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1、2013届高三寒假数学作业（一）参考答案与评分标准（考试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上1已知全集U=R，集合，则 答案：2已知复数z=(i是虚数单位)，则复数z所对应的点位于复平面的第 象限 答案：三3已知正四棱锥的底面边长是6，高为，这个正四棱锥的侧面积是 答案：48.4定义在R上的函数，对任意xR都有，当 时，则 答案：5已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则是的 （从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）开始结束Yn1输入x输出xnn+1x2x+1n3
2、N（第8题）答案：否命题6已知双曲线的一个焦点与圆x2+y210x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为 答案：7若Sn为等差数列an的前n项和，S9=36，S13=104，则a5与a7的等比中项为 答案：8已知实数x1，9，执行如右图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为 答案：9在ABC中，若AB=1，AC=，则= 答案：10已知，若，且，则的最大值为 答案：211曲线在点(1，f(1)处的切线方程为 答案：(第12题)O12如图，点O为作简谐振动的物体的平衡位置，取向右方向为正方向，若振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时则该物体5
3、s时刻的位移为 cm 答案：1.513已知直线y=ax+3与圆相交于A，B两点，点在直线y=2x上，且PA=PB,则的取值范围为 答案：14设P(x，y)为函数图象上一动点，记，则当m最小时，点 P的坐标为 答案：(2，3)二、解答题：本大题共6小题，共计90分请把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤15(本题满分14分)ABCDEFA1B1C1(第15题)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E是侧面AA1B1B对角线的交点，F是侧面AA1C1C对角线的交点，D是棱BC的中点求证：（1）平面ABC；（2）平面AEF平面A1AD解：（1）连结ABCDEFA1B1C
4、1(第15题)因为分别是侧面和侧面的对角线的交点，所以分别是的中点所以 3分又平面中，平面中，故平面 6分（2）因为三棱柱为正三棱柱，所以平面，所以故由，得 8分又因为是棱的中点，且为正三角形，所以故由，得 10分而，平面，所以平面12分又平面，故平面平面14分16.（本题满分14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角C的大小；（2）若ABC的外接圆直径为1，求的取值范围解：(1)因为，即，所以，即 ，得 4分所以，或(不成立)即 , 得 7分(2)由因， 8分故= 11分，故14分17.（本题满分14分）ABCD（第17题）P某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄
5、板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用如图所示，为长方形薄板，沿AC折叠后，交DC于点P当ADP的面积最大时最节能，凹多边形的面积最大时制冷效果最好（1）设AB=x米，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？解：（1）由题意，因，故 2分设，则因，故由 ，得 ，5分（2）记的面积为，则 6分，当且仅当(1，2)时，S1取得最大值8分故当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好 9分（3）记的面积为，则，10分于是，11分关于的函数在上递增，在上递减所以当时，取得最大值 13分故当薄板长为米，宽
6、为米时，制冷效果最好 14分18.（本题满分16分）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1；（2）证明数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由解：(1)令n=1，则a1=S1=0 3分(2)由，即， 得 ，得 于是， +，得，即 7分又a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列an是以0为首项，1为公差的等差数列所以，an=n1 9分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列
7、，于是， 11分所以，()易知(p，q)=(2，3)为方程()的一组解 13分当p3，且pN*时，0，故数列(p3)为递减数列，于是0或a0且k1)为等比数列；反之若数列an为等比数列，则数列(a0且a1)为等差数列 第(3)问中，如果将问题改为“是否存在正整数m，p，q(其中mpq)，使bm，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(m，p，q)；若不存在，说明理由”那么，答案仍然只有唯一组解此时，在解题时，只须添加当m2时，说明方程组无解即可，其说明思路与原题的解题思路基本相同 对于第(2)问，在得到关系式：后，亦可将其变形为，并进而使用累乘法(迭乘法)，先行得到数列an的通项
8、公式，最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可但需要说明n2 考虑到这是全市的第一次大考，又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的第一次大规模的检测，因而在评分标准的制定上，始终本着让学生多得分的原则，例如本题中的第(1)问4分，不设置任何的障碍，基本让学生能得分第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识，考查计算能力与独立分析问题与解决问题的能力讲评本题时，要注意对学生耐挫能力的培养 第（2）问，亦可设所求直线方程为y-1=k1(x-1)，与椭圆方程联立，消去一个变量或x或y，然后利用根与系数的关系，求出中点坐标与k1的关系，进而求出k1的值 第（3）问，可有一般的情形：过定椭圆内的定点
9、作两条斜率和为定值的动弦，则两动弦的中点所在直线过定值此结论在抛物线中也成立另外，也可以求过两中点所在直线的斜率的最值 近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势：多考一点“算”，少考一点“想”第20题 本题主要考查函数与导数的知识，考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的能力 第（2）可另解为： 命题“若使成立”等价于“，使” 由（1），当时，于是 故，使，即，使所以当时，记，则因，故，于是恒成立所以，在上为减函数， 所以，所以，2013届高三寒假数学作业（二）2222231答案及评分标准2013.01一、填空题（每题5分）1.; 2. 0; 3. ; 4. 2;5. 1 ; 6.; 7. 3;
10、8. 9.; 10.; 11. ; 12.; 13. 101; 14. .【说明】13. (10月1日国庆节)本题的一般结论是，可以应用课本习题中结论证得.14. 本题可以进一步推广为:是否存在实数,使得当 时恒成立?二、解答题：15. 解：,即,3分 是的必要条件, 是的充分条件,5分不等式对恒成立,7分对恒成立,10分,当且仅当时,等号成立.13分 .14分【说明】本题考查简易逻辑、命题真假判断、简单指数不等式的解法、函数的最值、基本不等式应用；考查不等式恒成立问题；考查转化思想.16. 解：（1）设的角所对应的边分别为.,2分, .4分 .5分（2） ,即,6分 ,7分. 9分11分由正
11、弦定理知：,13分.14分【说明】本题主要考查和差三角函数、倍角公式、正弦定理的应用、平面向量的运算；考查运算变形和求解能力.17. 解：（1），2分为奇函数.3分设且,又，5分在两个相异点处的切线分别为,且，又，6分又为奇函数，点关于原点对称7分（2） 由（1）知，8分又在A处的切线的斜率， 直线都与垂直,，9分 令，即方程有非负实根，10分，又 ， 综上14分【说明】本题考查函数性质和导数的运算与应用、一元二次方程根的分布；考查换元法考查推理论证能力.20. 解：（1）当,时, ,.3分（2） 由题意知： ,6分即, ,7分累加得,9分 又,.10分（3） 由，得,12分若存在正整数和非负
12、整数,使得数列成等差数列,则,14分 即,15分当时， ，对任意正整数,有成等差数列. 16分注:如果验证不能成等差数列,不扣分【说明】本题主要考查数列的定义、通项求法；考查反证法；考查递推思想；考查推理论证能力；考查阅读理解能力、建模能力、应用数学解决问题能力本题还可以设计：如果班上有5名小朋友，每个小朋友都分到糖果，求的最小值.19. 解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.2分, , 2分 椭圆的标准方程为.4分（2）证明：设点将带入椭圆，化简得：,6分 , P,Q两点的横坐标的平方和为定值4.7分（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,PQ中点M(), PQ的垂直平分线的方程为
13、:, 8分圆心（）满足，所以,9分圆过定点(2,0)，所以,10分圆过, 则 两式相加得： ,11分, .12分因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，由解得: 13分代入圆的方程为：,整理得：,14分所以：15分 解得：或(舍). 所以圆过定点(0,1).16分(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:.8分方程与方程为同解方程., 11分圆过定点(2,0)，所以 , 12分 因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.解得: ,13分 (以下相同)【说明】本题考查圆锥曲线的基本量间关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题；考查运算求解能力和推理论证能力.2
14、0. 解：（1）定义域R，1分，2分函数的单调增区间为，单调减区间为 3分（法一），当时， ，4分时，为减函数，；当时， ；函数的值域为5分（法二）当时，,当时，,且,函数的值域为.5分（法三）判别式法（略）（2）设,设，则，则，.6分 当时， 恒成立当且仅当时，7分令，当且仅当时，当时，由（）, 当时，无解8分当时， ，当时，在无解9分综上，除外，方程无解， 10分（3） 显然,又,，11分 所以， 若，则 矛盾.所以 .12分 (法一)14分 15分 16分(法二)13分 14分 15分， .16分【说明】本题以高等数学中不动点、函数迭代等理论为背景，考查函数的图象与性质、导数的运算与应用
15、；考查函数思想；考查推理论证能力、运算能力. 其中第2问证法较多. 本题可以进一步设计证明. 如令,可证明对任意正整数有互素.理 科 附 加 题 答 案21【选做题】A证明：AE=AC，CDEAOC，2分 又CDEP+PFD，AOCP+OCP，6分 从而PFDOCP7分 在PDF与POC中， PP，PFDOCP， 故PDFPOC10分B解：设为曲线上的任意一点，在矩阵A变换下得到另一点， 则有，4分 即 6分所以8分 又因为点P在曲线上，所以，故有 即所得曲线方程. 10分C 解:将极坐标方程转化成直角坐标方程：即：，即；4分 即： , 6分 ， 8分即直线经过圆心,所以直线截得的弦长为. 1
16、0分D. 解：（1）由题设知：，如图，在同一坐标系中作出函数和的图象（如图所示）,知定义域为.5分（2）由题设知，当时，恒有，即 由（1）， .10分必做题 22 解：设直线方程：，将代入,得,2分所以6分，,9分线段中点的轨迹方程为：.10分23解：（1）函数在区间上是增函数.在区间上恒成立,2分,又在区间上是增函数即实数的取值范围为.3分 （2）先用数学归纳法证明. 当时，成立, 4分假设时，成立,5分当时，由（1）知时，函数在区间上是增函数 ,7分即成立, 当时,成立.8分 下证. 9分. 综上.10分2013届高三寒假数学作业（三）2013届高三寒假数学作业（四）来源:Z&xx&k.Co2013届高三寒假数学作业（五）2013届高三寒假数学作业（六）