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1、第五章 向量代数与空间解析几何15.1 向量及其运算15.1.1 向量的概念15.1.2 向量的线性运算25.1.3 向量的数量积（点积、内积）55.1.5 向量的混合积85.2 点的坐标与向量的坐标85.2.1 控件直角坐标系85.2.2 向量运算的坐标表示115.3 空间的平面与直线175.3.1 平面175.2.3 空间直线195.3.3 点、平面、直线的位置关系215.4 曲面与曲线265.4.1 曲面、曲线的方程26第五章 向量代数与空间解析几何5.1 向量及其运算5.1.1 向量的概念即有大小又有方向的量，称为向量（或矢量）。在数学上，往往以有向线段表示向量，其方向表示向量的方向，
2、其长 B度表示向量的大小。以为起点，为终点的有向线段所表示的向量记作（图51）。有时也用一个黑体字来表示向量，例如a、r、v、F A或等等。 图51向量的大小称为向量的模。向量、a、的模依次记作、|a|、。在实际问题中，有些向量与其起点有关（例如质点运动的速度，与该质点的位置有关，力与力的作用点有关），有些向量与其起点无关。由于一切向量的共性是大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称为自由向量（简称向量）,即只考虑向量的大小和方向，而不论他的起点在那。如果两个向量和大小相同方向一致，就说两个向量相等，记作。这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的。模等于1的向量叫做单位
3、向量。模等于零的向量叫做零向量，记作或。零向量的起点与终点重合，它的方向是任意的。与向量模相等而方向相反的向量称为的负向量，记做。若将向量、平移，使它们的起点重合，则表示它们的有向线段的夹角称为向量和的夹角（见图5-2）,记做两个非零向量如果它们的方向相同或者方向相反，就称这两个向量 图52平行。向量与平行，记作，零向量平行于任意向量。当两个平行向量的起点放在同一点时，它们的终点和公共起点应在一条直线上，称两向量共线。若与的夹角为，则称与垂直或正交，记做。类似还有向量共面的概念。设有（）个向量，当把它们的起点放在同一点时，如果个终点和公共起点在一个平面上，就称这个向量共面。5.1.2 向量的线
4、性运算1向量的加减法向量的加法运算规定如下：设有两个向量与，任取一点，作，再以为起点，作，连接（图53），那么向量称为向量与的和，记作，即 图53 图54.此方法称为三角形法则。向量的平行四边形法则：当向量与不平行时，作，以为边作一平行四边形，连接对角线(图54)，显然向量即等于向量与的和+向量加法复合下列运算规律：（1） 交换率 +=+（2） 结合率 (a+b)+c=a+(b+c).由图54易得交换率 a+b=+=c b + a =+=c图55图56由图55易证结合率，由加法的交换率和结合率，n个向量相加可以写成，由三角形法则，可得n个向量相加的法则如下：使前一向量的终点作为次一向量的起点，
5、相继作向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终点为终点作一向量，这一向量即为所求之和。我们规定两个向量b与a的差 b-a=b+(-a).即把向量-a加到b上，便得a与b的差b-a(图57(a).特别地，当b=a时，有 a-a=a+(-a)=0. 图57（a） 图57（b）显然，任给向量及点，有因此，若把向量a与b移到同一点O,则从a终点A向b的终点B所引向量便是向量a与b的差b-a(图5-7(b).由三角形两边之和大于第三边的原理，有|a+b|a| + |b| 及 |ab|a| + |b|其中等号在a与b同向或反向时成立。2向量与数的乘法向量a与实数的乘积记作a规定a是一个向量，它的模|
6、a |=|a|,它的方向当0时与a相同，当0时与a相反，当0时，|a |=0,即a为零向量，这时它的方向可以是任意的。特别地，当时，有 1aa，（1）aa .向量与数的乘积复合下列运算规律：（1）结合率 aaa；（2）分配率 aa + a； aba + b .例1 在平行四边形中，设a，b。试用a和b表示向量、和，这里是平行四边形对角线的交点（图58）解 由于平行四边形的对角线互相平行，所以 ab2即 （ab）2于是 （ab）。因为，所以（ab）.图58又因ab2，所以（ba）.由于，（ab）.设表示与非零向量a同方向的单位向量，则|a|与同向，即|a|与a同向，因此，a|a|。我们规定，当时
7、，则上式可写为。即向量除以它的模为与原向量的单位向量。命题1 设向量，那么，向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数，使。证：条件的充分性是显然的，下面证必要性设，设，当b与a同向时取正值，当b与a反向时取负值，即与b同向，且，故再证数的唯一性。设，又设，两式想减，便得，即.因，故，即.命题2 如向量、b、c共面，而、b部共线，则存在实数和，使得c=a +b.证明 因为、b不共线，故可知、b均为非零向量，过一定点O作OA=a、OB=b、OC=c.由题设OA、OB、OC共面。过点C分别作直线OB、OA的平行线，交OA与E、OB与F（图5-10）,从而OC=OEOF，又因OE与OA共线，由命
8、题1知存在实数，使得OEOAa同理存在实数，使得OFOBb，于是OCa +b，即c=a +b。命题3 若向量、b、c不共面，则对任一向量d，存在实数、，使得dbc。5.1.3 向量的数量积（点积、内积）设一物体在常力作用F下沿直线从点移动到点。依s表示位移。由物理学知道，力F所作的功为 ，其中为F与s的夹角（图59）。由此，我们可以看到有时要对两个向量a与b作这样的运算，其结果为一数值，等于两个向量的模与它们夹角余弦的乘积。我们称这样的运算为向量a与b的数量积、点积或内积，记作ab（图510），即 ab| a | b |cos. 图59图510由此定义，力做功可以表示为 。设非零向量a所在的直
9、线为l，且。用有限线段AB表示向量b，过点A和点B作平面垂直于直线l，并与l分别交于点和点分别是点A和点B在l上的投影，称有向线段为向量b在向量a上的投影向量。容易看出（|AB|）=(|b|) 称上式中的实数|b|为向量b在向量a上的投影，并记做Prjb。当时，Prjb等于b在a上投影向量的长度；当时，Prjb等于b在a上投影向量的长度的相反数；当时，Prjb等于零。投影具有维一性。由数量积的定义，立即得到ab| a |Prjb投影具有下列性质：Prj(b)=PrjbPrj(b+c)= Prjb+ Prjc数量积的运算规律（1） 交换律 abba. 由定义显然（2） 数乘交换率(a)(b)(a
10、b)（3） 分配律 （ab）cacbc.（1）aa| a |. 这时因为aa| a |cos0| a |.或 。（2）cos 。对于两个非零向量a、b，ab0是ab. 这是因为 ab0cos0.由于零向量的方向可以看作是任意的，故可以认为零向量与任何向量都垂直。因此上述结论可以叙述为：ab0是ab.例2 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域上各点处的速度均为（常向量）v。设n为垂直于S的单位向量（图511（a），计算单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量P（液体得密度为）. （a）（b）图511解 该斜柱体的斜高| v |，斜高与地面垂线的夹角为v与n的夹角，所以这柱体
11、的高为| v |cos,体积为 A| v |cos=Avn.从而，单位时间内经过这区域流向n所指向一侧的液体的质量为P= Avn.5.1.4 向量的向量积（叉积、外积）设O为一根杠杆L的支点.有一个力F作用于这杠杆上P点处. F与的夹角为（图513）.由力学规定，力F对支点O的力矩是一向量M，它的模| M | =|OQ|F |=|F |sin,而M的方向垂直于与F所确定的平面，M的指向是按右手规则从以不超过的角转向F来确定的，如图514。设向量c由两个向量a与b按下列方式给出：c的模| c |=| a | b |sin，其中为a、b间的夹角；c的方向垂直于a、b所决定的平面，c的指向按右手规则
12、从a转向b来决定（图512）那么向量c叫做向量a与b的向量积，即cab.图512因此上面的力矩M等于与F的向量积，即 MF. 图513图514向量积的几何意义：（1）ab的模|ab|是以a、b为邻边的平行四边形的面积（2）ab与一切即平行于a又平行于b的平面垂直。向量积的运算规律（1）abba.（2）（a+b）cacbc.（3）（a）ba（b）（ab）（为数）.向量积的性质 （1）aa0。 这是因为夹角0，所以| aa |=| a|sin0=0.（2）对于两个非零向量a与b：如果ab0，那么a/b；反之，如果a/b那么ab0.这是因为ab0，但| a |0.| b |0，所以sin0，于是0或
13、；反之，如果a/b，那么0或，于是sin0，从而|ab|0,即ab0.由于零向量可以认为与任意向量平行，所以上述结论可叙述为a/b是ab0.例3 设的三条边分别是a、b、c(图515)，试用向量运算证明正弦定理 证明 注意到CB=CA+AB,故有CBCA=(CA+AB) CA=CACA+ABCA =ABCA =AB(CB+BA) =ABCB图515于是得到 CBCA=ABCA =ABCB从而 |CBCA|=|ABCA| =|ABCB|即 absinCcbsinAcasinB所以5.1.5 向量的混合积设已知三个向量a、b和c. 如果先作两个向量a和b的向量积ab，把所得的向量与第三个向量c再作
14、数量积（ab）c，这样得到的数量叫做三向量a、b、c的混和积，记作abc.向量的混和积a b c=(ab)c是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积. 如果向量a、b、c组成右手系(即c的指向按右手规则从a转向b来确定)，那么混和积的符号是正的；如果a、b、c组成左手系(即c的指向按左手规则从a转向b来确定)，那么混和积的符号是负的.当abc=0时，平行六面体的体积为零，此时该六面体的三条棱落在同一平面上，即a、b、c共面；反之，当a、b、c共面时，(ab)c，此时，由混合积的定义，立即得到abc=0。于是得到三向量a、b、c共面的充要条件是abc=0。作业 1，3
15、，5，6，7，10，125.2 点的坐标与向量的坐标5.2.1 控件直角坐标系在空间取定一点和三个两两垂直的单位向量，就确定了三条都以为原点的两两垂直的数轴，依次记为轴（横轴）、轴（纵轴）轴（竖轴），统称坐标轴。它们构成一个空间直角坐标系。称为坐标系或坐标系(图516)，轴、轴、轴组成右手系。如图517图516图517三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。轴、轴确定的叫面，轴、轴确定的叫，轴、轴确定的叫面.三个坐标面分空间为八个部分，每一部分叫做一个卦限，含有轴、轴、轴正半轴的叫第一卦限，其他第二、第三、第四卦限在面上方，按逆时针方向确定。第一卦限下面的为第五
16、，第二下的为第六、第三下的为第七、第四下的为第八。如图518 图518图519设M是空间的一点，过点M分别作平面垂直于三条坐标轴，并依次与x轴、y轴、z轴交于P、Q、R三点，P、Q、R三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，这样点M就和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系。我们称有序数组(x,y,z)为点M的坐标，依次把x,y,z称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标，并将点M记做M(x,y,z)（图5-19），特别地有P(x,0,0),Q(0,y,0),R(0,0,z),O(0,0,0).设和是空间两点。过和各作三各垂直于x轴、y轴、z轴的平面。这6个平面围成一个长方体，为其对角线，
17、该长方体的三条棱的长度分别为、，于是得到和两点间的距离为特别地，点于坐标原点O（0，0，0）的距离为。例1 已知点A(4,1,7)、B(-3,5,0)，在y轴上求一点M，使得|MA|=|MB|.解 因为点在y轴上，故设其坐标为，则由两点间的距离公式，有解得，故所求点为例2 求证以三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 因为所以，即为等腰三角形.任给向量，对应有点M，使，以为对角线、三条坐标轴为棱作长方体，如图712所示，有设、，则。此式称为向量r的坐标分解式，、称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量。显然，给定向量r，就确定了点M及、三个分量，进而确定了x、y、z三个有序数；反之，给定三个有序数x
18、、y、z也就确定了向量r与点M.于是点M、向量r与三个有序数x、y、z之间有一一对应的关系Mrxi+yj+zk(x，y，z),据此，定义：有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz中)的坐标，记作r =(x，y，z)。向量r 称为点M关于原点O的向径.上述定义表明，一个点与该点的向径有相同的坐标。记号(x，y，z)即表示点M，又表示向量.如点M在yOz面上，则x0；同样，如点M在zOx面上，则y0；在xOy面上，则z0。如点M在x轴上，则yz0；同样，在y轴上的点，则zx0；在z轴上的点，有xy0。如点M为原点，则xyz0.5.2.2 向量运算的坐标表示利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以
19、及向量与数的乘法的运算如下：设 a，b，即aijk，bijk利用向量的运算规律，有ab（）i（）j（）kab（）i（）j（）ka（）i（）j（）k，（为实数）即ab（，）ab（，）a（，）由此可见，对向量进行加、减及数乘，只需对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了，5.1节命题1指出，当向量a0时，向量b/a相当于b=a,坐标表示式(,)=(,)这就相当于向量b与a的对应坐标称比例：即例3 设有点，求向量的坐标表示式。解 由于，而，于是 即例4 已知两点A（4，0，5）和B（7，1，3），求与方向相同的单位向量e.解 因为（7，1，3）（4，0，5）（3，1,2），所以，于是 e.例5
20、求解以向量为未知元的线性方程组 其中a（2,1,2），b=(-1,1,-2).解 解此方程组得x=2a3b , y =3a5b以a，b代入，即得x=2(2,1,2)3(1,1,2)=(7,1,10)y=3(2,1,2)5(1,1,2)=(11,2,16).例6 已知两点A和B以及实数，在直线AB上求点M，使.解 如图713所示.由于，因此（），从而（）.以、的坐标（即点A、点B的坐标）代入图713本例中的点M称为定比分点，特别地当时，得线段AB的中点为.利用向量的坐标运算，计算向量的模、方向角设向量r（x，y，z），作r，则点M的坐标为，由两点间距离公式立即得到| r |=。 图520非零向量
21、r与三条坐标轴的夹角称为向量r的方向角.从图520可见，设r（x，y，z），由于x是有向线段的值，MPOP，故，类似地 ， 从而 称为向量r的方向余弦。上式表明，以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量，并由此可得.例7 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向角.解 （12, 32,0） =(1, 1,);|= =;.下面我们来推导数量积的坐标表示式设aijk，bijk。按数量积的运算规律可得ab(ijk)(ijk)=i(ijk)j(ijk)k(ijk)=iiijikjijjjkkikjkk由于i、j、k互相垂直，所以ijjkki0，jikjik0，又由于i、j、k的模均为1，
22、所以iijjkk1. 因此得ab.这就是两个向量数量积的坐标表示式.由于ab| a | b |cos，所以当a、b都是非零向量时，有cos.将向量的坐标表示式代入上式得cos.这就是两向量夹角余弦的坐标表示式.由此可得的充要条件是0例8 已知三点M( 1, 1, 1)、A( 2, 2, 1)和B( 2, 1, 2), 求AMB.解 作向量，则AMB为向量与的夹角. 这时=( 1, 1, 0)，=( 1, 0, 1)，从而 =11+10+01=1; |=;=.从而cosAMB=,由此得AMB.例9 设立方体得一条对角线为OM，一条棱为OA，且|OA|=a，求在方向OM上的投影.解 如图521所示
23、，记MOA，有，于是.图521下面来推导向量积的坐标表示式设aijk，bijk。按向量积的运算规律可得ab(ijk) (ijk)=i(ijk)j(ijk)k(ijk)=（ii）（ij）（ik）（ji）（jj）（jk）（kI）（kj）（kk）.由于iijjkk0，i jk，jki，kij，jik，kji，ikj，所以ab（）i（）j（）k.为了帮助记忆，利用三阶行列式，上式可以写成ab例10 设a（2，1，1），b（1，1，2），计算ab.解 ab.例11 已知三角形ABC的顶点分别是A（1，2，3）、B（3，4，5）、和C（2，4，7），求三角形ABC的面积.解 由向量积对于，可知三角形ABC
24、的面积由于（2，2，2）， （1，2，4），因此于是 例12 设刚体以等角速度绕轴旋转，计算刚体上一点M的线速度.解 刚体绕轴旋转时，我们可以用在轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以右手握住轴，当右手的四个手指的转向与刚体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是的方向（图522）. 图522设点M到旋转轴轴上任取一点O做向量r，并以表示与r的夹角，那么a=| r |sin.设线速度为v，那么由物理学上线速度与角速度的关系可知，v的大小为| v |=| a=| r |sin;v的方向垂直于通过点M的与轴的平面，即v垂直于与r；又v的指向是使、r、v符合右手规
25、则，因此有v=r.类似可得向量混合积的表达式，设a(,)，b(,), c=()，则 a b c= 例13 已知不在一平面上的四点：A（）、B（）、C（）、D（）. 求四面体ABCD的体积. 解 由立体几何知道，四面体的体积等于以向量、和为棱的平行六面体的体积的六分之一. 因而=由于=,=,=所以=上式中符号的选择必须和行列式的符号一致.作业 3，4，6，8，10，13，155.3 空间的平面与直线5.3.1 平面平面的法线：垂直于平面的任一非零向量称为平面的法线。平面上的任一向量均垂直于平面的法线。设已知平面上的一点及其法向量n=(A, B, C), 下面求平面的方程。设M（x，y，z）为平面
26、上异于的任一点（图523），那么向量n，从而n0.由于n=(A, B, C)，（）,所以有A（）B（）C（）0.(1)这就是平面上任一点的坐标x，y，z满足的方程；反过来不在平面上点的坐标x，y，z显然不满足方程（1）。方程 图523（1）称为平面的点法式方程.例1 已知空间两点和，求经过点且与直线垂直的平面方程。解 显然就是平面的一个法向量由点法式方程可得所求平面的方程为即例2 求过三点（2，1，4）、（1，3，2）和（0，2，3）的平面的方程。解 先找出这平面的法线向量n. 由于向量n与向量、都垂直，而（3，4，6），（2，3，1），所以可取它们的向量积为n：n14i9jk,根据平面的点法
27、式方程（1），得所求平面的方程为14(x2)9(y1)(z4)0，即14x9yz150.本题也可以按下面的方法来解设是平面上的任意一点，则向量，共面，由混合积的几何意义可得即化简即得14x9yz150一般地，过已知三点，的平面方程为该方程称为平面的三点式方程由点法式方程可知平面的方程可以使用三元一次方程来表示，反过来，设有一次方程Ax+By+Cz+D=0.(2)任取满足该方程的一组数，即 A+B+C+D=0.(3)由（2）（3）A(x)+B(y)+C(z)+D=0.(4)与点法式相比可知（4）为过点，法向量为n=(A, B, C)的平面方程。由于（4）与（2）通解，可知任一三元一次方程（2）的
28、图形总是一个平面。方程（2）称为平面的一般方程，其中x，y，z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即n=(A, B, C).当D0时，方程（2）成为Ax+By+Cz=0，它表示一个过原点的平面.当A0时，方程（2）成为By+Cz+D=0，法线向量n=(0, B, C)垂直于x轴，方程表示一个平行于x轴的平面.同样，方程Ax+Cz+D=0和Ax+By+D=0，分别表示一个平行于y轴和z轴的平面.当AB0时，方程（2）成为Cz+D=0或，法线向量n=(0,0, C)同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于xOy面的平面.同样，方程Ax+D0和By+D0分别表示一个平行于yOz面和xOz面的平面.
29、例3 设一平面与x，y，z轴的交点依次为P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三点（图524），求这平面的方程（其中a0，b0，c0）.解 设所求的平面的方程为Ax+By+Cz+D=0.因P(a，0，0)、Q(0，b，0)、R(0，0，c)三点都在平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足方程（2）；即有得.以此代入（2）并除以D（D0），便得所求的平面方程为图524(5)方程（5）叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.例4 因平面通过z轴及点（1，2，3）的平面方程。解 因平面通过z轴，故可设其方程为 AxBy0又因（1，2，3）点在平面上，将其坐标代
30、入方程，则有A2B0，即A2B故所求平面方程为2BxBy0，即2xy0例5 设平面的方程为3x2yz50，求经过坐标原点且与平行的平面方程。解 显然所求平面与平面有相同的法向量n（3，2，1），又所求平面经过原点，故它的方程为 3x2yz05.2.3 空间直线空间直线可以看作是空间两平面的交线，如果两个相交的平面的方程分别为和，那么直线上的任一点必同时满足这两个平面的方程，即满足方程组（1）反过来，不在直线上的点，不可能同时在两个平面上，所以它的坐标不满足方程组（1）。因此直线可以使用方程组（1）表示。方程组称为空间直线的一般方程.直线的方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。
31、易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.假设直线过，且其方向向量为s=(m，n，p)，下面来求它的方程。设M（x，y，z）为直线上的任一异于的点，则/s, 如图526，从而两向量的坐标成比例，由于=(), s=(m，n，p), 从而有（2）图526显然，如果点M不在直线上，则不平行于s, 从而两向量的坐标不成比例。因此方程组（2）就是直线的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程.任一方向向量s的坐标(m，n，p)叫做这直线的一组方向数，而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.由直线的对称式方程容易导出直线的参数式方程. 如设t，那么（3）方程组（3）就是直线的参数式方程.例6 求经过两点和
32、的直线方程。解 该直线的方向向量可取n=。由点法式方程立即得到所求直线的方程该方程称为直线的两点式方程。例7 用直线的对称式方程及参数式方程表示直线（4）解 易得（1，0，2）为直线上的一点。直线的方向向量为两平面的法线向量的向量积，从而s=4i j - 3k.因此，所给直线的对称式方程为 令=t，得所给直线的参数方程为5.3.3 点、平面、直线的位置关系1 点到平面的距离设是平面Ax+By+Cz+D=0.外一点，求到这平面的距离（图526）. 在平面上任取一点(,)，并作一法线向量n，由图526，并考虑到与n的夹角也可能是钝角，得所求距离d=|Prj|. 设为与向量n同法线的单位向量，那么有
33、 Prj，图526而=，=()所以Prj= =由于，所以Prj=.由此得点到平面Ax+By+Cz+D=0得距离公式为：d =例8 求两个平行平面，之间的距离。解 在平面上任取一点，则两平面间的距离d就是点M到的距离，于是d =2 点到直线的距离设直线L的方程是，是空间一点，则在直线L上，且L的方向向量s=(m,n,p)。过点作一向量，使s=(m,n,p)，以，和为邻边作以平行四边形（图527），不难看出到L的距离d等于这个平行四边形底边上的高。由向量积的定义知，该平行四边形的面积图527又于是点到直线L的距离为 （11）例9 求点到直线L：的距离解 由直线方程知点在L上，且L的方向向量s=(1
34、,-3,5)。从而代入（11），得点M到L的距离为3. 两平面之间的夹角两平面的法线向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角.设平面和的法线向量的夹角依次为n)和n，那么平面和的夹角（图528）应是()和()() 图528两者中的锐角，因此，cos| cos ()|.按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面和平面的夹角可由 图525cos（6）来确定.从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论：、互相垂直相当于0；、互相平行或重合相当于.例10 一平面通过两点和且垂直于平面x+y+z=0，求它的方程.解 设所求平面的一个法线向量为 n（A，B，C）.因(1，0，2)在所求平面上，它必与n垂直，
35、所以有A2C=0(7)又因所求的平面垂直于已知平面x+y+z=0，所以又有A+B+C=0.(8)由（7）、（8）得到A=2C， BC.由点法式，平面方程为A(x1)+B(y1)+C(z1)=0.将A=2C，BC代入上式，并约去C(C0)，便得2(x1)+(y1)+(z1)=0或2xyz0.这就是所求的平面方程.4两直线的夹角两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角.设直线和的法线向量依次为s，s，那么和的夹角应是()和()()两者中的锐角，因此cos|cos()|,从而cos=(5)来确定两直线、互相垂直相当于0；两直线、互相平行或重合相当于例11 求直线:和：的夹角.解 直线的方
36、向向量s=(1,4，1)，的方向向量s=(2,2,1).设直线和的夹角为，那么由公式（5）有cos，故.5. 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角（）称为直线与平面的夹角（图529），当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为.设直线的方向向量为s=(m，n，p)，平面的法线向量为n（A，B，C），直线与平面的夹角为，那么，因此sin|cos|,从而有sin(6)直线垂直于平相当于； 图529直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.例12 求过点（1，2，4）且与平面2x3yz40垂直的直线方程。解 因为直线垂直于平面，所以平面的法线向量即为直线的
37、方向向量，从而所求直线的方程为.6平面束设直线L有方程组其中系数与不成比例.建立三元依次方程（13）因为与不成比例，所以、不全为零，所以（13）表示一个平面，且直线L上的点满足（13），反之过直线L的平面一定在（13）所表示的平面内，通过定直线的所以平面的全体称为平面束，而方程（13）就作为通过直线L的平面束方程.例13 求直线在平面x+y+z=0上的投影直线的方程.解 过直线的平面束的方程为即，（14）其中为待定系数。这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是，即.代入（14）式，得投影平面的方程为即.所以投影直线的方程为7杂例例14 求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点（3，2，5
38、）得直线方程解 因为所求直线与两平面的交线平行，所以其方向向量s一定同时垂直于两平面的法向量n、n，所以可以取s=nn=(4i+3j +k)，因此所求直线方程为.例15 求直线与平面2x+y+z-6=0的交点.解 所给直线的参数方程为x=2+t，y=3+t，z=4+2t，代入平面方程中，得2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.得t=-1,代入参数方程得交点为x=1，y=2，z=2.例16 求过点（2，1，3）且与直线垂直相交的直线的方程.过点（2，1，3）且垂直于已知直线的平面方程为3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0(9)已知直线的参数方程为x=-1+3t，y=1+2t，z=
39、-t.(10)将（10）代入（9）求得，从而求得直线与平面的交点为.以点（2，1，3）为起点，点为终点的向量这就是所求直线的方向向量，故所求直线的方程为作业 平面 1（2），2（3），3（1），4（1）（3）（5），直线 5（2）（4）点到平面直线距离7，8，9，10（3），13，14，16，175.4 曲面与曲线5.4.1 曲面、曲线的方程如果曲面S与三元方程 F（x，y，z）=0(1)有下述关系：（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）；（2） 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程（1）那么，方程（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程（1）的图形（图530）。 图5-30 图531
40、例1 建立球心在点、半径为R的球面的方程.解 设M（x，y，z）是球面上的任一点（图5-31），那么 |=R.由于|=，所以（2）这就是球心在、半径为R的球面的方程。如果球心在原点，这时，从而球面方程为 .例2 设有点A（1，2，3）和B（2，-1，4），求线段AB的垂直平分面的方程.解 由题意知，所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹。设M（x，y，z）为所求平面上的任一点，由于 |AM|=|BM|，所以 =等式两边平方，然后化简便得 2x - 6y + 2z 7=0在空间几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题（1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；（2）已知坐标x，y和z间的方程时，研究这方程所表示的曲面的形状.例3 方程表示怎样的曲面？解通过配方，原方程可以改写成 ，与（2）式比较知原方程表示球心在点、半径为R=的球面.一般地，设有三元二次方程，这个方程的特点是缺xy，yz，zx各项，而且平方系数相同，只要将方程经过配方可以化成方程（2）的形式，那么它的图形就是一个球面.空间曲线可以看作两个曲面的交线。设 F（x，y，z）=0 和 G（x，y，z）=0是两个曲面的方程，它们的交线为C（图5-32）。因为曲线C上的任何点的坐标