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1、 宁波理工学院毕业论文（设计）开题报告（含文献综述、外文翻译） 题 目 反常扩散模型在风险管理中的应用 姓 名 卢 策 学 号 3090411021 专业班级 信息与计算科学091 指导教师 吕龙进 学 院 信息科学与工程学院 开题日期 2013年01月14日 第1章 文献综述反常扩散模型在风险管理中的应用1.1 引言近几年来，世界金融格局发生了重大变化，金融自由化席卷全球，金融创新活跃，世界金融市场发展势头强劲，在发展的过程中，也呈现出一定的波动性，各类市场参与者所面临的金融风险越来越严重。金融风险的大量存在一方面极大地影响了各企业和公司的正常运转和生存，另一方面也严重威胁着一国甚至全球金融
2、及经济的稳定发展。近年来发生了多起金融危机，给人们带来严重的经济损失，特别是2008年的全球金融危机，至今让人们仍记忆犹新，老牌金融公司一一创立于1850年的雷曼兄弟公司，虽然其已在各方面取得良好成绩，并拥有良好声誉，但其仍未能走出次贷危机的冲击，最终在2008年9月宣布申请破产保护。面对身边这些危言耸听的金融风波事件，许多工商企业及金融机构逐渐意识到加强风险管理以减少损失的重要性，人们对风险管理的关注日益加强，正因如此，越来越多的市场参与者以VaR为基础，进行风险管理。VaR的概念是G30小组在1993年首次提出的，接着J.P.Morgan银行在1994年首次公布了他们的VaR计算系统，随后
3、，VaR方法逐渐发展为度量市场风险的一种主流方法，广大金融机构及其他市场参与者将、VaR方法应用于日常的风险管理之中。1.2 国内外研究与应用现状现代投资组合理论研究的是各种相互关联的、确定的及不确定的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳的投资选择，即如何把一定数量的资金按照合适的比例，分散投资于各种不同的证券商，以实现效用最大化的目标。在这一领域内，国内学术界先后提出了投资组合理论、资本资产定价模型和期权定价模型，建立了对于各种风险的计量和分析的重要思想方法。随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日益膨胀，金融资产价格的波动性相应变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法即是
4、对市场风险进行测度的一种重要工具。VaR（ValueatRisk）字面解释为“在险价值”，其含义为在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。用公式表示为：其中Prob：资产价值损失小于可能损失上限的概率；：某一金融资产在一定持有期的价值损失额；VaR：置信水平下的风险价值可能的损失上限；：给定的概率置信水平。1.2.1 国外研究动态20世纪90年代初，国外学术界开始强调风险的量化和统一的度量尺度。1993年7月，国际性民间研究机构G-30在衍生产品的实践和规则报告中最早提出利用VaR方法对风险进行监管。VaR法的核心在于如何确定资产组合收益的统计分布和概率密度
5、函数。国外对基于VaR方法的风险管理的研究已经相当成熟，主 要集中在如何确定VaR值的问题上。主要有以下三种方法：1. 历史模拟法（HS，Historical Simulationmethod）没有对复杂的市场结构做出假设，而是假定采样周期中收益率不变，借助过去一段时间内的资产组合风险收益的频率，通过找到历史上一段时间内的平均收益以及置信水平下的最低收益水平，来推算VaR的值。其隐含的假定是历史数据在未来可以重现。HS方法简单，易于操作，但弊端在于用过去的数据来预测将来的发展误差较大。Boudoukh、Richardson和Whitelaw(1998)改进了历史模拟法，提出了具有指数权重的历史
6、模拟。Hull和White（1998）认为可以通过历史数据计算每一个市场因子当前日期和每一天的日变动估计，然后用当前波动率与历史波动率作比值来对历史收益进行调整，用调整后的收益率替代实际的收益率来为投资组合定价，进而形成经验分布以估计VaR的值。这种方法的好处是通过重新调整收益能够反映目前的市场变动。Bulter和Schachter(1996)则提出利用高斯核估计和高斯Legendre积分相结合，来求得VaR的值和对应的置信区间。2. 蒙特卡罗模拟法（MC，MonteCarlo）的基本思想是用市场因子的历史数据生成该市场因子未来的可能波动情景，并通过模拟来确定真实分布，从而确定VaR的值。由于
7、MC方法可以较好地处理非线性、非正态问题，可以用来分析各类风险，所以优越性很明显。在此基础上形成的Delta-Gamma-thetaMonteCarlo、网格MonteCarlo和情景MonteCarlo等模拟更简化了计算。3. 方差协方差估计法的核心是对资产回报的方差协方差矩阵进行估计从而确定VaR的值和置信区间。Engle（1982）引入了自回归条件异方差ARCH模型，Bollerslev(1986)提出了广义自回归条件异方差GARCH模型，是这一方法能够解决残差异方差的问题。对不满足正态性的资产组合，VaR方法得到的值通常被低估，所以近年来国外学者又提出半参数法（厚尾方法）。该方法着重于
8、对收益率分布尾部的估计，使之能够解决金融时间序列的“厚尾”现象。尤其是基于ARCH模型VaR分析在描述资产收益波动性方面有不可比拟的功能。国外除了研究VaR的估计方法外，还讨论了VaR的缺陷问题。Artzener、Fritte、Giorgio等学者通过理论与实证的研究都认为一个行之有效的风险测量方法必须满足正齐性、次可加性、单调性及过渡不变性。Beder通过实证研究总结了VaR的两点缺陷：其一，VaR不能起到预警作用，即用VaR不能表示初临近的不利事件的发生；其二，VaR本身没有意义，主要表现在金融工具本身很复杂，证券组合庞杂，市场概率的估计困难，计算中各种近似方法的运用与估计VaR的统计错误
9、很多。Artzner通过实证研究认为VaR在非正态分布的情况下不能满足次可加性。目前国外对VaR方法的研究已经超出了金融资产的市场风险的范围，涉及到非金融资产的风险度量、业绩评估和金融监管等方面。1.2.2 国内研究动态我国市场经济发展不够完善，金融市场初具规模，金融市场风险被政策风险所掩盖，以致国内对风险管理的认识较晚，对VaR方法的研究起步也较晚。国内对VaR方法的研究以1999年为界限可以分为两个阶段了解学习阶段和深入研究并具体应用阶段。了解学习阶段主要是对VaR方法的引入，着重于对VaR的感念、方法的介绍。国内对VaR方法的研究最早开始于郑文通（1997），对VaR方法产生的背景、计算
10、原理及应用作了介绍，并分析该方法对中国的现实意义。牛昂在风险管理的新方法（1997）中介绍了各种计算VaR的方法，并对优劣性进行了评议。从1999年开始，我国学者对VaR方法的讨论进入深入研究和实际运用的阶段。詹原瑞（1999）从极值理论的角度对VaR进行了理论和实际运用的双层次研究。之后更多的学者在理论范畴和实证范畴研究了VaR方法。王春峰在专著金融市场风险管理（2001）中第一次全面系统地介绍了以VaR为核心的风险测量方法，同时指出用MonteCarlo模拟法计算VaR所存在的缺陷，提出了用马尔科夫链来计算VaR值，将国内VaR的研究推向了一个新的高度。马杰（2001）在人民币行为研究与外
11、汇风险管理博士论文中，将VaR方法应用于宏观和微观两个层面的外汇风险管理。屠新曙（2002）将VaR与最佳投资组合的概念结合起来，开发了一种新的理论，一种类似Markowitz均值方差选择最优投资组合的理论，即满足VaR约束条件的最优均值投资组合理论。郭家华（2010）提出我国的银行监管应从传统的思路制定更严格管制条例和进行更严格的现场审查中跳出来，转而建立全国统一的信用评级体系，鼓励商业银行采用 VaR模型和方法，才有利于我国信用风险管理水平的提高和金融体系的健康发展。张田（2010）结合国内某大型外贸企业的风险管理的实例，介绍了如何用VaR方法管理市场风险及进行风险调整后的绩效评价，认为V
12、aR方法不但能建立相对理性及量化的风险管理体系，较好地解决企业风险管理的混乱现象，且VaR值可作为一参考指标指导企业资源更好地配置。国内也有学者研究VaR方法的缺陷。王建华在度量与控制金融风险的新方法（2002）一文中首次指出了VaR的缺陷并提出了CvaR的概念，阐述了CvaR的优点和作用及其在证券组合优化中的应用。1.3 存在的问题与不足所有上述所提到的模型是基于资产组合的概率分布满足正态分布这一假设前提下得到结果的。Mandelbrot(1963)， Fama(1965)等人发现资产收益具有高峰度的分布特征，在一些金融时间序列里，相比于正态分布，收益率的无条件分布密度一般具有更大的峰度和更
13、厚的尾部。在分形介质中分子扩散现象不能用标准的扩散方程来描述，称之为反常扩散。由于自然界中反常扩散现象的广泛性，近年来，Fokker-Planck方程，Langevin 方程，master方程，非线性扩散方程，分数阶扩散方程和含非线性项、分数阶导数的扩散方程常常被引入用以描述这种现象1-6。如任福尧等人于2006年已经证明了分数阶扩散方程 （6）的解具体形式基本上依赖于潜在几何的形状, 但是, 有趣的是, 我们可以知道 的渐进行为, 有 , 其中, , 这种形式的解称为伸长的Gaussion分布, 与标准正态分布相比, 具有尖峰厚尾性。 因此将分数阶反常扩散模型引入到风险管理中求出Var，不仅
14、考虑了资产组合收益率的尖峰厚尾性，又给出了风险的一个数量化标准，这也正是本学位论文想要研究的主要内容。参考文献1陈忠阳.VaR模型与金融机构风险管理J.金融论坛,2001,(5).2刘玲、赵娇.风险测度和管理的VaR方法及其优缺点J.北方经贸，2003.3卢文莹.金融风险管理M.复旦大学出版社，2006.4谷秀娟.金融风险管理理论、技术与应用M.立信会计出版社，2006.5郑文通.金融风险管理的VaR方法及其应用J.国际金融研究，1997,(9).6牛昂.银行管理的新方法J.国际金融研究，1997,(7).7姚刚.风险值测定法浅析J.经济科学，1998，(1).8刘宇飞.VaR模型及其在金融监
15、管中的应用J.经济科学，1999，(l)9张尧庭.金融市场的统计方法M.广西师范大学出版社，1998.10詹原瑞.市场风险的度量:VaR的计算与应用J.系统工程理论与实践，1999，(12).11赵睿,赵陵.VaR方法与资产组合分析.数量经济技术经济研究.2002年(l1):44-47.12景乃权，陈姝.VAR模型及其在投资组合中的应用.财贸经济.2003年(2):68-71.13姚小义，滕宏伟，陈超.证券公司资产管理业务的规模风险控制.数量经济技术经济.2002年(5):65-67.14英定文.指数期货与证券机构定量风险管理体系.数量经济技术经济研究.2002年(10):71-74.15杜海
16、涛.VaR模型在证券风险管理中的应用.证券市场导报.2000年(8):57-61.16 Mandelbrot, B. The variation of certain speculative prices J.Jounral of Business，1963(36),394-419.17 Fama,E.F.The Behavior Stock Market PrieesJ.The Jounral of Business 1965(38),34-105.18 1 M. Magdziarz, A. Weron, Fractional Fokker-Planck dynamics: Stochast
17、ic representation and computer simulationJ, Physical Review E 75, 016708(2007)第2章 开题报告反常扩散在风险管理中的应用2.1 设计意义及目的随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日趋扩大，金融资产价格的波动随之变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法是目前对市场风险进行预测和管理的一种重要工具和主流方法。VaR作为一种动态风险管理方法，20世纪90年代中期兴起，并应用于一些大型金融企业，对金融工具市场风险进行测评，中国也应用在证券投资和银行监管中，表现出其较准确的风险预测性。但是目前已有的方法基
18、本上是基于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提假设下建立的，而在真实市场上，由于由于经常会有突发性事件影响整个金融走势, 导致了收益率分布与正态分布相比具有尖峰厚尾性。本论文引入反常扩散模型，结合反常扩散模型的特性，将很好地解决这个问题。本文将VaR引入金融市场投资风险管理中，以有效提高资金运用的稳健性，并保障收益性和可持续性。采用实证和规范分析相结合的研究方法，筛选一段时期的历史数据，选择适合中国风险环境的VaR模型，对风险管理运用进行实证分析，并提出相关政策建议。2.2 研究内容本论文将主要研究反常扩散模型在风险管理中的运用，采用反常扩散模型与传统的VaR方法对金融市场的风险管理进行研究
19、。目前国内外对反常扩散在风险管理中的研究尚在起步阶段。目前有关风险管理的研究与实践对反常扩散模型应用的研究和重视程度还很不够，基本局限于VaR方法的运用，而对现实当中所存在的各种因素对实际所产生的结果的影响的重要性则缺乏足够的认识。例如，目前国外对如何确定VaR值的方法只要有三种（见文献综述），但是这三种方法都有赖于资产组合的概率分布满足正态分布这一前提。但是现实生活中，我们所面临的问题往往更加复杂，历史数据表明，由于市场的不稳定性，突发事件的存在，如金融危机、公司倒闭等，导致了金融资产的发生巨大亏损的概率大于对应的正态分布，即厚尾现象。如下图所示：图1上图中虚线所示就是现在主流研究方法所假设
20、的条件，实线部分即是真实状况下我们观察到的结果。我们可以发现，实际情况示产生的结果是类似于图中实线部分，我们称之为“尖峰厚尾”现象。由于上述所存在的问题，现在国内外主流研究方法所产生结果往往会比真实情况略低，导致了预测不准的问题。这一问题在国内得到了解决，任福尧等人于2006年已经证明了反常扩散方程 （6） 该方程的解具体形式基本上依赖于潜在几何的形状。但是，有趣的是， 我们可以知道 的渐进行为, 有 , 其中, ,这种形式的解称为伸长的Gaussion分布, 与标准正态分布相比, 具有尖峰厚性。因此将分数阶反常扩散模型引入到风险管理中求出VaR，不仅考虑了资产组合收益率的尖峰厚尾性，又给出了
21、风险的一个数量化标准，这也正是本学位论文想要研究的主要内容。2.3 研究方法2.3.1 VaR方法现代投资组合理论研究的是各种相互关联的、确定的及不确定的条件下，理性投资者应该怎样做出最佳的投资选择，即如何把一定数量的资金按照合适的比例，分散投资于各种不同的证券商，以实现效用最大化的目标。随着金融全球化的发展，金融市场、金融交易规模日益膨胀，金融资产价格的波动性相应变大，对金融市场风险的分析研究变得尤其重要。VaR方法即是对市场风险进行测度的一种重要工具。VaR（ValueatRisk）字面解释为“在险价值”，其含义为在一定概率水平下，某一金融资产或证券组合价值在未来特定时期内的最大可能损失。
22、用公式表示为：其中Prob：资产价值损失小于可能损失上限的概率；：某一金融资产在一定持有期的价值损失额；VaR：置信水平下的风险价值可能的损失上限；：给定的概率置信水平。2.3.2 反常扩散模型在分形介质中分子扩散现象不能用标准的扩散方程来描述，称之为反常扩散。由于自然界中反常扩散现象的广泛性，近年来，Fokker-Planck方程，Langevin 方程，master方程，非线性扩散方程，分数阶扩散方程和含非线性项、分数阶导数的扩散方程常常被引入用以描述这种现象1-6。如 （1）应用分数阶微积分理论将经典的整数阶扩散与波的偏微分方程推广到时间和空间的分数阶7，进而再扩展到各类非线性方程并给出
23、其初边值问题的解，是近几年来应用的另一个主要领域这些问题有重要的应用背景，如在分形和多孔介质中的弥散、半导体物理、湍流及凝聚态物理等8-10。历史上，扩散方程就是从两个不同的角度建立和发展的，其一是从Fick第一、第二定律建立通量与流的本构关系而来研究扩散方程的，这可以称为确定型观点;其二是随机游走的观点建立的早期的Einstein-Kolmogorov扩散方程就是典型的例子。在建立了分数阶本构关系和分数阶随机游走的广义概念之后，从这两个方向又同时给出分数阶扩散方程的一致形式11,12。一般用时间的平均平方位移，尺度来刻画一个分数阶扩散特性。当时，为整数阶扩散；而和入分别代表反常次扩散和反常超
24、扩散。假设资产组合的收益率服从分数阶反常扩散方程（1），利用首先给出方程（1）的随机表示，即找出一个随机过程，使得该随机过程的概率密度刚好满足方程，这样就可以通过模拟随机过程的样本路径，结合蒙特卡洛方法得到方程的解，然后再由VaR的定义，得到VaR的值。2.4 可行性分析考虑到本文研究内容的实际情况，该研究主要存在着数据来源和数学模型这两方面的问题。因此从这两方面对该研究的可行性进行分析。首先是数据来源方面的可行性分析。当前，网络的发达程度已经是人们难以想象的了，关于金融市场的各方面数据信息都能找到。因此，无需担心数据获取方面的问题。故从数据来源可行性上来说，该研究是可行的。最后是数学模型可行
25、性分析。国内外对反常扩散模型、风险管理以及Var等课题都已经具有翔实的资料，我所需要做的就是站在巨人的肩膀上，远眺该领域内的风采。所以，在数学模型上，该研究也是可行的。2.5 预期结果现在国内外对于金融市场风险的管理方法已经十分成熟，但是一些实际上存在于现实生活中的因素总是影响着金融市场未来走向的方方面面。在本文中我引入的反常扩散模型将会更加符合现实情况下的金融市场风险走向。所以，在不久的将来，国内外将涌现出更多更加先进的研究方法，让我们在这个领域内得到更加耀眼的明珠。2.6 进度安排起始年月进度目标要求2012.12.252012.01.5查阅文献，撰写报告和文献综述的初稿2012.01.0
26、62012.01.08对开题报告和文献综述初稿进行修改，外文翻译2012.01.092012.01.10准备PPT，开题报告答辩2012.03.162012.04.15完成论文分析设计和模型设计2012.05.162012.06.10论文的撰写与整理，提交毕业论文，答辩参考文献1 M. Magdziarz, A. Weron, Fractional Fokker-Planck dynamics: Stochastic representation and computer simulationJ, Physical Review E 75, 016708(2007)5 Mandelbrot B
27、.B., The Fractal Geometry of NatureM, 1983.6 Chaves A.S., A fractional diffusion equation to describe Levy flightsJ, Physics Letters A, 1998,239: 13-16.7 Benson D.A., Wheatcraft S.W. and Meerschaert M.M., Application of a Factional Advection-DispersionEquationJ, Water Resour. Res., 2000, 36: 1403-14
28、12.8 Schumer R., Benson D., Meerschaert M., et al., Eulerian derivation of the fractionaladvection-dispersion equationJ, J.Contam.Hydrol, 2001, 48(1-2):69-88.9 Elli B., CTRW pathways to the fractional diffusion equationJ, Chemical Physics, 2002, 284:13-27.10陈忠阳.VaR模型与金融机构风险管理J.金融论坛,2001,(5).11刘玲、赵娇.
29、风险测度和管理的VaR方法及其优缺点J.北方经贸，2003.12卢文莹.金融风险管理M.复旦大学出版社，2006.13谷秀娟.金融风险管理理论、技术与应用M.立信会计出版社，2006.14郑文通.金融风险管理的VaR方法及其应用J.国际金融研究，1997,(9).15牛昂.银行管理的新方法J.国际金融研究，1997,(7).第三章 外文翻译分数阶Fokker-Planck 动力系统:随机表示和计算机模Marcin Magdziarz 和Aleksander Weron乌戈斯坦豪斯中心，中国科学院数学计算机科学学院，弗罗茨瓦夫理工大学Wyb. Wyspianskiego 27, 50-370 W
30、roclaw, PolandKarina Weron摘要本文提出了一个反常扩散过程样本路径的可视化模拟算法。这是基于分数Fooker-Planck 方程的随机表示，其中方程是用来描述一个非常数外力下的反常扩散现象.对上面提出的算法引入了蒙特卡罗方法，这将会为我们研究分数阶Fooker-Planck 动力系统的很多相关统计特征提供有力工具。1 引言许多物理运输问题的产生都是因为受到了一个外力的作用。为了处理这类受外力影响的反常扩散问题,分数阶Fooker-Planck方程被提了出来，它为那些由反常扩散和非指数松弛模式导致的复杂系统中的动态运输问题描述提供了一个有效的方法。FFPE可以由广义的ma
31、ster方程和连续时间随机游走CTRW模型严格推导出来。在文5中提出了在周期外力下的FFPE的反常扩散模型的数值模拟。在文1中提出了多种求解FFPE的方法，解的形式为概率密度函数。然而，这种方法的局限性是，它不允许构造和分析潜在随机过程的样本路径。在这里，我们为由FFPE描述的反常扩散过程，介绍一个简单而有效的样本路径计算机模拟方法。这让我们可以数值化地研究所考虑物理系统的数学统计特性，如分量线和相应的概率密度函数随时间的演化。所提出的模拟方法是基于反常扩散过程的随机表示，这里的反常扩散过程的概率密度刚好满足FFPE，也就是说， ，其中是某一Ito随机微分方程的解，是稳定从属过程的首达时，本文
32、出现的一个基本特征是系统的时间变成了随机时间，这也反映了这样一个事实：在对应的CTRW背景下相连两次跳跃间的等待时间的分布是厚尾的。此外，描述了标准布朗运动的Langevin型动力系统，给分数动力系统也提供了一些指引。总之，由FFPE描述的反常扩散过程的随机表示提供了另一种在Langevin框架下，了解微观动态系统的方式。在Lvy飞行的共振激活的背景下一个相关的问题是，通过相应的Langevin方程的分数阶的Fokker-Planck动力学数值模拟研究，参见文6和7。本文的结构如下所示，第二节中，我们提出了一个随机过程，它的概率密度函数满足分数阶 Fokker-Planck 方程的概率密度函数
33、，这个随机过程有两个基本过程复合而成：某一Ito随机微分方程的解和稳定从属过程的首达时，利用所得到的表示，在第三节中，我们构建了一个模拟反常扩散过程样本路径的有效方法，所引进的算法和蒙特卡洛方法让我们可以检测和研究分数阶Fokker-Planck 方程的许多相关的统计特征，比如分量线，PDF随时间变化情况，渐近平稳，自相似性，等等。2 随机表示的FFPE著名的FFPE ，描述了在外力的存在下的反常扩散，由下面的公式给出：在文1 中清晰地推导出了这个方程，介绍其求解方法和计算了某些特殊情况下的精确解。在这里，操作是Riemann- Liouville型的分数阶导数8。它是已知的介绍了一种卷积积分
34、与缓慢衰减的幂律内核,这是典型的复杂系统中的记忆效应的9。在，通过 表示PDF的主要立场的衍生工具有关的空间坐标的力量和潜力。常数K表示异常的扩散系数，而为广义分歧常数，对于成为或普通的Fokker-Planck方程。FFPE介绍了图1. （有颜色的线）（a）中PDF的时间变化的反常扩散与参数和和（b）标准扩散（布朗运动）。尖形状的PDF在反常扩散的情况下，确认的模拟算法的正确性（cf.1）.（a）中的显示了蒙特卡洛方法所得出的算法。按照平均平方位移得出无用区间，它遵循一些通用的涨落耗散定理。另外，一个推广的爱因斯坦 - 斯托克斯维Smoluchowski关系连接广义分歧系数和扩散系数。1.本
35、节的主要目的是要表明该解决方案FFPE（1）中的是和PDF(见图1)次级过程相同，通过以下方式获得的时间随机变化，其中过程是随机微分方程的解决方法由标准布朗运动驱动。的从属，叫做反时限从属，10,11的定义是在列维变换上标准递增的地方14-i.e.，的拉普拉斯变换过程 此外，过程和被认为是独立的。观察和这两个过程在时刻的内部就被索引。这个时间并不是准确的物理时间。为了找到可以观察粒子的时间t，我们就来介绍反时限的从属有关的内部时刻和观察到的时间t。的物理性质已经在最近发表的论文中详细论述10,11。值得一提的是可以以自然的方式明确出现并在考虑CTRW情况下，等待时间重合分布连续跳跃的颗粒之间的
36、导出。 表1 主要流程和表现方法随机代表性的优点（2）相对于其他流行的从属方法，在PDF积分变换中显示出来。12.13下面从的反常扩散模型的计算机模拟中研究。现在，让我们结束上一届中的主要问题。让潜在的一个任意的非恒定功能。首先，我们在中的和中的建立联系。（该符号的使用见于表1）。严格遵循的列维变换，它是的自相拟 15；i.e.，它的PDF满足了可扩展的关系。 现在，我们已知，我们计算了拉普拉斯变换：使用总概率公式并且独立于和，我们得到的是由下式给 其中和是PDF的和分别给出的。因此，在拉普拉斯空间里，上述式和（7）式产生 因为过程是由随机差分方程（3）给出的，它是服从普通福克普朗克方程1因此
37、，在拉普拉斯空间中和（1）式中的解决方法之间的关系遵循12,16:现在，我们使用（8）式终于获得最后一个公式为我们提供了关系因此，我们展示FFPE（1）中这个解决方法描述在（2）式中PDF的次级动态过程。这一结果提供了物理的更换操作的时间12的过程通过以下方式获得的反常扩散现象的解释，在标准扩散中，由从属 的反时限。这种变化的系统的运行时间有关的事实，即连续跳跃的粒子在底层的CTRW场景之间的等待时间的分布是重合的。在特殊情况下的恒定可能=常数，的傅里叶变换是，就的米格塔-莱夫勒函数来看，是由下式得出10,11所示，同样的公式适用于中的PDF，这证实了10的一般结果是符合物理规律的。可以发现在
38、的H- FOX功能的封闭形式的解决方案的FFPE1。不幸的是，这些功能都可以在数值上只在一些特殊情况下评估。在接下来的章节中，我们使用随机的FFPE建设的基础反常扩散过程的模拟样本路径的方法表示2 。3. 样本路径的数值逼近下面，我们将展示如何得到数值近似样品的反常扩散模型的路径。在最近的文献5中，作者提出了一种方法，通过底层的CTRW的模拟样品的反常扩散的路径。在他们的方法中，它是必要的粒子，这是米塔格 - 莱弗勒distributed.Since的计算机生成的米塔格 - 莱弗勒分布式的随机变量是麻烦产生连续的停留时间，者是作者认为所有人都无法取代的米塔格 - 莱弗勒分布帕累托一个重要原因。
39、不过，这两个分尽管有其明显的相似性，即渐近行为，但是有一些独特的的差异，特别是当该参数接近1时。我们的方法源于不同的概念；它明显的用（2）式表示。它不需要产生米塔格 - 莱弗勒分布的随机变量，在我们的算法中，每一个轨迹作为一个从属进程的两个轨迹保守地得到和i.e.，随机微分方程3的解决方法中的定义和从其中一个是严格的增加列维变换。该算法的近似过程在集合中，和之间是时间跨度，有两个步骤组成。（1） 我们的第一个目标是中近似的值。因此，我们开始实现严格的增加逼近列维变换在使用标准方法，求和的过程中的增量我们得出 由17-19: 中他的随机变量V是均匀分布在区间上的. 图2.（有颜色的线）用可视化的
40、方法发现的值，该算法在第一个步骤中使用。如果那么。现在，对于的每一个元素，我们都能找到元素属于，并且最后，从（4）中自定义，我们得到这样一个例子（见图2）值得强调的是，是一个严格的增加功能，找到值的上述步骤，可以有效实现。 （2）在第二步骤中，我们的目的是在的次级过程中找到近似值。从该算法的第一步骤中，我们已经有我们所掌握的近似值。我们从经典的欧拉方程中采用解决方案在中的随机微分方程（3）。在这里， L是等于第一整数。 图3.（有颜色的线）在第二步骤中的算法线性插值的可视化用什么方法来找到的值。在这种情况下，。 图4.（有颜色的线）样品实现（a）异常扩散（b）正常扩散和（c）的反时限，存在一个
41、恒定的可能。参数是和它的时间间隔是保持不变，表明底层CTRW重合停留时间。和以及和 之间的恒定的间隔之间的相似性在剩余的域内是不同的。超过规定值。从欧拉公式14我们可以得出：因为这里是i.i.d随机变量，呈标准正态分布，现在，的自实现是连续函数，因为从迭代计划（12）我们得到我们所掌握的值，我们使用标准的线性插值，以获得的近似值因此，对于每一个我从矩阵中可以得出。图5.（有颜色的线）实现的异常样本扩散（b）正常扩散和（c）中的反时限扩散。图6.（有颜色的线）估计分量线和两个样品反常扩散的轨迹在不断的与潜在的参数图7.（有颜色的线）4.结论我们引进了电脑的有效方法样品的路径的subdiffusi
42、ve过程模拟的描述的FFPE 。这使得调查的分数阶福克 - 普朗克动力学的复杂系统的蒙特卡罗方法。我们已经表明，在solutionw的FFPE等于PDF。其中x是由方程描述的标准的扩散。是所谓的逆时间稳定的从属处理从底层重尾的停留时间是一个新的操作时间的系统和原稿坐标CTRW 。将得到的随机表示是至关重要的构建的模拟样本路径的算法反常扩散X（s），其中，反过来，使我们能够检测和研究许多相关的系统属性考虑。该算法可以应用于对一个任意可能V（x）和的任何参数值。所提出的方法，因为这是一个很大的优势只能根据已知的精确解的FFPE ，福克斯功能，此功能可以在数值上只有在一些特殊的情况下进行评估。另外，由于算法使用2随机的表示，我们避免所有的困难模拟米塔格 - 莱弗勒分布，这似乎在提出的方法在5。我们预计，在这里提出的统计工具会导致UTE更好地了解次扩散运输和动态基础。26