰三角形和直角三角形,一、等腰三角形,底边上的中线,(或底边上的高或顶角平分线)所在的直,线,相等,等,边对等角,平分线,两边,高,相等,等角对等边,二、等边三角形,相等,60,三,相等,等腰,三边,三、线段的垂直平分线 1.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端 点的距离_. 2.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条 线段的_上.,相等,垂直平分线,四、直角三角形的性质与判定,互余,一半,一半,直角,互余,五、勾股定理及逆定理 1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为c,那么_. 2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满 足_,那
2、么这个三角形是直角三角形.,a2+b2=c2,a2+b2=c2,六、命题、定理 1.互逆命题:如果两个命题的_和_正好相反, 我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一 个叫做原命题,那么另一个叫做它的_. 2.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就 是这个定理的逆定理,称这两个定理为_定理.,题设,结论,逆命题,互逆,【自我诊断】(打“”或“”) 1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高线、底边 上的中线相互重合,简写成“三线合一”.( ) 2.等边三角形是等腰三角形.( ) 3.直角三角形斜边上的中线与斜边没有关系.( ),4.如图,在RtABC中,ACB=90,AB=10,CD
3、是AB边 上的中线,则CD的长是5. ( ) 5.以4,5,6为边长,可以构成直角三角形. ( ),6.已知等腰三角形一边长为4,另一边长为8,则这个 等腰三角形的周长为20或16. ( ) 7.如图,在ABC中,B=C,AB=5,则AC的长为5. ( ),8.如图,在ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD, AB=BD,则B的度数为36. ( ),考点一 等腰三角形的性质与判定 【示范题1】(2017连云港中考)如图,已知等腰三角形ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,且AD=AE,连接BE,CD,交于点F.,(1)判断ABE与ACD的数量关系,并说明理由. (2)
4、求证:过点A,F的直线垂直平分线段BC. 【思路点拨】(1)根据全等三角形的判定SAS可证明ABEACD,然后可得证.(2)根据(1)的结论和等腰三角形的性质,可由线段垂直平分线的判定得证.,【自主解答】(1)ABE=ACD. 因为AB=AC,BAE=CAD,AE=AD, 所以ABEACD. 所以ABE=ACD.,(2)因为AB=AC,所以ABC=ACB. 由(1)可知ABE=ACD,所以FBC=FCB,所以FB=FC. 又因为AB=AC, 所以点A,F均在线段BC的垂直平分线上, 即直线AF垂直平分线段BC.,【答题关键指导】 1.判定等腰三角形的两种方法 (1)运用定义从边的角度去判断.
5、(2)运用判定定理从角的角度判断.,2.等腰三角形中常用的辅助线 (1)作底边的高. (2)作底边上的中线. (3)作顶角的平分线.,【变式训练】 1.(2017滨州中考)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小为 ( ) A.40 B.36 C.80 D.25,【解析】选B.设C=x,由于DA=DC,可得DAC=C =x,由AB=AC可得B=C=x.ADB=C+DAC =2x,由于BD=BA,所以BAD=ADB=2x,根据三角形内角和定理,得x+x+3x=180,解得x=36.所以B=36.,2.(2017烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图所示,
6、已知ABCD,AE与AB的夹角为48,若CF与EF的长度相等,则C的度数为 ( ) A.48 B.40 C.30 D.24,【解析】选D.ABCD,DFE=BAF=48. CF=EF,C=E.C+E=DFE=48,C= 24.,3.(2017内江中考)如图,AD平分BAC,ADBD,垂足为点D,DEAC. 求证:BDE是等腰三角形.,【证明】DEAC,1=3. AD平分BAC,1=2.2=3. ADBD,2+B=90,3+BDE=90. B=BDE.BDE是等腰三角形.,考点二 等边三角形的性质与判定 【示范题2】(2017淄博中考)在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意一点,过点
7、D分别作DEAB, DFAC,垂足分别为E,F,则DE+DF=_.,【思路点拨】作AGBC于点G,根据等边三角形的性 质得出B=60,解直角三角形求得AG=2 ,根据 SABD+SACD=SABC即可得出DE+DF=AG=2 .,【自主解答】如图,作AGBC于点G. ABC是等边三角形,B=60. AG= AB=2 . 连接AD,则SABD+SACD=SABC, ABDE+ ACDF= BCAG. AB=AC=BC=4,DE+DF=AG=2 . 答案:2,【答题关键指导】 活用等边三角形的性质 等边三角形中隐含着三边相等和三个角都等于60的结论,所以要充分利用这些隐含条件,证明全等或者构造全等
8、.,【变式训练】 1.(2017威海中考)如图,ABC为等边三角形,AB=2.若P为ABC内的一动点,且满足PAB=ACP.则线段PB长度的最小值为_.,【解析】ABC是等边三角形, ABC=BAC=60,AC=AB=2, PAB=ACP, PAC+ACP=60, APC=120, 当PBAC时,PB长度最小,设垂足为点D,此时PA=PC, 则AD=CD= AC=1,PAC=ACP=30, ABD= ABC=30, PD=ADtan30= AD= ,BD= AD= , PB=BD-PD= - = . 答案:,2.(2017黄冈中考)已知:如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,则BE
9、D=_度.,【解析】由题意得AB=AE,BAD=90,DAE=AED= 60.所以BAE=150,AEB=15.所以BED= AED-AEB=60-15=45. 答案:45,考点三 线段垂直平分线的性质与判定 【示范题3】(2017湘潭中考)如图,在RtABC中, C=90,BD平分ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段_.,【思路点拨】根据线段的垂直平分线的性质解答即可. 【自主解答】DE垂直平分AB, BE=EA. 答案:BE=EA(答案不唯一),【答题关键指导】 线段垂直平分线的应用特征 (1)线段垂直平分线中的两组线段相等: 线段垂直平分线上的点到线
10、段两个端点的距离相等; 被垂直平分的线段,被分为两条相等的线段. (2)当出现“垂直平分”字眼或题目中有垂直,且垂足是中点时,要联想到线段垂直平分线的性质.,【变式训练】 1.(2017宜昌中考)如图,在AEF中,尺规作图如下: 分别以点E,点F为圆心,大于 EF的长为半径作弧,两 弧相交于G,H两点,作直线GH,交EF于点O,连接AO,则下 列结论正确的是 ( ),A.AO平分EAF B.AO垂直平分EF C.GH垂直平分EF D.GH平分AF,【解析】选C.根据尺规作图方法和痕迹可知GH是线段EF的垂直平分线.,2.(2017益阳中考)如图,在ABC中,AB=AC,BAC =36,DE是线
11、段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a,b的代数式表示ABC的周长为_.,【解析】AB=AC,BAC=36,B=72,DE是AC的垂直平分线,AE=CE=b,ACE=BAC =36, BEC=72,BEC=B,BC=CE=b, ABC的周长为:AB+BC+AC=(a+b)+b+(a+b)=2a+3b. 答案:2a+3b,考点四 勾股定理求线段的长度 【考情分析】利用勾股定理求线段的长度是中考命题的一个热点,这类题常与直角三角形的性质、正方形网格、折叠、旋转、实际问题相结合.,命题角度1:与直角三角形的性质相结合求线段的长度 【示范题4】(2017宿迁中考)如图,在ABC中, ACB
12、=90,点D,E,F分别是AB,CA,BC的中点,若CD=2,则线段EF的长是_.,【思路点拨】根据直角三角形斜边上的中线的性质 和三角形中位线定理求解. 【自主解答】根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半得AB=4,再根据三角形中位线定理得EF= AB =2. 答案:2,命题角度2:利用勾股定理求正方形网格中线段的长度 【示范题5】(2017天水中考)在正方形网格中, ABC的位置如图所示,则cosB的值为 ( ),【思路点拨】先设小正方形的边长为1,然后找个与B有关的RtABD,利用勾股定理算出AB的长,再求出BD的长,即可求出余弦值.,【自主解答】选B. 设小正方形的边长为1,则AB
13、=4 ,BD=4, cosB=,命题角度3:利用勾股定理解决折叠、旋转问题 【示范题6】(2017白银中考)如图,一张三角形纸片ABC,C=90,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠:使点A与点B重合,那么折痕长等于_cm.,【思路点拨】本题利用勾股定理与折叠性质即可得出结果.,【自主解答】因为C=90,AC=8cm,BC=6cm, 所以由勾股定理可得AB=10cm,又因为将纸片 折叠:点A与点B重合,所以ADE=90,AD=5. 连接BE.设AE=x,则CE=8-x,BE=x,所以(8-x)2+62=x2.解 得x= ,即AE= .所以DE= 答案:,命题角度4:利用勾股定理求最短距离问
14、题 【示范题7】(2017东营中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是_尺.,【思路点拨】这种立体图形求最短路径问题,可以展开成为平面内的问题解决,展开后是个直角三角形求斜边的问题,根据勾股定理可求出.,【自主解答】如图,一条直角边(即枯木的高)长20尺,另一条直角边长53=15(尺), 因此葛藤长为 =25(尺). 答案:25,命题角度5:勾股
15、定理的实际应用 【示范题8】(2017绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米.则小巷的宽度为 ( ),A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米,【思路点拨】当梯子斜靠在右墙时,梯子的长度并不改变,而且墙与水平面是垂直的,则可运用勾股定理构造方程解出底端到右墙角的距离.再求小巷的宽度.,【自主解答】选C.设梯子斜靠在右墙时,底端到右墙角的距离为x米,由勾股定理可得梯子的长度2=0.72+ 2.42=x2+22,可解得x=1.5,则小巷的宽度为
16、0.7+1.5= 2.2(米).,【答题关键指导】 1.以正方形网格为背景的求线段长度问题,注意运用网格中隐含的线段的长和角的度数,有时直接利用勾股定理求得答案,有时也可利用三角形面积公式或三角形相似性质列方程(组)求得答案.,2.折叠问题中求解线段长度的问题,常常将某些条件集中在某个直角三角形中,再运用勾股定理进行求解,当然也可以借助于相似三角形判定与性质来解决问题.,【变式训练】 1.(2017十堰中考)如图,已知圆柱的底面直径BC = ,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点, 然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为 ( ),【解析】选D.将已知圆柱展开得到如图所 示矩形
17、,小虫从C点爬到A点,然后再沿另一 面爬回C点经过的路程为2AC, 因为圆柱的底面直径BC= ,所以此圆柱的底面周长 为6,则展开图中BC的长为3,所以AC=3 , 所以小虫爬行的最短路程为6 .,【方法技巧】勾股定理解实际问题的步骤 (1)建立数学模型实际问题转化为数学问题. (2)构造直角三角形作垂线或三角形的高. (3)利用勾股定理进行计算或建立方程求解. (4)写出答案问题解决.,2.(2017黄冈中考)已知:如图,在AOB中,AOB= 90,AO=3cm,BO=4cm,将AOB绕顶点O,按顺时针方向旋转到A1OB1处,此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点,则线段B1D=_cm
18、.,【解析】D点为AB的中点,根据“直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半”可得:OD= AB= =2.5.由题意可得:OB1=OB=4.所以B1D=OB1- OD=4-2.5=1.5. 答案:1.5,考点五 勾股定理的逆定理 【示范题9】(2017益阳中考)如图,ABC中,AC=5, BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线.则CD=_.,【思路点拨】先利用勾股定理的逆定理判定ABC是直角三角形,再利用直角三角形斜边中线的性质求CD的长.,【自主解答】AC2+BC2=52+122=25+144=169,AB2=132= 169,AC2+BC2=AB2,ACB=90,CD是AB边上的中 线
19、,CD= AB=6.5. 答案:6.5,【知识归纳】判定直角三角形的两种方法 (1)当已知条件是“三条边”或三边的比时,利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形. (2)如果三角形某一边的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.,【答题关键指导】 运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的三个步骤 (1)确定三角形的最长边. (2)计算最长边的平方以及其他两边的平方和.,(3)判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等,若相等,则此三角形为直角三角形,否则不是直角三角形.,【变式训练】 (2017安顺中考)三角形三边长分别为3,4,5,那么最长边上的中线长等于_.
20、【解析】32+42=25=52,该三角形是直角三角形, 5=2.5. 答案:2.5,考点六 命题、定理及逆定理 【示范题10】(2017百色中考)下列四个命题中: 对顶角相等;同旁内角互补;全等三角形的对应角相等;两直线平行,同位角相等.其中假命题的有_.(填序号),【思路点拨】要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.,【自主解答】对顶角相等是真命题;同旁内角互补是假命题;全等三角形的对应角相等是真命题;两直线平行,同位角相等是真命题.故假命题有. 答案:,【答题关键指导】 判断命题真假的方法 只有对一件事情作出判断的语句才是命题,其中正确的命
21、题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.,【变式训练】 1.(2017无锡中考)对于命题“若a2b2,则ab.” 下面四组关于a,b的值中,能说明这个命题是假命题 的是 ( ) A.a=3,b=2 B.a=-3,b=2 C.a=3,b=-1 D.a=-1,b=3,【解析】选B.a=-3,b=2时,a2b2,但ab.,2.(2017常德中考)命题:“如果m是整数,那么它是有理数”,则它的逆命题为:_. 【解析】两个命题,如果第一个命题的条件是第二个命
22、题的结论,而第一个的结论又是第二个的条件,那么这两个命题叫做互逆命题. 答案:如果m是有理数,那么它是整数,3.(2017呼和浩特中考)下面三个命题: 若 是方程组 的解,则a+b=1或a+b=0; 函数y=-2x2+4x+1通过配方可化为y=-2(x-1)2+3; 最小角等于50的三角形是锐角三角形. 其中正确命题的序号为_.,【解析】把 代入 得 如果a=2,那么b=1,a+b=3; 如果a=-2,那么b=-7,a+b=-9. 故命题是假命题; y=-2x2+4x+1=-2(x-1)2+3,故命题是真命题;,最小角等于50的三角形,最大角不大于80,一定是锐角三角形,故命题是真命题. 所以正确命题的序号为. 答案:,