[数学]第26讲:高频考点分析之圆锥曲线探讨.doc

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1、【备战2013高考数学专题讲座】第26讲:高频考点分析之圆锥曲线探讨江苏泰州锦元数学工作室 编辑12讲,我们对客观性试题解法进行了探讨,38讲,对数学思想方法进行了探讨,912讲对数学解题方法进行了探讨,第13讲第28讲我们对高频考点进行探讨。圆锥曲线包括椭圆,双曲线,抛物线。其统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0e1时为双曲线。圆锥曲线具有许多重要的性质,并能直接联系实际应用,在高中数学中占据重要地位。在高考中所占分值一般为20分左右,且多与其他知识点相结合出现,综合性强,难度较大。掌握它的一些重要性质,至关重要。结合2012年全国各地高考的实例,我

2、们从以下七方面探讨圆锥曲线问题的求解:1. 圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质;2. 圆锥曲线的焦点(含焦半径、焦点弦和焦点三角形)问题;3. 点与圆锥曲线的关系问题;4. 直线与圆锥曲线的关系问题;5. 动点轨迹方程;6. 圆锥曲线中最值问题;7. 圆锥曲线中定值问题。一、圆锥曲线的定义、标准方程和几何性质:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1.(2012年全国课标卷理5分)设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点, 是底角为的等腰三角形,则的离心率为【 】 【答案】。【考点】椭圆的性质,等腰三角形的性质,锐角三角函数定义。【解析】是椭圆的左、右焦点,。是底角为的等腰三角形,。为直线上

3、一点,。又,即。故选。例2. (2012年全国课标卷理5分)等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线的准线交于两点,;则的实轴长为【 】 【答案】。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】的准线。 与抛物线的准线交于两点, ,。 设,则,得,。故选。例3. (2012年四川省理5分)已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为,则【 】A、 B、 C、 D、【答案】B。【版权归锦元数学工作室,不得转载】【考点】抛物线的定义【解析】设抛物线方程为,则焦点坐标为(),准线方程为。 点在抛物线上,点到焦点的距离等于到准线的距离。 且,解得。 ,。故选B。例4.

4、(2012年四川省理5分)方程中的,且互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有【 】A、60条 B、62条 C、71条 D、80条【答案】B。【考点】分类讨论的思想,抛物线的定义。【解析】将方程变形得,若表示抛物线,则分=3,2,1,2,3五种情况:(1)若=3, ; (2)若=3, 以上两种情况下有9条重复,故共有16+7=23条;同理当=2,或2时,共有23条; 当=1时,共有16条。综上,共有23+23+16=62条。故选B。例5. (2012年安徽省理5分)过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若; 则的面积为【 】 【答案】。【考点】抛物线的性质。【解析】设,

5、。 ,即点到准线的距离为。 ,即。 。的面积为。故选。例6. (2012年浙江省理5分)如图,分别是双曲线:的左、右两焦点,是虚轴的端点,直线与的两条渐近线分别交于,两点,线段的垂直平分线与轴交于点若,则的离心率是【 】 A B C D【答案】B。【版权归锦元数学工作室,不得转载】【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,双曲线的简单性质。【解析】如图:设线段的垂直平分线与交于点, |OB|b,|O F1|ckPQ,kMN。直线PQ为:y(xc),两条渐近线为:yx。由,得:Q(,);由,得:P(,)。直线MN为:y(x)。令y0得:xM。又|MF2|F1F2|2c,3cxM,解之得:,即e。故选B。

6、例7. (2012年江西省文5分)椭圆的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若成等比数列,则此椭圆的离心率为【 】A. B. C. D. 【答案】B。【考点】椭圆的性质,等比关系的性质。【解析】设该椭圆的半焦距为c,由题意可得,成等比数列,。,即,即此椭圆的离心率为。故选B。例8. (2012年浙江省文5分) 如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点。若M,O,N将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是【 】A.3 B.2 C. D. 【答案】B。【考点】椭圆和双曲线的方程和性质。【解析】设椭圆的长轴为2a,双曲线的长轴为,由M,O,N将椭圆

7、长轴四等分,则,即,又因为双曲线与椭圆有公共焦点,设焦距均为c,则双曲线的离心率为,。故选B。例9. (2012年福建省文5分)已知双曲线1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于【 】A. B. C. D.【答案】C。【考点】双曲线的性质。【解析】因为双曲线1的右焦点坐标为(3,0),所以c3,b25,则a2c2b2954,所以a2,所以e。故选C。例10. (2012年江西省理5分)椭圆的左、右顶点分别是,左、右焦点分别是。若成等比数列,则此椭圆的离心率为 .【答案】。【考点】等比中项的性质,椭圆的离心率,建模、化归思想的应用。【解析】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,

8、求解方程即可: 由椭圆的性质可知:,又已知,成等比数列,故,即,则。,即椭圆的离心率为。例11. (2012年天津市文5分)已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,且的右焦点为,则 【答案】1,2。【考点】双曲线的性质。【分析】双曲线的渐近线为,而的渐近线为,。又双曲线的右焦点为,。又,即,。例12. (2012年重庆市文5分)设为直线与双曲线 左支的交点,是左焦点,垂直于轴,则双曲线的离心率 【答案】。【考点】直线与圆锥曲线的关系,双曲线的性质。【分析】设,是左焦点,垂直于轴,为直线,。又在双曲线上,例13. (2012年江苏省5分)在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 【答案】2。【

9、考点】双曲线的性质。【解析】由得。 ,即,解得。二、圆锥曲线的焦点(含焦半径、焦点弦和焦点三角形)问题:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1. (2012年全国大纲卷理5分)已知为双曲线的左右焦点,点在上,则【 】A B C D【答案】C。【考点】双曲线的定义和性质的运用,余弦定理的运用。【解析】首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。由可知,。设,则。根据双曲线的定义,得。在中,应用用余弦定理得。故选C。例2. (2012年福建省理5分)已知双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于【 】A. B4 C3 D5【

10、答案】A。【考点】双曲线和抛物线的性质。【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F(3,0), 双曲线1的右焦点与抛物线y212x的焦点重合, 双曲线的焦点为F(c,0),且。 双曲线的渐近线方程为:yx,双曲线焦点到渐近线的距离db。故选A。例3. (2012年北京市理5分)在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线的焦点F,且与该抛物线相交于A、B两点,其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为 【答案】。【考点】抛物线的性质,待定系数法求直线方程,直线和抛物线的交点。【解析】根据抛物线的性质,得抛物线的焦点F(1,0)。 直线l的倾斜角为60,直线l的斜率。 由点斜式公式得直线

11、l的方程为。 。 点A在x轴上方,。 OAF的面积为。例4. (2012年安徽省文5分)过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则= 【答案】。【考点】抛物线的定义和性质。【解析】抛物线的准线。 设,。,根据抛物线的定义,点到准线的距离为。,即。又由,得,即。例5. (2012年辽宁省文5分)已知双曲线,点为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若,则的值为 .【答案】。【考点】双曲线的定义、标准方程以及转化思想。【解析】由双曲线的方程可得,。 。 ,。 。例6. (2012年重庆市理5分)过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= .【答案】。【考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线的性质,方程思

12、想的应用。【分析】设直线的方程为(由题意知直线的斜率存在且不为0),代入抛物线方程,整理得。设,则。又,。,解得。代入得。,。例7. (2012年安徽省文13分)如图,分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.()求椭圆的离心率;()已知面积为40,求 的值【答案】解:(I),是等边三角形。 椭圆的离心率。()设;则。在中,即,解得。,。,解得。【考点】椭圆性质和计算,余弦定理。【解析】(I)根据可知是等边三角形,从而可得,求出离心率。()根据余弦定理,用表示出,从而表示出,利用面积为40列方程求解即可。三、点与圆锥曲线的关系问题:典型例题:【版权归锦元数学

13、工作室,不得转载】例1. (2012年浙江省理4分)定义:曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离已知曲线:到直线:的距离等于曲线:到直线:的距离,则实数 【答案】。【考点】新定义,点到直线的距离。【解析】由C2:x 2(y4) 2 2得圆心(0,4),则圆心到直线l:yx的距离为:。由定义,曲线C2到直线l:yx的距离为。又由曲线C1:yx 2a,令,得:,则曲线C1:yx 2a到直线l:yx的距离的点为(,)。例2. (2012年上海市理14分)海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事

14、船的正南方向12海里A处,如图. 现假设:失事船的移动路径可视为抛物线;定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为7. (1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)【答案】解:(1)时,P的横坐标,代入抛物线方程得P的纵坐标。 A(0,12), 。 救援船速度的大小为海里/时。 由tanOAP=,得,救援船速度的方向为北偏东弧度。 (2)设救援船的时速为海里,经过小时追上失事船,此时位置为。 由,整理得。 当即=1时最小,即。 救援船的时速至少是2

15、5海里才能追上失事船。【考点】曲线与坐标。【解析】(1)求出A点和P点坐标即可求出。 (2)求出时速关于时间的函数关系式求出极值。例3. (2012年福建省理13分)如图,椭圆E:1(ab0)的左焦点为F1,右焦点为F2,离心率e,过F1的直线交椭圆于A、B两点,且ABF2的周长为8.()求椭圆E的方程;(II)设动直线l:ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由【答案】解:()|AB|AF2|BF2|8,|AF1|F1B|AF2|BF2|8。又|AF1|AF2|B

16、F1|BF2|2a,4a8,a2。又e,即,以c1。b。椭圆E的方程是1。(II)由得(4k23)x28kmx4m2120。动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),m0且0,64k2m24(4k23)(4m212)0,化简得4k2m230,此时x0,y0kx0m。P。由得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上。设M(x1,0),则0对满足式的m、k恒成立。,(4x1,4km),由0,得4x1x30,整理,得(4x14)x4x130。式对满足式的m,k恒成立,解得x11。存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M。【考点】椭圆的标准方程

17、,直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】()根据过F1的直线交椭圆于A、B两点,且ABF2的周长为8,可得4a=8,即a=2,利用e,b,即可求得椭圆E的方程。()由 消元可得(4k23)x28kmx4m2120,由动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0,y0),可得m0,=0,进而可得4k2m230,P。由 得Q(4,4km)。假设平面内存在定点M满足条件,由图形对称性知,点M必在x轴上。设M(x1,0),则0对满足式的m、k恒成立。由,(4x1,4km)和0得(4x14)x4x130。由式对满足式的m,k恒成立,得,解得x11。故存在定点M(1,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M。例4.

18、(2012年福建省文12分)如图所示,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x22py(p0)上(I)求抛物线E的方程;(II)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点【答案】解:(I)依题意,|OB|8,BOy30。设B(x,y),则x|OB|sin304,y|OB|cos3012。因为点B(4,12)在x22py上,所以(4)22p12,解得p2。故抛物线E的方程为x24y。(II)由(I)知yx2,yx。设P(x0,y0),则x00,且l的方程为yy0x0(xx0),即yx0xx。由得。所以Q。假设以PQ为直径的圆恒过定点

19、M,由图形的对称性知M必在y轴上,设M(0,y1),令0对满足y0x(x00)的x0,y0恒成立。由(x0,y0y1), 由于0,得y0y0y1y1y0,即(yy12)(1y1)y00(*)。由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立,所以,解得y11。故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。【考点】抛物线的标准方程,直线与圆锥曲线的综合问题。【解析】(I)依题意,|OB|8,BOy30,从而可得B(4,12),利用点B(4,12)在x22py上,可求抛物线E的方程。(II)由(I)知yx2,yx,设P(x0,y0),可得l的方程为yx0xx,与y=1联立,求得Q。假设以PQ为直径

20、的圆恒过定点M,由图形的对称性知M必在y轴上,设M(0,y1),由0,得(yy12)(1y1)y00。所以解得y11。故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。四、直线与圆锥曲线的关系问题:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1. (2012年辽宁省文5分)已知P,Q为抛物线上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P、Q分别作抛物线的切线,两切线交于A,则点A的纵坐标为【 】(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 8【答案】C。【考点】利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法。【解析】点P,Q的横坐标分别为4,2,代人抛物线方程得P,Q的纵坐标分别为8,2

21、。由得,。过点P,Q的抛物线的切线的斜率分别为4,2。过点P,Q的抛物线的切线方程分别为。联立方程组解得。点A的纵坐标为4。故选C。例2. (2012年湖北省理5分)如图,双曲线的两顶点为,虚轴两端点为,两焦点为。若以为直径的圆内切于菱形,切点分别为A,B,C,D。则()双曲线的离心率e= ;()菱形的面积与矩形的面积的比值 。【答案】();()。【考点】双曲线的离心率及实轴虚轴的相关定义,一般平面几何图形的面积计算。【解析】()由已知,解得。()由已知得,又直线的方程为,而直线的方程为,联立解得,。例3. (2012年全国大纲卷理12分)已知抛物线与圆 有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一

22、直线。(1)求;(2)设、是异于且与及都相切的两条直线,、的交点为,求到的距离。【答案】解:(1)设,对求导得。直线的斜率,当时,不合题意,。圆心为,的斜率,由知,即,解得。(2)设为上一点,则在该点处的切线方程为即。若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,即,化简可得,解得。抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为 。得,将代入得,故。到直线的距离为。【考点】抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,点到直线的距离。【解析】(1)两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来。首先设出切点坐标,求出抛物线方程的导数,得到在切点处的斜率。

23、求出圆心坐标,根据两直线垂直斜率的积为1列出方程而求出切点坐标。最后根据点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离即圆的半径。(2)求出三条切线方程,可由(1)求出。、的切线方程含有待定系数,求出它即可求得交点坐标,从而根据点到直线的距离公式求出到的距离。例4. (2012年全国课标卷理12分)设抛物线的焦点为,准线为,已知以为圆心,为半径的圆交于两点;(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值。【答案】解:(1)由对称性知:是等腰直角三角形,斜边。 点到准线的距离。 ,。 。 ,。 圆的方程为。 (2)由对称性设,则 三

24、点在同一直线上,点关于点对称,得:。,即 ,直线,整理得。 直线的斜率为。 又直线与平行,直线的斜率为。 由得,。 直线与只有一个公共点,令,得。切点。直线,整理得坐标原点到距离的比值为。【考点】抛物线和圆的性质,两直线平行的性质,点到直线的距离,导数和切线方程。【解析】(1)由已知,的面积为,根据抛物线和圆的性质可求得以及,从而得到圆的方程。 (2)设,根据对称性得,由在准线上得到,从而求得的坐标(用表示),从而得到直线的方程和斜率。由直线与平行和直线与只有一个公共点,应用导数可求出直线的方程。因此求出坐标原点到距离的比值。例5. (2012年上海市文16分)在平面直角坐标系中,已知双曲线(

25、1)设是的左焦点,是右支上一点,若,求点的坐标;(5分)(2)过的左焦点作的两条渐近线的平行线,求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(5分)(3)设斜率为()的直线交于、两点,若与圆相切,求证:(6分)【答案】解:(1)由双曲线得左焦点。 设,则, 由是右支上一点,知,所以,解得。 当时,。 。 (2)左顶点,渐近线方程:。 过与渐近线平行的直线方程为:,即. 解方程组,得。 所求平行四边形的面积为。 (3)设直线的方程是。因直线与已知圆相切,故,即 (*)。由,得。 设,则, 。 由(*)知,。 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,直线与圆的位置关系,双曲线的性质。【解析】(1)求出双曲线的

26、左焦点的坐标,设,利用求出,推出的坐标。(2)求出双曲线的渐近线方程,求出直线与另一条渐进线的交点,然后求出平行四边形的面积。(3)直线的方程是,通过直线与已知圆相切,得到1,通过求解 证明。例6. (2012年北京市理14分)已知曲线C:(1)若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,求m的取值范围;(2)设m=4,曲线c与y轴的交点为A,B(点A位于点B的上方),直线与曲线c交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G。求证:A,G,N三点共线。【答案】(1)原曲线方程可化为:。 曲线C是焦点在x轴点上的椭圆, ,是。 若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆,则m的取值范围为。(2)证明:m=4,曲线

27、c的方程为。 将已知直线代入椭圆方程化简得:。由得,。由韦达定理得:。设。则MB的方程为,。 AN的方程为。欲证A,G,N三点共线,只需证点G在直线AN上。将代入,得,即,即,即,等式恒成立。由于以上各步是可逆的,从而点在直线AN上。A,G,N三点共线。【考点】椭圆的性质,韦达定理的应用,求直线方程,三点共线的证明。【解析】(1)根据椭圆长轴大于短轴和长、短轴大于0得不等式组求解即得m的取值范围。 (2)欲证A,G,N三点共线,只需证点G在直线AN上。故需求出含待定系数的直线MB和AN的方程,点G的坐标,结合韦达定理的应用用逆推证明。也可通过证明直线MB和AN在时横坐标相等来证A,G,N三点共

28、线或直线AN和AG斜率相等。还可用向量求解。例7. (2012年北京市文14分)已知椭圆C:(ab0)的一个顶点为A (2,0),离心率为, 直线y=k(x1)与椭圆C交于不同的两点M,N(1)求椭圆C的方程(2)当AMN的面积为时,求k的值 【答案】解:(1)椭圆C的一个顶点为A (2,0),离心率为, 。,。 椭圆C的方程为。 (2)将y=k(x1)代入,并整理得,。 设, 。 在y=k(x1)中令y=0,得x=1。 。 平方,并整理得,解得。【考点】椭圆的性质,韦达定理的应用。【解析】(1)由已知A (2,0),离心率为,根据公式 和求出,即可求得椭圆C的方程。 (2)将y=k(x1)代

29、入,应用韦达定理求得。根据三角形面积公式和已知的AMN的面积为,列式求解。例8. (2012年四川省理12分)如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。()求轨迹的方程;()设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。【答案】解:()设M的坐标为(x,y),显然有x0且。当MBA=90时,点M的坐标为(2,, 3)。当MBA90时,x2。由得 tanMBA=,即化简得:。而点(2,,3)在上。时,。综上可知,轨迹C的方程为()。(II)由方程消去y,可得。(*)由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设,解得,m1且m2。设Q、R的坐标分别为,由有。由m1且m2得 且。 的取值

30、范围是。 【考点】直线、双曲线、轨迹方程的求法,倍角公式的应用。【解析】()设M的坐标为(x,y),当MBA=90时,可直接得到点M的坐标为(2,, 3);当MBA90时,由应用倍角公式即可得到轨迹的方程。()直线与联立,消元可得,利用有两根且均在(1,+)内可知,m1,m2。设Q,R的坐标,求出xR,xQ,利用 ,即可确定 的取值范围。例9. (2012年天津市理14分)设椭圆的左、右顶点分别为,点在椭圆上且异于,两点,为坐标原点. 【版权归锦元数学工作室,不得转载】()若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;()若,证明直线的斜率满足.【答案】解:()设,;椭圆的左、右顶点分别为,,。直线与

31、的斜率之积为,。代入并整理得。0,。椭圆的离心率为。()证明:依题意,直线的方程为,设,。|,。代入得,3。直线的斜率满足。【考点】圆锥曲线的综合,椭圆的简单性质。【分析】()设,则,利用直线与的斜率之积为,即可求得椭圆的离心率。()依题意,直线的方程为,设,则,代入可得,利用,可求得 ,从而可求直线的斜率的范围。例10. (2012年天津市文14分)已知椭圆,点P在椭圆上。(I)求椭圆的离心率。(II)设A为椭圆的右顶点,O为坐标原点,若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。【答案】解:(I)点P在椭圆上,。(II)设直线OQ的斜率为,则其方程为。设点Q的坐标为,由条件得,消元

32、并整理可得 。|AQ|=|AO|,A(,0),。 。0,。代入,整理得。, ,整理得,解得。直线的斜率的值为。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的简单性质。【分析】(I)根据点P在椭圆上,可得,由此可求椭圆的离心率。(II)设直线OQ的斜率为,则其方程为,设点Q的坐标为,与椭圆方程联立,求得,根据|AQ|=|AO|,A(,0),可求,两式联立由此可求直线OQ的斜率的值。例11. (2012年安徽省理13分) 如图,分别是椭圆 的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点,过点作直线的垂线交直线于点;(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;(II)证明:直线与椭圆只有一个交点。【答案】解:(I

33、)由,得点,代入得:。 , ,。 又 , ,由解得:。椭圆的方程为。(II)设,则,解得。 。 又,且点在椭圆的上半部分,。 过点与椭圆相切的直线斜率, 过点与椭圆相切的直线与直线重合。 直线与椭圆只有一个交点。【考点】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系。【解析】(I)根据椭圆的性质,点在上和得到三个关于的方程,求解即得。 (II)求出直线的斜率和过点与椭圆相切的直线斜率,证明二者相等即可。例12. (2012年浙江省理15分)如图,椭圆:的离心率为,其左焦点到点的距离为,不过原点的直线与相交于,两点,且线段被直线平分()求椭圆的方程;()求面积取最大值时直线的方程【答案】解:()由左焦点(c,

34、0)到点P(2,1)的距离为得:,即。由椭圆:的离心率为得:。所求椭圆C的方程为:。 ()易得直线OP的方程:yx。设A(xA,yA),B(xB,yB),的中点R(x0,y0),其中y0x0。A,B在椭圆上,。设直线AB的方程为l:y(m0),代入椭圆:。显然,m且m0,即m0或0m。又有:m,|AB|。点P(2,1)到直线l的距离为:,SABPd|AB|m2|。设,且当时,;当时,当时,SABP最大。(不在m0或0m内)。 此时直线l的方程y,即。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程和性质,导数的应用。【解析】()由题意,根据离心率为 ,其左焦点到点P(2,1)的距离为 ,建立方

35、程,即可求得椭圆C的方程。()设A(xA,yA),B(xB,yB),的中点R(x0,y0),由A,B在椭圆上,求得。设直线AB的方程为l:y(m0), 用m表示出|AB|和点P(2,1)到直线l的距离,从而表示出面积,应用导数知识求出面积最大时m的值即可。例13. (2012年湖南省文13分)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆的圆心.中国教育出%版网*&()求椭圆E的方程;()设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.【答案】解:()由,得,故圆的圆心为点。设椭圆的方程为其焦距为。由题设知,。椭圆的方

36、程为:。()设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且。由与圆相切,得,即。同理可得。是方程的两个实根,于是且由得,解得或。由得;由得它们都满足式。点的坐标为,或,或,或。【考点】曲线与方程、直线与曲线的位置关系。【解析】()据条件设出椭圆方程,求出即得椭圆E的方程。 ()设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标。例14. (2012年重庆市理12分) 如图,设椭圆的中心为原点,长轴在x轴上,上顶点为,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且 是面积为4的直角三角形.()求该椭圆的离心率和标准方程;(5分)()

37、过作直线交椭圆于,两点,使,求直线的方程(7分)【答案】解:()设所求椭圆的标准方程为。 是直角三角形且,。,即。,即。在中,。由题设条件得,。椭圆的标准方程为。()由()知。根据题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为,代入椭圆方程,得。设 则 是方程的两根,。又,。由,知,即,解得。满足条件的直线方程为。【考点】直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程和性质,直角三角形和等腰三角形的性质,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,韦达定理的应用。【分析】()设椭圆的方程为,利用是的直角三角形,从而,利用,可求 。又,可求椭圆标准方程。()由()知,由题意,直线的倾斜角不为0,故可设直线的

38、方程为,代入椭圆方程,消元可得,利用韦达定理及,利用可求的值,从而可求直线的方程。例15. (2012年陕西省理12分)已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率. 【版权归锦元数学工作室,不得转载】(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,求直线的方程.【答案】解:(1)椭圆以的长轴为短轴,可设椭圆的方程为。椭圆的离心率为,椭圆与有相同的离心率,则。椭圆的方程为。(2)两点的坐标分别记为,由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,可以设直线的方程为。将代入中,得,。将代入中,则,。由,得,即,解得。直线的方程为或。【考点】椭圆的标准方程和性质,向量相等的性质,待定系

39、数法,曲线上点的坐标与方程的关系。【解析】(1)根据椭圆以的长轴为短轴,可设椭圆的方程为;由椭圆与有相同的离心率,可求得,从而得到椭圆的方程。 (2)由及(1)知,三点共线且点,不在轴上,可以设直线的方程为。将分别代入两椭圆方程,求出和。由,得,从而求出,得到直线的方程。五、动点轨迹方程:典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】例1. (2012年全国大纲卷理5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为【 】A B C D【答案】C。【考点】椭圆的方程以及性质的运用。【解析】通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程:,。该椭圆的一条准线方程为,该椭圆的焦点在轴上且,。故选C。例2. (2012年山东省理5分)已知椭圆C:的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆

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