[理学]线性代数练习题.doc

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1、线性代数试卷（1）一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 设 都是4维列向量,且4阶行列式则4阶行列式_ 2. 已知线性相关,不能由线性表示则线性_ 3. 设是阶矩阵 ,是阶矩阵,且,则的取值范围是_4.设是43矩阵,且的秩且则_-5.设0是矩阵的特征值,则_-6.设是正定二次型,则的取值区间为 7.矩阵对应的二次型是_8. 设相似于对角阵,则 9.设为3阶方阵,为伴随矩阵,则=_ 10.设是不可逆矩阵,则_二. (8分)计算行列式三.(8分) 三阶方阵满足关系式:,且 ,求四.(10分)设求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (12分)问常数取何值时, 方程组无解,有唯一解,或有无穷多解

2、,并在有无穷多解时写出其一般解.六. (16分)求正交变换,将二次型化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值八. (8分)设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.线性代数试卷（2） 填空题 (每小题3分，满分30分)1. 2. 3. 设A、B为4阶方阵，且，则4. 5. A是矩阵，其秩rank=1, , 则rank= _ 6.7.设方阵A有一特征值为，则的特征值为 。8. 9.线性代数试卷（3）一.填空题(每小题3分,满分30分)1.设是3阶矩阵,且,其中均为3维行向量, ,则行列式 2.已知方阵

3、满足(为常数),则 3.设,则应满足_.4.设线性相关, 线性无关,则线性_关.5.设线性相关,则满足关系式_6.设A满足,则A有特征值_7.设A为n阶方阵,且是的三个线性无关的解向量, 则的一个基础解系为_.8.二次型正定,则满足条件 _.9.设方阵相似于对角矩阵,则_.10.设A是矩阵,则_二.(8分)计算行列式三(8分)设,矩阵满足关系式:,求四.(10分)设求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (14分)对参数讨论方程组的解,有解时,求出其解.六. (16分)设实对称矩阵 求正交矩阵使为对角矩阵.并写出对角阵七. (8分)设向量线性无关,且证明向量组线性无关. 八.(6分)已知三阶矩阵

4、的特征值为,设矩阵,求矩阵B 的特征值及其相似对角阵线性代数试卷（4）三. 填空题(每小题3分,满分30分)4. 设都是5阶矩阵,且,则 5. 已知,则 (其中I是n阶单位阵),已知矩阵A的秩r(A)=2,则 ,又是的代数余子式,则 5.若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 6.设是正定二次型,则的取值区间为 7.设是阶正交矩阵,则 8. 设相似于对角阵,则 9.设非齐次线性方程组的两个解为的秩为,则的一般解 . 的秩为2,则 .四. (8分)计算n阶行列式五. (8分)求矩阵满足四.(10分)设求向量组的秩及其一个极大无关组.五. (12分)问常数各取何值时, 方程组无解,有唯一解,或

5、有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解.六. (16分)求正交变换,将二次型化为标准形,并写出其标准形.七. (8分)设向量线性无关,且证明向量组线性无关. 八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆.试讨论是否相似于对角阵,并说明理由线性代数试卷（5）一. 填空题(每小题3分,满分30分)1. 设都是阶方阵,且则 .2. 设是阶方阵,则的伴随矩阵= 3. 若向量组可由向量组线性表示,且线性无关,则与的大小关系为_4. 实二次型相应的实对称矩阵大于0的特征值个数为 5. 设是阶方阵,均为方程组的解,且,则_6.设都是阶方阵,且则_7.已知均为3维向量,且满足,则内积_8.设是正定矩阵,则的取值为

6、_.9设是阶方阵且与阶单位矩阵等价则线性方程组的解的个数为 10.行列式_二.计算题(每题8分,共48分)1. 1. 计算4阶行列式2.求下列矩阵的秩,并指出该矩阵的一个最高阶非零子式 3.设,求4.设,把表示成三个初等矩阵的乘积.5.设是阶方阵的属于特征值的特征向量,是可逆矩阵,求的属于特征值的一个特征向量.6.设线性方程组的系数矩阵为设为3阶方阵.已知,且,求的值三. 设都为阶方阵,已知与相似,与D相似证明与相似四求一个正交变换,使下列二次型化为标准形线性代数试卷（6）一.填空题(每小题3分,满分30分) _。 二.(8分)计算n阶行列式三(8分)已知矩阵满足关系式： 其中, 求四(10分

7、)设向量组问(1)为何值时，向量组线性无关。（2）为何值时，向量组线性相关，并求其秩及一个极大无关组。五(14分)对参数讨论方程组的解,有解时,求出其无穷多解。六(16分)设 求可逆矩阵使得为对角矩阵，并求。七. (8分)设为3维欧氏空间V的一组标准正交基，证明：。八.(6分)已知矩阵与相似，其中 求和。线性代数解答（07）一、选择题（每小题3分，共计15分）1设均为阶方阵，则 (C) (A)； (B)； (C)； (D)2设，则必有 (C) (A)； (B)； (C)； (D)3设向量组满足：（1）；（2）。则向量组的秩为 (B) (A)3； (B)4； (C)5； (D)前三个都不对4设是

8、矩阵且，则下列说法错误的是 (D) (A)齐次线性方程组有无穷多解； (B)非齐次线性方程组的增广矩阵的行所成的向量组线性无关； (C)非齐次线性方程组一定有无穷多解；(D)非齐次线性方程组可能无解5设是阶实对称矩阵，则下列说法正确的是 (A) (A)一定有个线性无关的特征向量； (B)的特征值一定为正； (C)的任意两个不同的特征向量一定是正交的； (D)一定有个不同的特征值二、填空题（每小题4分，共计20分）1 已知，则 0 . 2若向量组线性相关，则_2_3设是阶方阵，若有非零矩阵使，则0 _4设是阶矩阵且，是的一个特征值，则必有一个特征值是_1_5若阶矩阵的特征值为，矩阵与相似，则n!

9、 三、计算题（共计39分）1（13分）设满足，其中，求解 由得 2（13分）设非齐次线性方程组 问：、取何值时，此方程组有唯一解、无解、有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解解：将方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯矩阵： 所以，（1） 当时，此时方程组有唯一解（2）当，时，此时方程组无解（3）当，时，此时方程组有无穷多解，时，增广矩阵的行最简形矩阵为通解为：3（13分）设二次型通过正交变换化成标准形，求的值并求出该正交变换 解 二次型的矩阵及标准形的矩阵分别为， 因为，所以有 ，即由此得而且矩阵的三个特征值分别为特征值对应的单位特征向量为特征值对应的单位特征向量为特征值对应的单位特征向量为令：

10、 得该正交变换为 四、（共计26分）1（6分）设为阶矩阵，且满足，问：矩阵是否可逆？证明你的结论解 所以，不可逆。2（6分）设是阶可逆矩阵，是的伴随矩阵。求：； 解 （1）（2）3（6分）设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量分别为 ，。 又设向量，求解法一： = p2且A p2 =2 p2， A2 p2 =22 p2， ，An p2 =2n p2An=2n =。解法二：， ，。，。4（4分）设阶矩阵的每行元素之和为，求矩阵的一个特征值和特征向量解 ，则，所以是的一个特征值，对应的特征向量为。5（4分）设是阶正定矩阵，是阶反对称矩阵，即，问：是否是正定矩阵？证明你的结论 解 。设，则 是正定矩阵

11、，所以时，。故时。是正定矩阵。线性代数试题b(07)一、判断题（正确的填T，错误的填F。每题3分，共18分）1与为阶方阵，。 （ ）2向量组线性无关，则也线性无关。 （ ）3方阵一定不可逆。 （ ）4若,是同阶可逆矩阵，则与有相同的特征值。 （ ）5方阵为正定矩阵的充分必要条件是。 （ ）6与为阶方阵，若，则。 ( )二、 选择题（每题4分，共12分）1两个阶初等矩阵的乘积一定为（ ）。（A）初等矩阵； （B）单位矩阵；（C）可逆阵；（D）不可逆阵。2与相似的对角矩阵共有（ ）。（A）0个； (B)1个； （C）3个； （D）6个。3已知线性方程组的系数矩阵是矩阵，且的行向量组线性无关，则下列

12、结论正确的是（ ）。（A）的列向量组线性无关； （B）线性方程组的增广矩阵的任意四个列向量线性无关；（C）线性方程组的增广矩阵的行向量组线性无关；（D）线性方程组的增广矩阵的列向量组线性无关。三、 填空题（每题4分，共12分）1 若向量组线性相关，则_2满足什么条件 时，方程组有非零解。3若方阵的每行的元素的和均为，则的一个特征值为 ，一个特征向量为 。四、计算下列各题（每题8分，共32分）1已知，其中，求。2已知向量组，。求该向量组的秩以及一个极大无关组。3取什么值时，线性方程组无解？有唯一解？有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解。4求正交变换 ，用此正交变换将二次型化为标准形。五、解答下

13、列各题（每题8分，共16分）1 已知方阵满足，判断，是否可逆？如果可逆，求它们的逆矩阵。2设矩阵，其中线性无关，,向量求线性方程组的通解。六、证明题（每题5分，共10分）1已知均为阶对称阵，证明：。2三阶方阵，证明：矩阵的秩。线 性 代 数 试 卷(A) 一、选择题（每题3分，共15分）1.2.3.设是维列向量,阶方阵,，则在的个特征值中,必然_(A) 有个特征值等于1 (B) 有个特征值等于1(C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于14.5. 一定无解 可能有解 一定有唯一解 一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1.设是阶方阵A的伴随矩阵，行列式，则 =_2. D中第

14、二行元素的代数余子式的和=_ ,其中D = 3. 已知实二次型正定,则实常数的取值范围为_ 4. 2阶行列式 ,其中阶矩阵 5. 设A=而2为正整数，则三、计算题(每题9分,共54分)1. 计算阶行列式 2. 求矩阵使 3. 设非齐次线性方程组有三个解向量 ， ， 求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中为已知常数)4. 已知实二次型 =经过正交变换,化为标准形,求实参数及正交矩阵5. 设线性方程组为 ，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解6. 在四元实向量构成的线性空间中,求使为的基,并求由基的过渡矩阵,其中 四、证明题(每题8分,共16分)1. 设

15、 是欧氏空间的标准正交基,证明:也是的标准正交基2. 设是元实二次型,有维实列向量,使，, 证明:存在维列实向量,使=0线 性代 数 试 卷（B） 一、选择题（每题3分，共15分）1. 设阶行列式=，是中元素的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) ； (B) ；(C) ； (D) 2. 阶实对称矩阵和相似的充分必要条件是 (A) 与都有个线性无关的特征向量；(B) ；(C) 和的主对角线上的元素的和相等；(D) 与的个特征值都相等3. 设,是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列向量组中不再是的基础解系的为_(A) ,+,+,+；(B) +,+,+,-；(C) +,-,+,+；(D) +,+

16、,+,+4. 设方程组有无穷多组解，则必有_(A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 25. 设向量组是向量组的线性无关的部分向量组，则_ _(A) 向量组是的极大线性无关组(B) 向量组与的秩相等(C) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价(D) 当中向量均可由线性表出时，向量组，等价二、填空题（每题3分，共15分）1设 ，5，是矩阵的特征值，则= ，对应三个特征值的特征向量是 ,且 （选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2设为阶可对角化矩阵,且,则A必有特征值 ；且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个3已知实二次型= 是正定二次型，则参数的取值范围为 4设，已知，都

17、是齐次线性方程组的解，则矩阵 （答案不唯一）5设A 为阶可逆阵，且，则= 三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ，其中，为 阶方阵，2. 已知线性方程组，（1）常数取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解3设4阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中4求正交变换，用此正交变换将以下实二次型化为标准形=5设已知非齐次线性方程组 的三个解为， ， ，求：(1) 齐次线性方程组的通解；(2) 非齐次线性方程组的通解6设线性空间中的向量组为=，=，=，=，=，=（1）求由,生成的子空间L(,)的维数与一个基；（2）从,中选出属于L(,)的向量，并求出它们在（

18、1）中所选的基下的坐标。四、证明题（每题8分，共16分）1设和是阶正定矩阵，证明：合同于2设 是齐次线性方程组 的基础解系，向量满足，证明：向量组 线性无关。线 性 代 数试 卷(C) 一、选择题（每题3分，共15分）1.设矩阵，则行列式 (A)； (B)； (C)； (D)2.设三阶矩阵，已知伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) ； (B) ； (C) ； (D) 3.设是维非零实列向量,矩阵,，则_(A) 至少有1个特征值为1； (B) 恰有个特征值为1；(C) 只有1个特征值为1； (D) 没有1个特征值为14.(A) ； (B) ；(C) ； (D) 5.已知解向量组是齐次线性方程组的基础

19、解系，以下解向量组中，也是的基础解系的是 ； ； ； 二、填空题（每题3分，共15分）1设4阶方阵的伴随矩阵为，且它们的秩为，则秩 _；2. 设阶向量，；矩阵 ,且，则_ _； 3. 已知实二次型正定,则实常数的取值范围为_； 4. 设向量和都是矩阵对应特征值的特征向量，且向量，则向量 ；5. 设为阶实矩阵，且，则行列式 三、计算题(每题9分,共54分)1. 计算5阶行列式： 2. 设4阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中3. 已知为三阶实对称矩阵，,是对应特征值的特征向量，试求：（1）的另一个特征值及其特征向量； （2） 矩阵4. 已知实二次型 =求正交变换,化为标准形，并写出正交变换 5. 设

20、的两个基，；， （1） 求由基 的过渡矩阵； （2） 已知向量，求向量在基 下的坐标6. 设线性方程组为，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解四、证明题(每题8分,共16分)1设为阶矩阵，且满足，证明：2. 设是阶实矩阵,证明：为正定矩阵的充分必要条件为存在阶正定矩阵，使线性代数试卷答案（1）线性代数试卷答案（2）线性代数试卷答案（3）线性代数试卷答案（4） 单位化得正交矩阵 线性代数试卷答案（5）线性代数试卷答案（6）一. 填空题:1.; 2.; 3.; 4.相关;5.; 6.; 7.; 8.0;9.; 10.;二.三.,.四.五.六. 可逆矩阵,七

21、.只需证八.利用相似矩阵有相同的行列式及相同的特征值. 线性代数（07）B解答一、F F T T F T 二、C C C 三、 _2_； 或； 特征值为，特征向量为。四、计算下列各题（每题8分，共32分）1解：2解：所以该向量组的秩为3，而线性无关，为其一个极大无关组。3解：线性方程组的增广矩阵为当，即时，线性方程组有唯一解；当时，或a=1,b 1/2 时，线性方程组无解；当 a =1,b = 1/2时，线性方程组有无穷多个解，此时 线性方程组的通解为, k R。4解：二次型的矩阵为 其特征值为解，得所对应的特征向量为解，得所对应的特征向量为三个特征向量是相互正交的。正交变换矩阵为，标准型为五

22、、1 解：由得，知，可逆，且，。 2解：由得线性方程组的特解。 由线性无关，知，线性方程组的基础解系含有个解向量。而，的基础解系为。 的通解为。六、1证明：2证明：由三阶方阵得，故。 若，则的基础解系只含有一个解向量，但即，为的解。但，的秩为2，即的基础解系至少含有两个解向量，矛盾。故。线性代数考试A参考答案一、选择题1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(B) 二、填空题1. ； 2. 0； 3. ； 4.； 5.三、计算题1. 解 各列加到第一列，提出公因式= 8分= 9分2. 3分 9分3. 由题设条件知,是的三个解，因此， 是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系

23、数矩阵的秩2又中有二阶子式，2，因此2 3分因此，为其导出组的基础解系。由此可得线性方程组的通解： ， 为任意常数 9分4.的矩阵有特征值 由2分 A对应的线性无关的特征向量， ， 5分 A对应的单位正交特征向量 ， 8分 于是正交变换X = QY中的正交矩阵 = 9分 5. 3分 当4时，方程组有唯一解当4，2时，方程组无解5分当4，2时，3 4，方程组有无穷多组解,其通解为， 为任意常数 9分6. 解： 2分设,则 ， 4分设 ,则 9分四、证明题1. 证：因为4分 所以是V的标准正交基。 8分2. 证:是不定二次型,设的正惯性指数为P,的秩为r，则, 2 分可经非退化线性变换化为规范形=

24、 4分取 ,则有 使= 8分线性代数期末考试B参考答案一、选择题1C； 2D； 3D； 4A； 5D；二、填空题12，线性无关，相互正交； 21，；3； 4； 5三、计算题1| A | = （3分）； | B | =（6分）； | C |. = （9分）2（1） （2分） 无穷多解； 唯一解； 无解 （5分） （2） （9分）3 （3分） （9分）4 的矩阵A=的特征值, （2分）A对应的线性无关的特征向量= = = （5分）正交变换 （8分）化原二次型为标准形 （9分）5由题设知 ， 是两个线性无关的解，因此 （6分）因此可得方程组的通解为=，为任意常数（9分）6(,)(2分)（1） dim

25、 L(,)=2； ,可作为其中一个基 （5分）（2）(,)，+；(,) （9分）四、证明题1因为A,B都合同于单位矩阵E，由合同的传递性，A合同于B （8分）2作矩阵，A的第1至第列均减去第+1列，得B=易知B的列向量组线性无关，若不然，据题设，有从而，与矛盾，于是得 所以A的列向量组线性无关。 （8分）线性代数（C）参考答案一、选择题1.(A) 2.(B) 3.(B) 4.(D) 5.(C) 二、填空题1. ；2. ；3. ；4.；5.三、计算题1. 9分2. 4分 9分3. （1）因为，所以；设，则因正交， 由 得 6分（2）设，则 9分4.的矩阵，有特征值 2分 A对应的线性无关的特征向量与单位正交特征向量 6分，；， 于是正交变换即 化二次型为标准形 9分5. (1) 设 , 2分则 5分 (2) ，坐标 9分6. 3分 当4时，方程组有唯一解当4，2时，方程组无解 5分当4，2时，3 4，方程组有无穷多组解,其通解为 ，为任意常数 9分四、证明题1. 证：必要性 正定，特征值大于零，存在正交阵，所以，其中，故正定 4分 充分性 正定，故对称且可逆，所以正定 8分2. 证:因为， 由为可逆矩阵，可得， 所以， 8分