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1、 闽南理工学院备课笔记 第1次课 第1章 建立数学模型11.1什么是数学建模数学建模简单的讲就是将实际问题变为用数学语言描述的数学问题的过程。其中对应的数学问题就是数学模型，人们通过对该数学模型的求解可以获得相应实际问题的解决方案或对相应实际问题有更深入的了解。数学建模问题不只是一个纯数学的问题。以2001年全国大学生数学建模竞赛考题为例，此年出了两个赛题让参赛队在其中任选一个来做。这两个赛题是:血管的三维重建问题和公交车调度问题。前一个题目是生物医学方面的问题, 它除了形态医学知识之外,还涉及到几何学中的包络线知识、数据处理知识、计算机图象处理知识和计算机编程等；第二个题目涉及概率统计知识、
2、数据采集、数据处理知识、计算机仿真及计算机编程知识等。再看看以前各届国内外数学建模试题，更是五花八门。有动物保护、施肥方案、抓走私船的策略、应急设施的选址等等。实际上，熟悉科学研究的人会发现数学建模正是科学研究工作者及在读研究生要完成毕业论文要做的工作。由于数学建模具有可以培养解决实际问题能力的特点，因此，了解和学习数学建模知识对渴望提高自身科研素质的人们无疑是很有帮助的。 要学习数学建模，应该了解如下与数学建模有关的概念：l 原型人们在现实世界里关心、研究、或从事生产、管理的实际对象称为原形。原型有研究对象、实际问题等。l 模型为某个目的将原型的某一部分信息进行简缩、提炼而构成的原型替代物称
3、为模型。模型有直观模型、物理模型、思维模型、计算模型、数学模型等。一个原型可以有多个不同的模型。l 数学模型由数字、字母、或其他数学符号组成、描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法称为数学模型。1.2数学建模的方法和步骤数学建模乍一听起来是乎很高深，但实际上并非如此。例如，在中学的数学课程中我们在作应用题而列出的数学式子就是简单的数学模型，而作题的过程就是在进行简单的数学建模。下面我们用一道代数应用题求解过程来说明数学建模的步骤。例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔？数学模型解：设笼中有鸡x只，有兔y只，由已知条件有x+y=8 2x
4、+4y=22求解如上二元方程后，得解x=5,y=3，即该笼子中有鸡5只，有兔3只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。 根据例题可以得出如下的数学建模步骤：1）根据问题的背景和建模的目的做出假设（本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外）2）用字母表示要求的未知量3）根据已知的常识列出数学式子或图形（本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有2只脚，兔有4只脚）4）求出数学式子的解答 5）验证所得结果的正确性如果想对某个实际问题进行数学建模，通常要先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，然后通过互联网或图书馆查找搜集与建模要求有关的资料和信息为接下来的数学建模做
5、准备。这一过程称为模型准备。由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准备对做好数学建模问题是非常重要的。一个实际问题会涉及到很多因素，如果把涉及的所有因素都考虑到，既不可能也没必要，而且还会使问题复杂化导致建模失败。要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设，这一过程称为模型假设。在明确建模目的和掌握相关资料的基础上，去除一些次要因素。以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设可以为数学建模带来方便使问题得到解决。一般，所得建模的结果依赖于对应的模型假设，究竟模型假设到何种程度，要根据经验和具体问题决定。在整个建模过程中，模型假设
6、可以在模型的不断修改中得到逐步完善的。有了模型假设后，就可以选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）了，这一过程称为模型构成。做模型构成时可以使用各种各样的数学理论和方法，必要时还要创造新的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的数学方法是建模时要遵循的一个原则。要求建模人对所有数学学科都精通是做不到的，但做到了解这些学科能解决哪一类问题和大体上怎样解决的方法对开阔思路是很有帮助的。此外，根据不同对象的一些相似性，借用某些学科中的数学模型，也是模型构成中常使用的方法。模型构成是数学建模的关键。在模型构成中建立
7、的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以用计算机软件来做这些工作。建模的目的是解释自然现象、寻找规律以解决实际问题。要达到此目的，还要对获得结果进行数学上的分析，如分析变量之间的依赖关系和稳定状况等，这一过程称为模型求解与分析。把模型在数学上分析的结果与研究的实际问题做比较以检验模型的合理性称为模型检验。模型检验对建模的成败是很重要的，如果检验结果不符合实际，应该修改补充假设或改换其他数学方法重新做模型构成。通常，一个模型要经过如此多次反复修改才能得到满意结果。利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问
8、题进行分析、解释和预报，以供决策者参考称为模型应用。上面的论述可以用如下图示说明数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解与分析模型检验模型应用要指出的是上述数学建模的一般步骤中的每个过程不必在每个建模问题中都要出现，而且有时各个过程之间没有明显的界限，因此，在建模中不必在形式上按部就班，只要反映出建模的特点即可。1.3 椅子的摆放问题椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。模型准备 仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可
9、以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：模型假设1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。（对地面的假设）3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）根据上述假设做本问题的模型构成：ACDABCDB模型构成q用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐标系如图1-1。图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四只脚的对角线。于是由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度q来唯一
10、表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为q的函数。注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地情况。本题引入两个函数即可以描述椅子四个脚是否着地情况。记函数f(q)为椅脚A和C与地面的垂直距离之和。函数g(q)为椅脚B 和D与地面的垂直距离之和。则显然有f(q)0、 g(q)0，且它们都是q的连续函数（假设2）。由假设3，对任意的q，有f(q)、 g(q)至少有一个为0，不妨设当q=0时，f(0)0、 g(0)=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：数学命题（问题1的数学模型） 已知f(q)、 g
11、(q)都是q的非负连续函数，对任意的q，有f(q) g(q)=0，且f(0) 0、 g(0)=0 ，则有存在q0，使f(q0)= g(q0)=0。模型求解证明：将椅子旋转90，对角线AC与BD互换，由f(0)0、g(0)=0变为f(p/2) =0、g(p/2) 0 构造函数 h(q)=f(q) - g(q), 则有h(0) 0和h(p/2) 4000 km时厂与d无关，即设其中为待定参数这可以解释为0d4000km相当于从南极到赤道以南，海水温度随d增加而上升，使融化速率也随d的增加而变大，而d4000km后海水温度变化较小，可以忽略利用表5所给数据确定出*当拖船从南极出发航行第天时，与南极距
12、离为记第天冰山球面半径融化速率为，将(2)，(3)代入(1)式得 记第天冰山半径为，体积为，则其中为从南极启运时冰山的初始半径和体积由(4)(6)式可知冰山体积是船速、初始体积和航行天数的函数，记作，有其中由(4)式表示 2燃料消耗费用分析表4给出的燃料消耗(英镑千米，记作)的数据可以看出，对船速和冰山体积的对数1g均按线性关系变化，所以可设其中为待定参数利用表4所给数据可以确定*由(7)(9)式可将拖船航行第基天的燃料消耗记作 (英镑天)，且有 3运送冰山费用费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成由表3知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积决定，记日租金为，显然有又因为当船速为（km/
13、h）时冰山抵达目的地所需天数为，所以租金费用为而整个航程的燃料消耗为由(10)式得运送冰山的总费用为 4冰山运抵目的地后可获得水的体积将代人(7)式知，冰山运抵目的地后的体积为 注意到假设(3)，则得到水的体积为 5每立方米水所需费用记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为，由(12)，(14)式显然有模型的求解 这个模型归结为选择船速24和冰山初始体积，使(15)式表示的费用最小，其中由(12)，(4)式给出，由 (14)，(4)式给出由于是分段函数，只能固定一系列值对u求解又因为由调查数据(表4，表5)得到的经验公式是非常粗糙的，对船速24的选取也不用太精细，所以没有必要用微分法求解这个极值问
14、题表6是对几组值的计算结果，可知若选取最大的冰山初始体积 (当然要租用大型拖船)，船速kmh，每立方米水的费用约0.065英镑 结果分析 得到的结果虽然小于海水淡化的费用(每立方米01英镑)，但是模型中未考虑影响航行的种种不利因素，会拖长航行时间致使冰山抵达目的地后的体积显著地小于模型中的并且没有计算空船费等其他费用专家们认为，只有当用这个模型计算出来的费用显著地小于海水淡化的费用时(譬如小一个数量级)，才有理由考虑采用冰山运输的办法获得淡水评注 这个模型的思路是简单的，建模方法有两点值得注意：一是根据有限的数据(表4，表5)建立了经验公式(1)，(2)和(8)，(9)，为整个计算过程提供了基础，二是假定冰山呈球形，