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1、第一部分集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.举例1已知集，求.分析：集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域，所以，.举例2函数，其中P、M是实数集R的两个非空子集，又规定：.给出下列四个判断：（1）若，则；（2）若，则；（3）若则；（4）若则.其中正确的判断有-（ ）A、1个； B、2个； C、3个； D、4个.分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.是函数的值域，是函数的值域.取，可知（1）、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应，所以若，只能是，此时，（2）正确.对于命题（4）：设则且，若，显然有且，所以有；若，由则，
2、由，则.若有，则，所以，则，所以，则.同理可证，若，则有.（4）也正确，选B.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.举例若且，求的取值范围.分析：集合A有可能是空集.当时，此时成立；当时，若，则，有.综上知，.注意：在集合运算时要注意学会转化等.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若且即，则A是B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是
3、乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题.举例设有集合，则点的条件是点；点是点的条件.分析：集合M是圆外的所有点的集合，N是直线上方的点的集合.显然有.（充分不必要、必要不充分）4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.举例命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是，它是（填真或假）命题.5、若函数的图像关于直线对称，则有或等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数的图像关于直线的对称曲线是函数的图像，函数的图像关于点的对称曲线是函数的图像.举例1若函数是偶函数，则的
4、图像关于对称.分析：由是偶函数，则有，即，所以函数的图像关于直线对称.或函数的图像是由函数的图像向右平移一个单位而得到的，的图像关于轴对称，故函数的图像关于直线对称.举例2若函数满足对于任意的有，且当时，则当时.分析：由知，函数的图像关于直线对称，因而有成立.，则，所以.即时.6、若函数满足：则是以为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数满足：则是以为周期的函数.（注意：若函数满足，则也是周期函数）举例已知函数满足：对于任意的有成立，且当时，则.分析：由知：，所以函数是以2为周期的周期函数.，故意原式值为0.7、奇函数对定义域内的任意满足；偶函数对定义域内的任意满足.注意：使用函数奇偶性
5、的定义解题时，得到的是关于变量的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若是奇函数且存在，则；反之不然.举例1若函数是奇函数，则实数；分析：注意到有意义，必有，代入得.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.举例2若函数是定义在区间上的偶函数，则此函数的值域是.分析：函数是偶函数，必有，得；又由是偶函数，因而.即，所以此函数的值域为.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数的图像关
6、于直线对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.举例若函数是定义在区间上的偶函数，且在上单调递增，若实数满足：，求的取值范围.分析：因为是偶函数，等价于不等式，又此函数在上递增，则在递减.所以，解得.9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数的图像，作出函数的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换）；要特别关注的图像.举例函数的单调递增区间为.分析：函数的图像是由函数的图像经过下列变换得到的：先将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的（或将函数的图像向上
7、平移1个单位）得到函数的图像，再将函数的图像作关于轴对称得到函数的图像，再将函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，再将函数的图像向下平移1个单位得到函数，最后将函数的图像在轴下方部分翻折到轴上方得到函数的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化（尤其是与轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是与.需要注意的是：函数图像变化过程：与变化过程：不同.前者是先作关于轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线对称.10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的
8、性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等.举例1已知函数，若不等式的解集不为空集，则实数的取值范围是.O1分析：不等式的解集不为空集，亦即函数的图像上有点在函数的图像的上方.函数的图像是轴上方的半支抛物线，函数的图像是过点斜率为的直线.当时直线与抛物线相切，由图像知：.（注意图中的虚线也满足题义）举例2若曲线与直线没有公共点，则应当满足的条件是 .分析：曲线是由与组成，它们与轴的交点为和，图像如图（实线部分）.可以看出1-1O若直线曲线的图像没有公共点，此直线必与轴平行，所
9、以，.11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？举例函数，（），若此函数存在反函数，则实数的取值范围是.分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数图像的对称轴为直线知：或必存在反函数，或必不存在反函数.当时如何讨论？注意到函数在
10、区间上递减，在上递增，所以只要或即可.亦即或.综上知，实数的取值范围是.12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.举例函数的反函数为.分析：令，则.因为，所以，则，.又原函数的值域为，所以原函数的反函数为.（若是从反函数表达式得求得就不是反函数的定义域）.13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线对称；若函数的定义域为A，值域为C，,则有.需要特别注意一些
11、复合函数的反函数问题.如反函数不是.举例1已知函数的反函数是，则函数的反函数的表达式是.分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用表示然后将互换即得反函数的表达式.由可得.所以函数的反函数为.举例2已知，若，则.分析：由得，所以.14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数的单调性. 举例已知函数在上是单调增函数，求实数的取值范围.分析：函数称为“耐克”函数，由基本不等式知：当时，函数的最小值是，当时等号成立.时，函数递减；时，函数递增.记住此结论在解选择
12、、填空等小题时用起来比较方便.函数在上递增，则，得.但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证.任设且.，由函数是单调增函数，则，而，则.所以对于且恒成立，因，故.需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.举例求函数在区间的最值.分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开
13、口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.，.16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.举例1已知关于的不等式的解集是，则实数的值为 .分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解集端点值是方程的根
14、.则得，知.举例2解关于的不等式：.分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当时，此不等式是恒成立的，则其解集为.当时，才是二次不等式.与其对应的方程为，根判别式.当，即或时，方程两根为；当，即时，方程有等根；当，即时，方程无实根.结合二次函数的图像知：时不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.第二部分不等式17、基本不等式要记住等号成立的条件与的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.举例已知正数满足，则的最小值为.分析：此类问
15、题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由，当且仅当等号成立，此时.18、学会运用基本不等式：.举例1若关于的不等式的解集是R，则实数的取值范围是；分析：由不等式的解集为，则大于的最大值.由绝对值不等式的性质知：，所以.举例2若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是.分析：，知.19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）通分转化为整式不等式化所有因式中的变量系数为正，（即不等式
16、两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有利用绝对值不等式的性质平方讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”.举例解关于的不等式：.分析：原不等式化为：.注意到此不等式二次项系数含有变量，故要讨论.（1）当时，不等式的解集为；（2）当时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根，而，此时不等式的解集为；（3）当时，同样可得不等式的解集为.20、求最值的常用方法：用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；二次函数；单调性；逆求法（包括判别式法
17、）；换元法；数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.举例1已知函数的最大值不大于，又当时，求实数的值.分析：，则，又此二次函数开口向下，则有.知.注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.举例2求函数在区间上的最大值与最小值.分析：因为函数的定义域不是一切
18、实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设，则，.当时，取最小值4；当时，取最大值.所以函数在区间上的最大值为，最小值为.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法.21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.举例（1）已知不等式对于）恒成立，求实数的取值范围.（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.分析：（
19、1）由得：对于）恒成立，因，所以，当时等号成立.所以有.（2）注意到对于恒成立是关于的一次不等式.不妨设，则在上单调递减，则问题等价于，所以或，则取值范围为.第三部分三角函数22、若，则；角的终边越“靠近”轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边“靠近”轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.举例1已知，若，则的取值范围是.分析：由且，即知其角的终边应“靠近”轴，所以.举例2方程的解的个数为个.分析：在平面直角坐标系中作出函数与的图像，由函数都是奇函数，而当时恒成立.在时，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点），即方程只有一个解.同样：当时，方程只有唯一解.23、求某个角或比较两角的大小：通常
20、是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由未必有；由同样未必有；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如；则；或；若，则；若，则.举例1已知都是第一象限的角，则“”是“”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如都是第一象限的角，但.选D.举例2已知，则“”是“”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：注意到由，则可以看作是一三角形的两内角.选C.2
21、4、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由的值求的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.举例1已知是第二象限的角，且，利用表示；分析：由是第二象限的角，知，.举例2已知，求的值.分析：由得：，则或.又，所以.由万能公式得，.知.25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：；引入辅助角（特别注意，经常弄错）使用两角和、差的正弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周
22、期的一半.举例函数的最小正周期为；最大值为；单调递增区间为；在区间上，方程的解集为.分析：由.所以函数的最小正周期为；最大值为2；单调递增区间满足，即；由，则，或得或，又由得解集为. 注意：辅助角的应用：.其中，且角所在的象限与点所在象限一致.26、当自变量的取值受限制时，求函数的值域，应先确定的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围，并注意A的正负；千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.举例已知函数，求的最大值与最小值.分析：函数.由，则，所以函数的最大 、最小值分别为与.27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关的齐次式（等式或不等式）
23、，可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道ABC三边平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为（其中R是ABC外接圆半径.举例在ABC中，分别是对边的长.已知成等比数列，且，求的大小及的值.分析：由成等比数列得，则化成，由余弦定理得，.由得，所以=.28、在ABC中：；，等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当且仅当.举例1（1）已知ABC三边成等差数列，求B的范围；（2）已知ABC三边成等比数列，求角B的取值范围.分析：（1）由ABC的三边成等差数列，则，消去化得.所以.（2）同样可以求得.举例2在ABC中，若，则ABC的形状一定是（）A、等腰直角三角形；B、直角三角
24、形；C、等腰三角形；D、等边三角形.分析：在三角形ABC中：，则.所以ABC是等腰三角形.举例3ABC中，内角A、B、C的对边分别为，已知成等比数列，且.（1）求的值；（2）设，求的值.分析：（1）先切化弦：.由成等比，所以.由得，则.（2）注意到，所以，则.又由余弦定理得：，得，所以.29、这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.举例1已知关于的方程有实数根，求实数的取值范围.分析：由，令，则，其中.则关于的方程在上有解.注意到方程两根之积为1，若有实根必有一根在内，只要即可，得
25、或.举例2已知且，则.分析：此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.由平方得，又由知.则有.，得.有，所以.30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.函数的图像没有对称轴，它们的对称中心为.两相邻对称轴之间的距离也是半个周期.举例1已知函数，且是偶函数，则满足条件的最小正数；分析：是偶函数，则是它图像的一条对称轴.时，函数取最大（小）值.，.所以满足条件的最小正数.举例2若函数的
26、图像关于点成中心对称，则.分析：由的图像关于点成中心对称知，.第四部分复数31、复数问题实数化时，设复数，不要忘记条件.两复数，的条件是.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作实数化处理.举例若复数满足：，则.分析：设，原式化为，得，求得.32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断.举例若方程的两根满足，求实数的值.分析：在复数范围内不一定成立，但一定成立.对于二次方程，韦达定理在复数范围内是成立的.，则或，所以或.33、的几何意义是复平面上对应点之间的距离，的几何意义是复平面上以对应点为圆心，为半径的圆.举例若表示的动点的
27、轨迹是椭圆，则的取值范围是.分析：首先要理解数学符号的意义：表示复数对应的动点到复数与对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有，而此式又表示对应的点在以对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知.34、对于复数，有下列常见性质：（1）为实数的充要条件是；（2）为纯虚数的充要条件是且；（3）；（4）.举例设复数满足：（1）（2），求复数.分析：由则或.当时，则，由得或（舍去）；当时，可求得.综上知：.第五部分数列与极限35、等差数列中，通项，前项和（为公差，）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：是常数(=
28、常数，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数有：（）.举例数列满足：.（1）求证：数列是等差数列；（2）求的通项公式.分析：注意是到证明数列是等差数列，则要证明是常数.而，所以.即数列是等差数列.又，则，所以.36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.举例1已知数列是等差数列，是其前项的和，则；分析：注意到是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到，所以.举例2已知数列是等比数列，是其前项的积，则
29、.分析：由成等比，则，所以.37、在等差数列中，若，则；在等比数列中，若，则等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.举例数列是等比数列，且公比为整数，则的值为.分析：由得或，又此数列的公比为整数，所以公比，则.38、等差数列当首项且公差，前n项和存在最大值.当首项且公差，前n项和存在最小值.求等差数列前项和的最值可以利用不等式组来确定的值；也可以利用等差数列的前项的和是的二次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.举例1若是等差数列，首项，则（1）使前项和最大的自然数是；（2）使前项和的最大自然数 ；分析：由条件可以看出，可知最大，则使最大的自然数为2006；由知，所以，则使的最大自然
30、数为4012.举例2在等差数列中，满足且是数列前项的和.若取得最大值，则.分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由知，则.当时，当时，所以.39、数列是等比数列，其前项的和是关于的分段函数，在求和过程中若公比不是具体数值时，则要进行讨论.举例1数列是等比数列，前项和为，且，求的取值范围.分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前项和存在的前提条件是，且，知，则，有，则.举例2数列是等比数列，首项，公比，求的值.分析：涉及到等比数列的前项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当时，此时；当时，则=.40、等
31、差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若是等差数列，则对于任意自然数有；若是等比数列，则对于任意的自然数，有.在这两关系式中若取，这就是等差（比）数列的通项公式.举例1已知数列是等差数列，首项，且.若此数列的前项和为，问是否存在最值？若存在，为何值？若不存在，说明理由.分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为，则，即，由知，所以数列是递减数列，故有最大值而无最小值.由等差数列的通项公式知：，当时，当时，.所以最大.综上知，当时，最大，不存在最小值.举例2已
32、知正项等比数列中，首项，且.若此数列的前项积为，问是否存在最值？说明理由.分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前项积最大（小），则应满足.设此数列公比为，则，则.由知：时，时，.所以当时，最大，没有最小值.特别注意等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列是正项等比数列，记，则数列是等差数列.反之若数列是等差数列，记，则数列是等比数列.41、已知数列的前项和，求数列的通项公式时，要注意分段.当满足时，才能用一个公式表示.举例已知数列的前项和.若是等差数
33、列，求的通项公式.分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.由知，时，当时，.当时，而.若数列是等差数列，则，所以.则.42、形如：+的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：的递推数列，求通项用连乘（约项）法.举例数列满足，求数列的通项公式.分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：，等比数列的递推关系：.由题知：相加得：，又，所以，而满足此式，则.43、一次线性递推关系：数列满足：是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当时，此数列是等差数列，当（时，此数列是等比数
34、列.解决此递推的方法是通过代换（令化成等比数列求解.举例已知数列满足：，求此数列的通项公式.分析：由得：知数列是等比数列，首项为2，公比为2，所以，知.44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.举例某企业去年底有资金积累万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长20%，但每年底要留出万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求的最大值.分析：与年数相
35、关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同.设从今年开始每年底该企业的资金积累为万元，则（万元），则.所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，.由题知，则，求得：.即的最大值大约为8%.45、常见的极限要记牢：，注意存在与是不相同的；，特别注意此式的结构形式；若是关于的多项式函数，要会求.举例1求下列各式的值：（1）；（2）.分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.（1）当时，原式；当时，原式.（2）与相关的极限问题要注意其结构形式，注意到括号内是号相连，且分子为1，幂的指数与括号内的分
36、母相同.当形式不同时，要向此转化.举例2若，则；.分析：对于分子分母是关于的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.注意到此式极限为1是存在的，由上分析知，所以.46、理解极限是“无限运动的归宿”.举例已知ABC的顶点分别是，记ABC的外接圆面积为，则.分析：本题若要先求出三角形ABC的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当时A、B、C点的变化，不难看出ABC被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接
37、圆的直径.从而有.第六部分排列、组合与概率47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.举例对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动
38、，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有种选法，所以共有种不同的选法.请分析这位同学的错误原因，并给出正确的解法.分析：这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A、B、C、D、E，如先选的为A、B，再选的为C，和先选的为A、C，再选的为B是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数，所以重复. 正确解法有两种：方法一：（分类讨论）选出的3人中至少有2名女同学，则为2女1男有种不同选法，3位都为女同学有种不同选法.两种结果都能完成这件事，所以有种不同的选法.方法二：（去杂法）8位同学中选出3人不满足条件和
39、选法为3男与2男1女.所有选法为，则满足题义的选法为：.48、简单地说：事件A的概率是含有事件A的“个体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.举例定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合的真子集可以作为A的“孙集”的概率是.分析：本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义“真子集的真子集”.元素为个的集合的真子集有个，其真子集的元素最多有个.有个元素的集合的真子集最多有个元素.所以有个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的小于等于个元素的真子集.故其概率.第七部分向量49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则
40、（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，表示ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），表示A、B两点间的距离；以、为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量+、（或）.举例已知非零向量满足：，则向量的关系是（）A、平行；B、垂直；C、同向；D、反向.分析：注意到向量运算的几何意义：与表示以和为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有.选B.另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解.，化简得：，有.50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量同向的单位向量，反向的单位向量.举
41、例已知ABC，点P满足则点P的轨迹是（）A、BC边上的高所在直线；B、BC边上的中线所在直线；C、平分线所在直线；D、BC边上中垂线所在直线.分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题.，它涵盖了单位向量、向量加法的意义、数与向量乘积的概念等.注意到分别是上的单位向量，则是以上的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以所在直线是平分线所在直线，则P点的轨迹是平分线所在直线.选C.51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积；其中可视为向量在向量上的射影.举例1已知ABC是等腰直角三角形，90，ACBC2，则；ABC分析：特别注意的是，向量与的夹角不是ABC的内角B， 与的夹角是
42、的外角.（如图）由，则，则.ABCDP举例2P是ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点，AD4，则的取值范围是.分析：由D是BC的中点知，与反向，它们所成角为.设，则.那么.所以其取值范围为.52、向量运算中特别注意的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.举例已知，且的夹角为，又，求.分析：，则，由题知，所以.注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成.53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知则.若，则，其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式的“简记”.其中分别表示与轴、
43、轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量是非零向量则有：；.举例设O是直角坐标原点，在轴上求一点P，使最小，并求此时的大小.分析：设，则则=，所以当时，的最小值为此时，所夹角等于，所以.所以.54、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是.特别注意不能等同于所成角是锐角.当同向时也满足.举例1已知ABC，则“”是“ABC为钝角三角形”的（）A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充分必要条件；D、既不充分又不必要条件.分析：对于ABC，由可知是钝角，但ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A.举例2是过抛物线焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，
44、则ABO是（）A、锐角三角形；B、直角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与P值有关.分析：由直线过焦点，设其方程为，联立得：，即：，设，则，又=.则，则一定是钝角.选C.55、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型.举例已知向量.设.（1）若且，求的值；（2）若函数的图像按向量平移后得到函数的图像，求实数的值.分析：（1）由题知：，由题：，又，所以.（2）函数是由函数向左平移，再向上平移1个单位而得，所以.56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点按向量平移得到点的坐标是；曲线C：按向量平移得到曲线的方程为.在实际应用过程中不必要死记公式，可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.举例1将椭圆对应的曲线按向量平移后得到的曲线的方程为标准方程，则；分析：椭圆的中心为，平移后中心为，则点为向量的起点，点为向量的终点，所以.举例2平移坐标轴，将原点按向量平移后，使椭圆在新坐标系中化成为标准方程，则向量.分析：本例与上例平移方向相反.是将原点从平移到，因此.注意到曲线（函数图像）的平移坐标系不变，而坐标轴的平移是曲线（函数图像）不变.