[高等教育]陕西科技大学高等数学 练习册下册上答案.doc

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1、姓名： 班级： 学号： 65陕西科技大学 高等数学 练习册（下册）上答案第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意是点以任何方式趋于;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题 811.求下列函数表达式:(1)，求解：(2)，求解：2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:(1) 解：(2)解：(3) 解：3.求下列极限:(1) 解：(2)解一：解二：(3)(4)解一：解二：(4)解一：解二：4.证明下列函数当时极限不存在:(1)解：(2)解：5.下列函数在何处

2、是间断的?(1) 解：(2)解：第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设在的某一邻域有定义，则，.的几何意义为曲线在点处的切线对轴的斜率. 在任意点处的偏导数、称为偏导函数，简称偏导数.求时，只需把视为常数，对求导即可.2.高阶偏导数的偏导数的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：，其中后两个称为混合偏导数.若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 821.求下列函数的一阶偏导数:(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：(5)解：(6)解：(7)(

3、8)解：(8)解：2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:（1），求解：（2），求解：3.求下列函数的高阶偏导数:(1)， 求，解：(2)，求，解：(3)， 求， 解：4.设 ，求和.解：5.设， 求证解: 6.设， 证明证明: 由轮换对称性, 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数在点处的全增量表示成则称在点可微，并称为在点的全微分，记作.2.可微的必要条件：若在可微，则 （1）在 处连续； （2）在处可偏导，且，从而 .一般地，对于区域内可微函数， .3.可微的充分条件：若在的某邻域内可偏导，且偏导数在处连续，则在可微。 注：以上定义和充分条件、必要条件均可推

4、广至多元函数。习题 831.求下列函数的全微分(1) (2)解: (2)解: (3) 解: (4)解: (5)解: 所以(6)解: 2.求函数，当时的全微分.解: 3.求函数，当 时的全增量与全微分.解: 4.研究函数在点处的可微性.解: 由于，所以在点连续，又又所以所以在点处可微5.计算的近似值.解：令，则，再设则6.已知边长 的矩形，如果边增加5cm，而边减少10cm，求这个矩形的对角线的长度变化的近似值.解：对角线长为，则，所以第四节 多元复合函数的求导法则本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则（链式法则）如下：1.设在可偏导，在相应点有连续偏导数，则在 的偏导数为2.推广

5、：(1)多个中间变量：设， 则且(2)只有一个中间变量：设则且(3)只有一个自变量：设，则且 习题841.求下列复合函数的一阶导数(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2.求下列复合函数的一阶偏导数(1)解：(2)解：3.求下列复合函数的一阶偏导数（是类函数）(1)解：，(2)解：，(3)解：，(4)解：，4.设且具有二阶连续偏导数，求解：5.已知，其中有二阶连续导数，求解：6.设，其中有连续二阶偏导数，求解：第五节 隐函数的求导公式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.一个方程的情形（1）若方程确定隐函数， 则.（2）若方程确定隐函数，则；.2.方程组的情形（1）若确定，则，.（2）若确定

6、，则，；，.习题851求下列方程所确定的隐函数的一阶导数(1)解：(2)解：(3)解：(4)解：2求下列方程所确定的隐函数的一阶偏导数(1)解：(2)解：(3)解：，(4)解：3求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数(1)设解：(2)设 解：(3)设解：(4)设解：4设，而是由方程所确定的隐函数，求解：又，所以5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数（1）设，求 解：(2)设，求 解：6.设，求解：又所以7.设，而是由方程所确定的的函数，其中都具有一阶连续偏导数.试证明 解：由，又所以第六节 多元函数微分学的几何应用本节主要概念，定理，公式和重要结论1.空间曲线的切线与法平面 设点，(1)

7、参数方程情形： 若，则切向量为；其中； 切线方程为；法平面方程为.(2)一般方程情形：若 ，则切向量为；切线方程为；法平面方程为.2.空间曲面的切平面与法线 设点 .(1)隐式方程情形 若，则法向量为；切平面为；法线为 .(2)显式方程情形 若，则法向量为，切平面为；法线为.(3)参数方程情形 若，则法向量 ，切平面为；法线为.习题861求曲线 对应的点处的切线和法平面方程.解：切线：法平面：2求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程（1），点 解：切平面：法线：（2），点解：切平面：即法线：3求出曲线上的点，使在该点的切线平行于平面.解：设曲线在点的切向量为平面的法向量为，由题意可知所以，该点

8、为4求椭球面上平行于平面的切平面方程.解：设曲面在点处的法向量为，则，由题意可知，令，又，所以，代入得所以切平面方程为或即或5试证曲面上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于1.证明：设为曲面上任一点，则曲面在该点处的法向量为，那么切平面的方程为即，该平面在三个坐标轴上的截距为，故6求曲线在点处的切线和法平面方程.解：曲线在点处的切向量为所以切线的方程为法平面为，即第七节 方向导数与梯度本节主要概念，定理，公式和重要结论1.方向导数(1)定义 设在点的某邻域内有定义，是任一非零向量， ，则在点处沿的方向导数定义为表示函数在点处沿方向的变化率.(2)计算公式若在点处可微，则对任一单位向量，有

9、（此也为方向导数存在的充分条件）.2.梯度(1)定义 设，则梯度grad为下式定义的向量：grad（或）.(2)方向导数与梯度的关系(3)梯度的特征刻画梯度是这样的一个向量，其方向为在点处增长率最大的一个方向；其模等于最大增长率的值.习题871求下列函数在指定点处沿指定方向的方向导数(1)为从点（1，2）到点（2，2+）的方向解：方向为，而所以(2)解：而所以2求函数在抛物线上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向轴正向的切线方向的方向导数.解：抛物线在点处的切向量为3求函数 在点处沿方向角为的方向的方向导数.解：4设具有一阶连续的偏导数，已给四个点，若在点处沿方向的方向导数等于3，而沿方向

10、的方向导数等于26，求在点处沿方向的方向导数.解：所以5设，求grad及grad解：6问函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：沿梯度方向的方向的方向导数最大第八节 多元函数的极值及其求法本节主要概念，定理，公式和重要结论1.极大（小）值问题必要条件. 若在点有极值且可偏导，则.使偏导数等于零的点称为的驻点（或稳定点）.驻点与不可偏导点都是可疑极值点，还须用充分条件检验.充分条件. 设在区域内是类函数，驻点，记（1）当时，是极值，且是极小（大）值；（2）当时，不是极值；（3）当时，还需另作判别.2.最大（小）值问题首先找出在上的全部可疑极值点（设为有限个），算出它们的函

11、数值，并与的边界上的最大.最小值进行比较，其中最大、最小者即为在上的最大、最小值.对于应用问题，若根据问题的实际意义，知目标函数在内一定达到最大（小）值，而在内的可疑极值点唯一时，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为在内的最大（小）值.3.条件极值（拉格朗日乘子法）求目标函数在约束方程下的条件极值，先作拉格朗日函数,然后解方程组，则可求得可疑极值点.对于二元以上的函数和多个约束条件，方法是类似的。习题 881求下列函数的极值（1）解：，故在处取得极大值（2）解：可疑极值点有四个，即点-6600006-6-6600-36-363636是否极值点极大值点极小值点不是不是2求下列函数在约束方程下

12、的最大值与最小值（1）解：令最大值最小值（2）解：令最大值，最小值3从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.解：令所以当直角三角形的两直角边时，该直角三角形的周长最大，且为4求两曲面交线上的点与面距离最小值.解：设两曲面交线上的点为，由题意可得令，所以当时，到面的距离最短。5求抛物线到直线之间的最短距离.解：设抛物线上任一点到直线的距离为，则令所以，点到直线的距离为为最小，且 6求表面积为1500cm2，全部棱长之和为200cm的长方体体积的最大值和最小值.解：设长方体的三条棱长分别为，由题意可知，令当时，所以当时，有最大和最小值，即7抛物面被平面截成一椭圆，求原点到这椭圆的

13、最长与最短距离.解：曲线上任一点到坐标原点的距离为，则令当时，矛盾，所以，即，代入得所以，即第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质本节主要概念、定理、公式和重要结论1重积分的定义，与定积分定义类似，用划分、近似、求和、逼近的思想方法，二重、三重积分定义为下列和式的极限（其中右端的极限存在，并设被积函数在积分域上有界）：；和 其中是（二维或三维）各小区域直径的最大值。可积充分条件：若被积函数在积分域上连续或分块连续，则重积分存在。几何意义：以曲面为顶的曲顶柱体的体积，其中为柱体在面上的底物理意义：设为平面薄片（所占区域为）的面密度，则其质量设为立体（所占区域为）的体密度，则其质量2重积分性质

14、(1)线性性质：；(2)区域可加性：若积分区域由和构成，且，则;(3)正性：若，则；(4)单调性：若在上，则；(5)绝对可积性：若可积，则可积，且有；(6)积分中值定理：设，则，使得(为的面积)；(7)估计定理 若分别为在上的最大、最小值，则有 .三重积分也有类似性质，不另列。习题 91 1利用二重积分的性质比较下列积分的大小（1）与，其中积分区域是由轴，轴与直线所围成.解：(2)与，其中由所围成的区域.解：2利用二重积分的性质，估计下列积分的值（1），其中为矩形区域：.解：（2），其中是圆形闭区域：.解：因为所以3设，其中；又其中，试利用二重积分的几何意义说明与之间的关系.解：第二节 二重积

15、分的计算法本节主要概念、定理、公式和重要结论1计算二重积分的一般方法（其中）：先将二重积分化为二次积分，然后计算两次定积分求得二重积分的值。2利用直角坐标化为二次积分：若为-型区域，则若为-型区域，则若既非-型、又非-型区域，则将划分为若干个子区域，使每一个子区域是-型或-型的，再分别利用上述公式计算，并将计算结果相加。3利用极坐标计算二重积分令，则有如下的变换公式若可表为，则上式右端可化为如下的二次积分：4二重积分的一般换元法其中变换：称J为Jacobi行列式，并常称|J|为变换 T下面积元素的伸缩系数 。习题 92（1） 1 画出积分区域并计算下列二重积分(1)，其中是由及所围成的闭区域解

16、：(2)，其中是顶点分别为（0,0），（2,4），（6,0）的三角形闭区域解：(3)，其中是由及所围成的区域解：(4)，是由及所围成解：(5)，是由及轴围成的右半闭区域解：(6)，是由所确定的闭区域解：2按两种不同次序化二重积分为二次积分.其中为(1)由直线及抛物线所围成的闭区域解：(2)由直线及双曲线所围成的闭区域解：(3)由轴及半圆周所围成的闭区域解：(4)由所确定的闭区域解：3改变下列二次积分的次序(1)解：(2)；解：(3)解：(4)；解：(5)解：4求下列积分(1) 解：(2)解：5设平面薄片所占的闭区域由及轴所围成，它的面密度为，求此薄片的质量解：解二：而所以 或7设在区域上连续，

17、且，其中是由，及所围成的区域，求解：令，所以而即，故8.计算解：(对称性)而所以习题 92（2） 1画出积分区域,将积分表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域是（1）解：（2）解：2把下列积分化为极坐标形式,求积分的值(1) 解：(2)解：(3) 解：3利用极坐标计算下列各题(1)其中是由圆周及坐标轴所围成的位于第一象限的闭区域解：(2),其中是由圆周及直线所围成的在第一象限内的闭区域解：4用适当的坐标计算下列各题(1),其中是由直线及曲线所围成的闭区域解：(2),其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域解：(3), 其中是由 及在第一象限围成的区域解：(4), D:解：(5)解：5

18、求位于圆周的内部及心形线的外部的区域的面积.解：6求由曲面与围成的立体的体积解：第三节 三重积分本节主要概念、定理、公式和重要结论1利用直角坐标系计算三重积分(1)坐标面投影法(“先一后二”法)将三重积分先化为叠积分，再化为三次单积分：化三重积分为三次积分的关键是各积分限的确定。(2)坐标轴投影法(截面法、切片法、“先二后一”法)2利用柱面坐标计算三重积分柱面坐标：(其中体积元素)再把它化为累次积分计算。适用时机：当是柱形、锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或圆域的一部分，或被积函数式中含有式子等时，常用柱面坐标计算。3利用球面坐标计算三重积分球面坐标：其中，球面坐标系下的体积元素于是有计算

19、公式：再视的形状，把右边的三重积分化为累次积分计算。适用时机：当是球体或球体的一部分、或被积函数含有式子时，常用球面坐标计算。习题 93 1化三重积分为三次积分,其中积分区域分别为:(1)由曲面及平面所围成的闭区域.解：(2)由曲面及所围成的闭区域.解：(3)由曲面,及围成的闭区域.解：2用直角坐标计算下列三重积分(1),其中为平面所围成的四面体解：(2), 其中是由锥面与所围成的闭区域解：(3)，其中是由平面及柱面所围成的闭区域解：，关于面对称，所以(4),其中是由及所围成的闭区域解：3柱面坐标计算下列积分(1)，其中是由及所围成的闭区域解：(2)，其中是由与所围成的闭区域解：(3)，其中是

20、介于两柱面和之间的被平面和所截下的部分解：(4)，其中： 解：4用球面坐标求下列积分(1)，是由曲面和所围成的闭区域解：(2)，为球体解：(3)，由及确定解：5用适当的坐标系求下列积分(1)，是由及所围成的闭区域解：解二：(2)，是由与所围成的闭区域解：解二：(3)解：6用三重积分求下列立体的体积(1)及（含有轴的部分）解：(2)及解：解二：7设在上连续,其中; 求.解：8设有一物体占有空间闭区域在处密度为,求该物体的质量.解：第四节 重积分的应用本节主要概念、定理、公式和重要结论1曲面的面积 其中是曲面在面的投影域，曲面面积元素 2重心和转动惯量(1)静矩 设平面薄片的密度，则(2)质心其中

21、是薄片的质量。若薄片均匀，即（常数），则其中是的面积，这时又称为形心。(3)转动惯量以上公式可推广到空间物体。质量质心转动惯量 3引力质量为的物体对位于的单位质量的质点的引力： 其中为体密度函数，为引力系数，。习题 941求下列曲面的面积(1)求球面含在圆柱面内部的那部分面积解：(2)求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围成的立体的表面积解：或2求下列平面图形的形心(1) 是椭圆盘位于第一象限的部分解：所以(2) 由心脏线所围成解：由对称性可知，所以3求立体的形心解：由对称性可知，所以4设平面薄片所占的闭区域由及所围成，它在处的面密度为，求该薄片的质心解：所以5设圆盘内各点处的面密度与该点到坐标

22、原点的距离成正比，求该圆盘的质心解：所以6求下列均匀薄片或物体对指定直线的转动惯量.(1)长为与的矩形薄片对两边的转动惯量(2)半径为的球体对过球心的直线及对球体相切的直线的转动惯量解:设实心球为设实心球为综合练习（一）一、 选择题1、 函数在点处的偏导数是函数在该点可微的（ A ） （A） 必要条件，但是非充分条件 （B） 充分条件，但非必要条件 （C） 充分必要条件 （D） 既非充分又非必要条件2、级数是（ B ）（A） 条件收敛 （B） 绝对收敛（C） 发散 （D）收敛性不能确定3、函数的极小值点是（ B ）（A） （2，0） （B） （0，0）（C） （0，1） （D） （1，0）解:

23、 ,4、设函数是以为周期的周期函数，它在区间上的表达为 则的傅立叶级数在处收敛于（ D ）（A） 0 （B）（C）- （D） 5、微分方程具有如下形式的特解（ C ）（A） （B）（C） （D）二、计算下列各题1解:2设，其中是由方程所确定的函数，试求解: 所以3计算解: 4计算曲线积分其中为正弦曲线上由到的一段弧解: ,且所以二、回答下列问题1若在内连续，则用极坐标表示的二次积分表达式为：2设光滑曲线(取正向)所围成的区域的面积为，则3试将化为直角坐标系下的二次积分解: 4幂级数的收敛区域是解: 又时,级数发散, 时,级数收敛,所以,该级数的收敛域为5函数展开成的幂级数为解: 三、试求均匀半

24、球壳对轴的转动惯量(设半球壳的面密度为)解: 四、计算积分，：是由所围成的区域的边界，取顺时钟方向解: ,设,方向为逆时针方向, 围成的区域为则五、设空间区域：，将分别在柱面坐标系与球面坐标系下化成三次积分(不计算)解: 六、设区域：，是的边界曲面的外侧，求解: 所以七、求微分方程的通解解: ,所以而,故,方程的通解为解: 八、把函数在上展成正弦级数解: 九、设可微函数满足方程 ,求。解: 因为所以,即令,则,所以有,即所以又,故综合练习（二）一、 选择题（每小题3分，5小题共15分）1.若在点处可微，则它在点处，以下结论不正确的是（ D ）(A)极限存在 (B)连续 (C)偏导数存在 (D)

25、偏导数连续2.平面与曲面在点（1，1，2）处的切线的方向向量（ A ）(A) （-1，3，4） (B) （3，-1，4） (C) （-1，0，3） (D) （3，0，-1）解: 3.设函数，则它在点（0，0）处（ C ）(A) 有极小值 (B)极大值(C)无极值 (D)无法判断是否有极值解: 4.级数是（ C ）(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定解:一个收敛,一个发散,所以发散5.设，其中区域D由曲线和直线所围成，则I等于（ B ）(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 解:积分区域区域关于对称,被积函数关于是奇函数,所以等于二、填空题（每小题3分，5小题共15分

26、）1设，则。解: 2设函数由方程所确定，则。解: 3已知二阶常系数齐次线性方程的通解为，则该方程为_。解: 4设L为椭圆，其周长为a, 则。解: 5设是以为周期的周期函数，且，则的付里叶级数在点处收敛于_。解: 三、解下列各题，求解: 2.设，求。其中二阶可导解: 求曲线 在处的切线及法平面的方程解: ,切线: 法平面: 设半径为的球面的球心在定球面上，问为何值时，球面在定球面内部的那一部分的面积最大？解: 设的方程为,为球面在球面内的哪一部分,则为:所以时,面积最大.四、解下列各题解: ，是由曲线绕轴旋转一周所形成的曲面与平面所围成的区域解: ，为从点到点的上半圆周解: 设,由于且所以4.，

27、是被和所截出的部分的外侧解: 设,取上侧,取下侧解法二：记,取右侧记,取左侧五、解下列各题1设在上连续，证明：证明2求球面被及所夹部分的面积解: 解法二：3在过点和的曲线族中，求一条曲线，使沿该曲线从 到的积分的值最小解: ,取最小值,所以4判断级数的敛散性，若收敛，求出该级数的和解: 因为收敛,且同理收敛,且所以收敛,且四、求解下列各题1判别级数的敛散性解: 又对于级数,因为,而级数发散，所以也就发散；而级数为交错级数，又，所以数列当时单调下降，故级数条件条件收敛。2写出方程的特解形式解: 齐次议程的特征方程为所以不是特征方程的特征根，所以特解形式为 3求级数的收敛域解: 对于级数，由于所以

28、当，即时级数绝对收敛，又时，级数是收敛的，所以级数的收敛域为级数，故级数的收敛域也为4把展成以2为周期的Fourier级数，并由此求的和解: ,是定义在的偶函数所以 当时，有，即所以五、解下列各题1.解: 令，所以即2.解: 令，所以，又也是方程的一个解3.解: 齐次方程的特征方程为所以的通解为当时，方程的特解形式为代入得方程的通解为当时，方程的特解形式为代入得方程的通解为4.已知曲线过点，如果把曲线上任一点处的切线与轴的交点记为，则以为直径所做的圆都经过点，求此曲线的方程。解: 设曲线方程为，则过点的切线方程为：所以点的坐标为，由题意可知，即，令代入得即又由题意可知，故综合练习（三）一、设，

29、其中具有连续的二阶偏导数，求解: 二、证明上任意点的切面都过原点证明: 切平面平面方程为即而故三、设，其中为可微函数，求解: 对方程两边求微分得 即四、计算，其中是由直线及曲线所围成解: 五、设函数具有连续导数，计算积分是的外表面解: 设,取上侧, 是由曲面与围成的立方体,又六、解答下列各题1讨论级数的敛散性解: 对于级数,由于,所以当时, 级数绝对收敛当时, 级数发散当时, 级数发散, 当时, 级数收敛2求幂级数的收敛区间解: 又当时,级数收敛当时,级数发散所以收敛区间为七、设可微，且满足关系式，求及解: 对两边求导得令,所以又,所以,故,八、设函数具有连续二阶导数，且，求的表达式，使曲线积

30、分与积分路径无关解: ,由于积分与路径无关,所以,即特征方程为,所以方程的通解为设的特解为代入得即,方程的通解为又有故九、将函数展开成的幂级数解: 十、将展开成余弦级数解:令, 综合试题(四)一、计算下列各题：（每题 4分）1设，求在点处函数的全微分。解: 所以2试求函数的麦克劳林级数。解: 3试求幂级数的收敛区间。解: 时,级数发散, 时,级数收敛,所以收敛区间为4求微分方程的通解。解: 又也是方程的一个解5已知曲线，求对应于的点处的切线方程与法平面方程。解: 切线方程为法平面方程6微分方程，试写出通解的形式（不求解）解:所以的通解为由于是二重特征根,所以方程的特解形式为方程的通解为7试判断

31、级数的敛散性。解: 对于,由于所以发散二、设可微且，试求：解:所以三、计算曲线积分，其中是从点到点的上半圆弧。解:四、计算曲面积分，其中是曲面介于的部分。解一: 解法二: 由于关于对称,所以五、设证明：（1）在点处连续；（2）在点处偏导数存在；（3）在点处不可微。证明:(1)因为 而,所以(2) (3) 而不存在故在点处不可微六、试将函数在上展开成正弦级数。并求级数的和。解:令所以,又时, 当时, 七、已知连续函数满足，且能使积分与路径无关。试求：（1）函数；（2）当为线段时计算的值其中。解: ,由于积分与路径无关,所以有,即所以又,故八、试求半径为密度为（常数）的实心球体，对其切线的转动惯量。解:设实心球为九、在第一卦线内作椭球面的切平面使该平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小。（1）求此切平面的切点；（2）求此最小体积。 解:设切点的坐标为,则该点处的法向量为,切平面的方程为,即: 所以该平面与三坐标面围成的四面体的体积为设解之得,即切点坐标为最小体积为