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1、一、计算题 难度： 使用次数：8 入库时间：2011-08-10 移动到: 题 1、已知函数.若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；求证；对任意恒成立的充要条件是；若，且对任意、，都，求的取值范围. 评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用解：，又，所以曲线在处的切线方程为即，由已知得，所以，. 充分性当时，当时，当时，所以在上是增函数，在上是减函数，； 必要性当时，在上是减函数，而，故时，与恒成立矛盾，所以不成立当时，当时，当时，所以在上是增函数，在上是减函数，；因为，又当时，与恒成立不符.所以.综上，对任意恒成立的充要条件是； 当时，在上是减函数， 不妨设且，则，等价于，即令，在上是减
2、函数， ，在时恒成立，又，所以的取值范围是 难度： 使用次数：17 入库时间：2011-06-20 移动到: 题 2、已知函数() =，g ()=+。（）求函数h ()=()-g ()的零点个数。并说明理由；（）设数列 （）满足，证明：存在常数M,使得 对于任意的，都有. 评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用 难度： 使用次数：14 入库时间：2011-06-20 移动到: 题 3、已知函数() =，g ()=+。（）求函数h ()=()-g ()的零点个数。并说明理由；（）设数列 （）满足，证明：存在常数M,使得 对于任意的，都有. 评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用 难度
3、： 使用次数：26 入库时间：2011-06-16 移动到: 题 4、已知函数，曲线在点处的切线方程为（I）求a，b的值；（II）如果当x0，且时，求k的取值范围 评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用解： （） 由于直线的斜率为，且过点，故即 解得，。 （）由（）知，所以 。考虑函数，则 。 (i)设，由知，当时，。而，故 当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0，且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0，故 (x）0，而 h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）1与0x1时
4、，需证即 即需证 （1）设，则由x1得，所以在（1，+）上为减函数又因g（1）=0所以 当x1时 g（x）0 即（1）式成立同理0x1时，需证 （2）而由0x1得，所以在（0，1）上为增函数又因g（1）=0所以 当0x1时 g（x）0时，因为，所以在上恒成立，故F(x)在上单调递增，故m的取值范围是（15分）另法:(3) 令 难度： 使用次数：40 入库时间：2011-05-08 移动到: 题 7、已知函数（，），（）证明：当时，对于任意不相等的两个正实数、，均有成立；（）记，（）若在上单调递增，求实数的取值范围；（）证明：. 评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用（）证明： ，则 ，则
5、，由知分（）（），令，则在上单调递增，则当时，恒成立，即当时，恒成立 5分令，则当时，故在上单调递减，从而，故分（）法一：，令，则表示上一点与直线上一点距离的平方 8分令，则，可得在上单调递减，在上单调递增，故，则， 10分直线与的图象相切与点，点到直线的距离为，则，故12分法二：，令，则8分令，则，显然在上单调递减，在上单调递增，10分则，则，故12分 难度： 使用次数：53 入库时间：2011-04-29 移动到: 题 8、已知函数，函数是区间-1，1上的减函数. （I）求的最大值； （II）若上恒成立，求t的取值范围； （）讨论关于x的方程的根的个数评论 题型：计算题知识点：2.4导数及
6、其应用解：（I），上单调递减，在-1，1上恒成立，故的最大值为4分（II）由题意（其中），恒成立，令，则，恒成立， 9分 （）由 令当上为增函数；当时，为减函数；当而 方程无解；当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. 14分 难度： 使用次数：52 入库时间：2011-04-22 移动到: 题 9、(本小题满分13分)已知函数，为正常数（1）若，且，求函数的单调增区间；（2）若，且对任意，都有，求的的取值范围 评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用解：，2分，令，得，或，函数的单调增区间为， 。 6分， 8分设，依题意，在上是减函数。当时， ，令，得：对恒成立，设，则，在上是增函数，则
7、当时，有最大值为，。 10分当时， ，令，得： ，设，则， 在上是增函数， 12分 综上所述，. 13分 难度： 使用次数：51 入库时间：2011-04-19 移动到: 题 10、（本小题满分14分）已知（1）求函数上的最小值；（2）对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：对一切，都有成立.评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用解：（1）由已知知函数的定义域为，1分当单调递减，当单调递增.2分，没有最小值； 3分，即时，； 4分，即时，上单调递增，； 5分所以 6分（2），则，7分设，则， 单调递减， 单调递增，所以，对一切恒成立，所以；10分（3）问题等价于证明，11分由（1）可
8、知的最小值是，当且仅当时取到，设，则，易知，当且仅当时取到，13分从而对一切，都有 成立 14分 难度： 使用次数：86 入库时间：2009-03-17 移动到: 题 11、设函数f(x)=x2+b ln(x+1),其中b0.()当b时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（）求函数f(x)的极值点；（）证明对任意的正整数n,不等式ln)都成立.评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用(I) 函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点。
9、（3）当时，解得两个不同解，.当时，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III） 当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得 难度： 使用次数：67 入库时间：2009-03-17 移动到: 题 12、已知函数，其中，a为常数（）当时，求函数的极值；（）当时，证明：对任意的正整数n，当时，有评论 题型：计算题知识点：2.4导数及其应用（）解：由已知得函数的定义域为，当n=2时，所以 . （1）当a0时，由=0得
10、1，1，（2）此时 =.当x（1，x1）时，0, 单调递减；当x（x1+）时，0, 单调递增.当a0时，0恒成立，所以无极值.综上所述，n=2时，当a0时,在处取得极小值，极小值为当a0时，无极值.（）证法一：因为a=1,所以当n为偶数时，令则=1+0（x2）.所以当x2,+时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此g(2)=0恒成立，所以f(x)x-1成立.当n为奇数时，要证x-1,由于0，所以只需证,令 ,则=1-0（x2）,所以当x2，+时，单调递增，又h(2)=10，所以当x2时，恒有0,即命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x2，时，对任意的正整数n，恒有1，故只需证明
11、.令则当x2时，0，故h(x)在上单调递增，因此 当x2时，h(x)h(2)=0，即1+ln(x-1) x-1成立.故 当x2时，有x-1.即f（x）x-1.二、综合题 难度： 使用次数：75 入库时间：2011-04-07 移动到: 题 13、（本小题满分14分）已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）评论 题型：综合题知识点：2.4导数及其应用解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5分 （2）当时，定义
12、域为 令， ， 在上是增函数 7分当时，即；当时，即；当时，即 9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， 12分 14分(法二)当时，即时命题成立 10分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结论，当时，即令，则有，则有，即时命题也成立13分因此，由数学归纳法可知不等式成立 14分（法三）如图，根据定积分的定义，得11分， 12分，又， 14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 难度： 使用次数：35 入库时间：2011-04-07 移动到: 题
13、14、（本小题满分14分）已知函数（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）评论 题型：综合题知识点：2.4导数及其应用解：（1）当时，定义域是， 令，得或 2分当或时，当时， 函数在、上单调递增，在上单调递减 4分的极大值是，极小值是当时，； 当时，当仅有一个零点时，的取值范围是或5分 （2）当时，定义域为 令， ， 在上是增函数 7分当时，即；当时，即；当时，即 9分（3）（法一）根据（2）的结论，当时，即令，则有， 12分，来源:学科网ZXXK 14分(法二)当时，即时命题成立 10分设当时，命题成立，即 时，根据（2）的结论，当时，
14、即令，则有，则有，即时命题也成立13分因此，由数学归纳法可知不等式成立 14分（法三）如图，根据定积分的定义，得11分， 12分，又， 14分【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识 难度： 使用次数：52 入库时间：2011-03-31 移动到: 题 15、（本题满分14分） 已知函数 （为自然对数的底数）（1）求的最小值；（2）不等式的解集为，若且求实数的取值范围；（3）已知，且，是否存在等差数列和首项为公比大于0的等比数列，使得？若存在，请求出数列的通项公式若不
15、存在，请说明理由评论 题型：综合题知识点：2.4导数及其应用解：（1） 1分 由当；当 4分 （2），有解 由即上有解 6分 令，上减，在1，2上增 又，且 8分 （3）设存在公差为的等差数列和公比首项为的等比数列，使 10分 又时， 故 -2得，解得（舍） 故 12分 此时 存在满足条件的数列 满足题意 14分 难度： 使用次数：62 入库时间：2011-03-30 移动到: 题 16、（本小题满分14分）已知函数 (1) 当时，求函数的最值；(2) 求函数的单调区间；(3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点.评论 题型：综合题知识点：2.4导数及其应用解：（1） 函数f(x)=x2-a
16、x-aln(x-1)(aR)的定义域是(1,+)1分当a=1时，所以f (x)在为减函数 3分在为增函数，所以函数f (x)的最小值为=.5分(2) 6分若a0时，则f(x)在(1,+)恒成立，所以f(x)的增区间为(1,+).8分若a0，则故当， 9分当时，f(x) ,所以a0时f(x)的减区间为，f(x)的增区间为.10分(3) a1时，由（1）知f(x)在(1,+)的最小值为，11分令在 1,+)上单调递减，所以则0，12分因此存在实数a(a1)使f(x)的最小值大于，故存在实数a(a1)使y=f(x)的图象与无公共点.14分 难度： 使用次数：55 入库时间：2011-03-21 移动
17、到: 题 17、已知函数（1）、若函数在处的切线方程为，求的值；（2）、若函数在为增函数，求的取值范围；（3）、讨论方程解的个数，并说明理由。评论 题型：综合题知识点：2.4导数及其应用解：（1）因为： ，又在处的切线方程为所以 解得： 3分（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，即：在上恒成立。所以有 3分（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；7分当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。，所以方程有惟一解。8分当时，因为当时，在内为减函数；当时，在内为增函数。所以当时，有极小值即为最小值。10分当时，此方程无解；当时，此方程有惟一解。当时，因为且，所以方程在区间上有惟一解，12分因为当
18、时，所以 所以 因为 ，所以 所以 方程在区间上有惟一解。所以方程在区间上有惟两解。 14分 综上所述：当时，方程无解；当时，方程有惟一解；当时方程有两解。 14分 难度： 使用次数：93 入库时间：2009-03-17 移动到: 题 18、设函数，其中为常数（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立评论 题型：综合题知识点：2.4导数及其应用解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增 （2）由（）得，当时，函数无极值点 时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点 当时，有两个
19、不同解，时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii) 当时，01此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点； 综上所述：当且仅当时有极值点;当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由(2)可知当时，函数， 此时有惟一极小值点且 难度： 使用次数：101 入库时间：2009-03-17 移动到: 题 19、设函数，其中为常数（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（）当且时，求证：评论 题型：综合题知识点：2.4导数及其应用解：（1）由题意知，的定义域为， 当时， ，函数在定义域上单调递增 （2）由（）得，当时，函数无极值点 时，有两个相同的解，时，时，函数在上无极值点 当时，有两个不同解，时，,此时 ，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点， ii) 当时，01此时，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点； 综上所述：当且仅当时有极值点; 当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点（3）由(2)可知当时，函数，此时有惟一极小值点且 令函数