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1、第一讲 实 数,一、有理数的有关概念 1.数轴:规定了原点、正方向、_的直线. 2.相反数:a的相反数是_.互为相反数的两个数的 和是_.,单位长度,-a,0,3.倒数:乘积为_的两个数互为倒数,a(a0)的倒数 是_,_没有倒数. 4.绝对值:(1)从“数”的角度看:|a|= (2)从“形”的角度看:一个数的绝对值就是表示这个 数的点到_的距离.,-a,1,0,原点,二、科学记数法 科学记数法的一般形式:把一个数写成_的形式 (其中_|a|_,n为整数).,a10n,1,10,三、有理数的运算律(用字母表示) 1.加法交换律:a+b=_. 2.加法结合律:(a+b)+c=_. 3.乘法交换律
2、:ab=_. 4.乘法结合律:(ab)c=_. 5.乘法分配律:a(b+c)=_.,b+a,a+(b+c),ba,a(bc),ab+ac,四、实数的有关概念及分类,分数,无限不循环小数,实数,五、实数的运算,乘方、开方,an,1,乘方、开方,乘除,加减,【自我诊断】(打“”或“”) 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示. ( ) 2.在一个数前面添加一个“-”号,就变成原数的相 反数. ( ) 3.任意一个数都有倒数. ( ) 4.绝对值等于本身的数是正数. ( ),5.3 800 000用科学记数法可记为3.8106. ( ) 6.一个实数的平方根有两个,它们互为相反数.( ) 7.无理数
3、是无限不循环的小数. ( ) 8.若式子(2x-1)0有意义,则x的取值范围是全体实 数. ( ),考点一 实数的相反数、绝对值、倒数及无理数 【示范题1】(1)(2017临沂中考) 的相反数 是 ( ) A. B. C.2 017 D.-2 017,(2)(2017日照中考)-3的绝对值是 ( ) A.-3 B.3 C.3 D. (3)(2017济宁中考) 的倒数是 ( ) A. 6 B. -6 C. D.- (4)(2017烟台中考)下列实数中的无理数是 ( ) A. B. C.0 D.,【思路点拨】(1)根据只有符号不同的两个数互为相反数来解答. (2)正数的绝对值是它本身,负数的绝对值
4、是它的相反数,0的绝对值是0. (3)根据乘积为“1”的两个数互为倒数来求解. (4)根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.,【自主解答】 (1)选A. 的相反数是 (2)选B.负数的绝对值是它的相反数,所以-3的绝对值 是3. (3)选A.因为 6=1,所以 的倒数是6. (4)选B. ,0, 是有理数,是无理数.,【答题关键指导】 求相反数、倒数的方法,【变式训练】 1.(2017青岛中考)- 的相反数是 ( ) A.8 B.-8 C. D.- 【解析】选C. - 与 只有符号不同,它们互为相反 数.,2.(2017德州中考)-2的倒数是 ( ) A.- B. C.-2 D.2 【解析】
5、选A.符号相同,分子分母位置颠倒的两个 数互为倒数,所以-2的倒数是- .,3.(2017黄冈中考)计算: = ( ) A. B.- C.3 D.-3 【解析】选A.根据负数的绝对值是它的相反数得,4.(2017黄石中考)下列各数是有理数的是 ( ) 【解析】选A.有理数为 ,无理数为 ,.,5.(2017鄂州中考)下列实数是无理数的是 ( ) A. B. C.0 D.-1.010 101 【解析】选B. ,0,-1.010101是有理数, 是无 理数.,考点二 实数的大小的估计、比较 【示范题2】(1)(2017荆州中考)下列实数中最大 的数是 ( ) A.3 B.0 C. D.-4,(2)
6、(2017重庆中考A卷)估计 +1的值应在 ( ) A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间,【思路点拨】(1)正数都大于0,负数都小于0,正数大 于一切负数;两个负数绝对值大的反而小. (2)首先得出 的取值范围,进而得出答案.,【自主解答】(1)选A.各数排列得:3 0-4, 则实数中最大的数是3. (2)选B.3 4,4 +15.,【答题关键指导】 1.实数大小比较的三种方法 (1)法则比较:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数.两个负数比较大小,绝对值大的反而小.,(2)数轴比较:在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数. (3)作差比较:若a-b0,
7、则ab;若a-b0,则ab.,2.无理数的估算方法 (1)估算一个无理数介于哪两个整数之间(或求无理数 的整数部分),如n n+1,可以采用同时平方的方法, 即计算n2a(n+1)2,找到n的值即可. (2)若 的整数部分为m,则其小数部分为 -m.,【变式训练】 1.(2017丽水中考)在数1,0,-1,-2中,最大的数是 ( ) A.-2 B.-1 C.0 D.1 【解析】选D.从小到大排列为:-2-101,则最大的数是1.,2.(2017重庆中考A卷)在实数-3,2,0,-4中,最大的数是 ( ) A.-3 B.2 C.0 D.-4 【解析】选B.-4-302,四个实数中,最大的实数是2
8、.,3.(2017凉山州中考)已知实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a+b_0(填“”,“”或“=”).,【解析】a在原点左边,b在原点右边,a0. 答案:,4.(2017凉山州中考)估计 与0.5的大小关系: _0.5.(填“”或“,考点三 科学记数法 【考情分析】科学记数法是中考的一个必考点,多与现实情景相关联,常与近似数、单位的换算、简单计算等知识综合考查,以选择题、填空题的形式呈现.,命题角度1:用科学记数法表示数 【示范题3】(1)(2017济宁中考)某桑蚕丝的直径约为0.000 016米,将0.000 016用科学记数法表示是 ( ) A.1.610-4 B.1.610-
9、5 C.1.610-7 D.1610-5,(2)(2017青岛中考)近年来,国家重视精准扶贫,收效显著,据统计约65 000 000人脱贫.65 000 000用科学记数法可表示为_.,【思路点拨】(1)10的指数为第一个非零数字前所含0的个数(包含小数点前面的0).(2)10的指数为数字的整数位数减1.,【自主解答】(1)选B.因为0.000 016第一个非零数 字1前含0的个数(包含小数点前面的0)是5个,所以 0.000 016=1.60.000 01=1.610-5. (2)65 000 000用科学记数法可表示为6.5107. 答案:6.5107,命题角度2:带有“亿”“万”等后缀单
10、位的科学记数法 【示范题4】(2017烟台中考)我国提出“一带一路”倡议以来,已确定沿线有65个国家加入,共涉及总人口约46亿人,用科学记数法表示该总人口为 ( ) A.4.6109 B.46108 C.0.461010 D.4.61010,【思路点拨】科学记数法的表示形式为a10n的形式,其中1|a|1时,n是正数;当原数的绝对值1时,n是负数. 【自主解答】选A.46亿=4 600 000 000=4.6109.,【答题关键指导】 用科学记数法表示数 用科学记数法表示数,关键是确定a和n: (1)1|a|10.,(2)当原数的绝对值大于或等于1时,n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值小
11、于1时,n是负整数,它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的0). (3)有数字单位的科学记数法,先把数字单位化去,再用科学记数法表示.,【变式训练】 1.(2017淄博中考)C919大飞机是中国完全具有自主知识产权的干线民用飞机,其零部件总数超过100万个.100万用科学记数法表示为 ( ) A.1106 B.1104 C.1107 D.0.1105 【解析】选A.100万=1 000 000=1106.,2.(2017日照中考)铁路部门消息:2017年“端午 节”小长假期间,全国铁路客流量达到4 640万人次. 4 640万用科学记数法表示为 ( ) A.4.64
12、105 B.4.64106 C.4.64107 D.4.64108 【解析】选C.4640万=46 400 000=4.64107.,3.(2017潍坊中考)可燃冰,学名叫“天然气水合物”,是一种高效清洁、储量巨大的新能源,据报道,仅我国可燃冰预测远景资源量就超过了1000亿吨油当量.将1000亿用科学记数法可表示为 ( ) A.1103 B.1 000108 C.11011 D.11014 【解析】选C.1000亿=100 000 000 000=11011.,4.(2017邵阳中考)2016年,我国又有1240万人告别贫困,为世界脱贫工作做出了卓越贡献.将1240万用科学记数法表示为a10
13、n的形式,则a的值为_.,【解析】1240万=1.24107,故a=1.24. 答案:1.24,考点四 实数的运算 【示范题5】(1)(2017滨州中考)计算-(-1)+|-1|的结果为 ( ) A.-2 B.2 C.0 D.-1,(2)(2017盐城中考)计算: -20170. (3)(2017临沂中考)计算:|1- |+2cos45-,【思路点拨】(1)先去掉括号和绝对值,然后再计算. (2)根据算术平方根的意义,负指数幂和零指数幂的运算,先分别求得每项的值,再进行计算. (3)根据绝对值的意义、特殊角的三角函数值、二次根式的化简和负指数幂的运算,分别求得每项的值,再进行计算即可.,【自主
14、解答】(1)选B.根据“负负得正”可知,-(-1) =1;根据“负数的绝对值等于它的相反数”可得,|-1| =1,所以原式=1+1=2. (2)原式=2+2-1=3.,【答题关键指导】 实数运算的三个关键 (1)运算法则:乘方和开方运算、幂的运算、指数(特别是负整数指数,0指数)运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.,(2)运算顺序:乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减为一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,有括号的先算括号里的. (3)运算律的使用:使用运算律可以简化运算,提高运算速度和准确度.,【变式训练】 1.(2017南京中考)计算12+
15、(-18)(-6)-(-3)2的结果是 ( ) A.7 B.8 C.21 D.36 【解析】选C.12+(-18)(-6)-(-3)2=12+3+6=21.,2.(2017潍坊中考)用教材中的计算器依次按键如 下,显示的结果在数轴上对应点的位置介于( ) 之间 ( ) A.B与C B.C与D C.E与F D.A与B,【解析】选A.在计算器上依次按键转化为算式是 “- =”;计算可得结果介于-2与-1之间.,3.(2017威海中考)计算-( )2+( +)0+ 的结果是 ( ) A.1 B.2 C. D.3 【解析】选D.,4.(2017烟台中考)30 -2+|-2|=_. 【解析】30 -2+|-2|=13+2=15. 答案:15,5.(2017菏泽中考)计算: 【解析】-12-|3- |+2 sin 45-( -1)2 =-1-( -3)+2 -(2017-2 +1) =-1- +3+ -2018+2 =2 -2016.,6.(2017东营中考)计算: +42017(-0.25)2017. 【解析】原式=6 +3+1+5-3 -1=8.,