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1、第 四 章 不 定 积 分,4.1 不定积分的概念和性质,前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。,本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。,定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为 f(x)，即对任一x I，都有 F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx， 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数,例如，sin x 是cos x 的原函数 又如当x (1，)时，,
2、在区间(1，)内的原函数,一、原函数与不定积分的概念,对原函数的研究须讨论解决以下两个问题,(1) 是否任何一个函数都存在原函数？,考察如下的例子,若存在可导函数,关于原函数的说明：,（左、右极限存在且相等）,而已知,矛盾,既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论：,原函数存在定理：,如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数 F(x)，使对任一 x I 都有 F (x)f(x),说明: 如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C 也是f(x)的原函数，其中C是任意常数,如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数
3、，则 (x)F(x)C (C为某个常数),简言之：连续函数一定有原函数.,（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？,不定积分的定义：,定义2 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分，记作,根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x)C就是 f(x)的不定积分.,ln|x|C ,例3 求积分,解,例4 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.,解,设曲线方程为,根据题意知,由曲线通过点（1，2）,所求曲线方程为,微分与积分的关系： 从不定积分的定义可知：,又由于
4、F(x)是F (x)的原函数，所以,积分曲线： f(x)的原函数的图形称为f(x) 的积分曲线,3x2的积分曲线：,y=x3+C,C=0,C=-1.5,C=1,C=2,结论：,微分运算与求不定积分的运算是互逆的.,二、基本积分表,k x C (k是常数)，,arctan x C ，,arcsin x C ，,ln |x|C ，,sin x C ，,cos x C ，,注意,检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看 其导数是否等于被积函数,三、不定积分的性质,性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即,性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提 到积分号外面来，即,e x
5、 3sin x C , arctan x ln | x | C , tan x x C , 4cot x C ,4.2 换元积分法,直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。,在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,说明结果正确,将
6、上例的解法一般化：,将上述作法总结成定理，可得 换元法积分公式,第一类换元公式（凑微分法）,说明:,观察重点不同，所得结论不同.,定理1,的形式，那么,如果函数g(x)可以化为,g(x) fj(x)j (x),根据定理1，,注,定理说明：若已知,则,因此该定理的意义就在于把,又称为积分的形式不变性,这样一来，可使基本积分表中的积分公式 的适用范围变得更加广泛。,凑微分,凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化,凑微分法的基本思路：,与基本积分公式相比较，将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同,步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量,例1 求,解（一）,解（
7、二）,解（三）,例2 求,解, ln |u| C ln |cos x| C ,例8,解,例9 求,解,例10,解,注意：拆项是常用的技巧,例11 求,解,说明,当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.,例12 求,解,例13 求,解,例14 求,解（一）,解（二）,问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,则有换元公式,定理2,第二类换元积分公式,例15 求,解,令,例16 求,解,令,(,),其中C 1Cln a ,令,令xu ，则ua，于是,其中C 2C2ln a ,综合起来有,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,
8、三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,注意：所作代换的单调性。对三角代换而言， 掌握着取单调区间即可。,说明,当分母的指数较高时, 可采用倒代换,例17 求,解,令,* 积分表(2),例18 求,解,例19 求,解,4.3 分部积分法,前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,注,分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置,分部积分公式的作用：,不易求得，而
9、右边的积分,容易求得,利用分部积分公式化难为易,例1 求积分,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,当左边的积分,解（二）,令,分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说， u,v 选取的原则是：,（1）积分容易者选为v,（2）求导简单者选为u,例2 求积分,解,（再次使用分部积分法）,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数),例3 求积分,解,令,例4 求积分,解,令,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。,例5 求积分,解,总结,例6 求积分,解,注意循环形式,例7 求,解,例8 求 ,解,则 x t 2，dx 2t dt 于是,或,分部积分法,分部积分公式,一般规律:反、对、幂、指、三,排序在前者选为u, 在后者选为v,解,测 验 题,