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1、1,2.9 气体分子的平均自由程,第 2 章 气体动理论 (Kinetic theory of gases),2.1 理想气体的压强,2.2 温度的微观意义,2.3 能量均分定理 理想气体的内能,2.4 麦克斯韦分子速率分布定律,* 2.6 玻尔兹曼分布律 重力场中粒子按高度的分布,2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证,2.7 实际气体等温线,* 2.8 范德瓦尔斯方程,2,2.1 理想气体的压强Pressure of ideal gas,一、状态参量(quantity of state),在一定条件下，当物体的状态保持不变，为描述物体的特性而采用的物理量。如体积、温度、压强、浓度等 。对于一
2、定质量的气体，除它的质量M和摩尔质量Mmol，它的状态一般可用下列三参量来表示：,1. 气体所占的体积V：,气体分子活动所能达到的空间范围。,气体动理论是在物质结构的分子学说的基础上,为说明人们所熟知的气体物理性质和气态现象而发展起来的。,第 2 章 气体动理论 (Kinetic theory of gases),3,2. 气体的压强P：,压强是气体作用在容器壁单位面积上的指向器壁的平均正压力，是气体分子对器壁碰撞的宏观表现。,3. 气体的温度T：,从宏观上来讲，温度表示物体的冷热程度；从微观上讲，温度反映物质内部分子运动的剧烈程度。,4,由实验可知，热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现
3、，人们把大量分子的无规则运动叫做分子热运动，即所谓的布朗运动。,分子热运动的基本特征,分子热运动的基本特征是分子的永恒运动和频繁相互碰撞。,二*、分子布朗运动,5,三、关于每个分子的力学性质的假设理想气体的微观模型,(1)气体分子的大小与气体分子间的距离相比较,可以忽略不计。,(4)气体分子的运动服从经典力学规律。,(2)因为气体分子间的平均距离相当大,所以除碰撞的瞬间外,分子间相互作用力可以忽略不计。,总之,气体被看作是自由地 无规则运动着的弹性球分子的集合。,(3)分子之间的碰撞以及分子与器壁的碰撞都是弹性的，即在碰撞前后气体分子的动量守恒,动能守恒。,6,四、关于分子集体的统计性假设统计
4、规律Statistical law,尽管个别分子的运动是杂乱无章的，但就大量分子的集体来看，却又存在着一定的统计规律。,(2) 分子沿各个方向运动的机会是均等的，没有任何一个方向上气体分子的运动比其它方向更占优势。即沿着各个方向运动的平均分子数应该相等。,(3) 分子速度在各个方向的分量的各种平均值相等。,(1) 在热力学平衡状态下，气体分子的空间密度是均匀的。,7,五、气体动理论的统计方法(statistical metheds),用对大量分子的平均性质的了解代替个别分子的真实性质。对个别分子（或原子）运用牛顿定律求出其微观量，如质量、速度、能量等，再用统计的方法，求出大量分子关于微观量的统
5、计平均值，并用来解释在实验中直接观测到的物体的宏观性质，如温度、压强、热容等。,六、理想气体的压强公式的推导（方法1：容器是长方体形）,（3） 应用统计假设,求器壁所受的平均正压力。,压强公式推导步骤如下：,思路：,（1）用牛顿定律先求一个分子对器壁的压力;,（2）全体分子作用于器壁的压力;,设一定量气体总分子数为N，每个分子质量为m。,8,（1）设边长分别为l1、l2、l3 的长方形容器中，有N个同类气体分子，每个分子的质量均为m。以容器的某一顶点为原点，沿容器边长为方向建立直角坐标系。,（2）选任意一个分子a作为研究对象，求其对A1面的压力,分子“a” 的速度：,分子“ a”碰撞器壁A1面
6、一次所受的冲量：,由牛顿第三定律可知，器壁A1面受分子碰撞一次所受的冲量：,a,A1,9,分子“ a”相继碰撞器壁A1面两次所用的时间为：,单位时间内，分子“ a”与器壁A1面碰撞的次数为：,单位时间内，分子“ a”对器壁A1面的冲量即冲力为：,任意分子对器壁A1面的冲力为：,（3）器壁A1面受N个分子的冲力,10,器壁A1面单位面积受N个分子的冲力：,n是单位体积内的分子数或称分子数密度,由分子统计假设：,分子平均平动动能：,理想气体的压强公式：,11,六*、理想气体的压强公式的推导（方法2：容器是任意形状）,把所有分子按速度区间分为若干组，在每一组内的分子速度大小方向都差不多相同。,设第
7、i组分子的速度区间为：,以 ni 表示第 i 组分子的分子数密度,总的分子数密度为：,设器壁上面积元dA 法向为 x 轴,一定质量的处于平衡态的某种理想气体，被封闭在体积为V的任意形状的容器中。,任意一 个分子速度：,12,该分子碰撞器壁一次所受的冲量：,在 dt 时间内与dA碰撞的分子数,ni vix dt dA,总冲量为：,所有分子在 dt 时间内对 dA 的总冲量为：,气体对器壁的宏观压强为：,13,由分子统计假设,分子平均平动动能：,理想气体的压强公式：,14,2.2温度的微观意义 Temperature equation of ideal gas,根据理想气体的压强公式和状态方程，可
8、以导出气体的温度与分子的平均平动动能之间的关系，从而揭示宏观量温度的微观本质。,1.温度的本质和统计意义:,15,（2）当两种气体有相同的温度时，意味着两种气体分子的平均平动动能相等。,气体的温度是气体分子平均平动动能的量度；,kRNA1.3810-23 J/K 称玻耳兹曼常量,温度的意义：,注意：,（1）温度是大量气体分子热运动的集体表现，具有统计的意义，对于个别分子并无意义。,16,2.气体分子的方均根速率:(root-mean-square speed),由上式可见,在相同温度时,虽然各种分子的平均平动动能相等,但它们的方均根速率并不相等。,注意:,17,1.一定质量的气体,当温度不变时
9、,压强随体积减小而增大;当体积不变时, 压强随 温度升高而增大，从宏观上说,这两种变化都使压强增大;从微观上说,它们是否有区别?,2.两种不同种类的理想气体,压强相同,温度相同,体积不同, 试问单位体积内的分子数是否相同?,3.两瓶不同种类的气体,分子平均平动动能相同,但气体的分子数密度不同,试问他们的压强是否相同?,4.两瓶不同种类的气体,体积不同,但温度和压强相同,问气体分子的平均平动动能是否相同?单位体积中的分子的总平动动能是否相同?,问题：,（答案：前者是由于分子碰撞次数增加导致,后者是由于运动加剧导致）,（答案:相同）,（答案:不同）,（答案:相同,相同）,18,2.3 能量均分定理
10、 理想气体的内能 Equipartition theorem of energy Internal energy of ideal gas,一、分子的自由度 i :,1.自由度定义degree of freedom,确定一个物体位置所需要的独立坐标个数称该物体的自由度。,在空间自由运动的质点,它的位置用三个独立坐标(x,y,z)确定。,(1)质点的自由度,如火车运动（一维),自由度为一个；,19,P（x,y,z),(2)刚体的自由度:,刚体位置的确定共需要六个自由度。,确定刚体上某一点位置:,确定刚体转轴的方位:,确定刚体绕转轴转过的角度,需要一个自由度();,需要二个自由度(,);,需要三个
11、自由度(x,y,z);,飞机运动(三维),自由度为三个;,轮船运动(二维),自由度为二个;,20,(3)气体分子模型自由度,单原子分子模型:,质心需要三个平动自由度;两原子连线方位需要二个转动自由度,一共五个自由度;,刚性双原子分子模型:,如氦原子,如氧气分子,i=t+r=3+2=5,需要三个平动自由度 i=t=3;,刚性三原子以上分子模型:,i=t+r=3+3=6,小结：n个原子组成的分子最多是3n 个自由度。常温下振动自由度可以不考虑。,O2,21,上式表明,气体分子沿x、y、z三个方向运动的平均平动动能完全相等；即可以认为，分子的平均平动能 是平均地分配在每一个平动自由度上的。因为分子
12、平动有3个自由度，所以相应于每一个平动自由度的能量是,二、能量均分定理Equipartition theorem of energy,1. 理想气体分子的平均平动动能：,按理想气体的统计假设：,2. 意义,22,3. 推广：,在平衡态下，气体分子的每一个自由度都 具有相同的平均动能 。如果气体分子有i 个自由度，则每个分子的总平均动能就是,问题：,单原子分子，刚性双原子分子，刚性三原子以上分子的平均动能各是多少？,注意：,能量均分原理是个统计规律，仅对大量分子平均而言，对个别分子并不适用。,23,三、理想气体的内能,1. 气体的内能包括哪些？,气体的内能=气体分子的总能量 + 分子间相互作用势
13、能,2. 理想气体的内能包括哪些？,理想气体的内能=所有气体分子各种运动能量的总和,问题：,3. 内能与机械能有什么区别？,机械能可以为零，而内能永不为零。,一摩尔理想气体的内能,M千克理想气体的内能,24,1.三个容器内分别储有1mol氦气(He),1mol氢气(H2),1mol氨气(NH3)( 三种气体均 视为刚性分子的理想气体),若它们的温度都升高 1K , 则三种气体内能的增加分别是多少？,问题：,1摩尔气体的内能( )。,分子的平均平动动能( );,分子的平均总动能( );,分子的平均总能量( );,1摩尔气体分子的总转动动能( );,2.写出下列各量的表达式： 某种刚性双原子分子的
14、理想气体处于温度为T的平衡态下:,(答案:12.5J,20.8J,24.9J),25,(答案: 1:8; 1:1; 5:24),3.有一个处于恒温条件下的容器,其内贮有1mol某种理想气体, 若容器发生缓慢漏气,试问容器内气体分子的平均平动动能是否改变?气体的内能是否改变?,（答案: 不变,变),4.两个容器中分别贮有理想气体氦和氧，已知氦气的压强是氧气的1/2,氦气的容积是氧气的2倍。试问氦气的内能是氧气内能的多少倍?,（答案:3 /5倍),5.质量相等的的理想气体氧和氦,分别装 在两个容积相等的容器内,在温度相同的情况下,氧和氦的压强之比为 ;氧分子和氦分子的平均平动动能之比为 ;氧和氦内
15、能之比为_.,26,2.4 麦克斯韦分子速率分布定律 The Maxwell distribution law of speed,一、 统计规律：,二、 速率分布函数 f(v) 的物理意义,将速率分成若干相等的区间,如,伽尔顿板,27,设任一速率区间为:,设总的气体分子数为N,在该区间内的分子数为N,分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数,分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的比率。,当,1. 速率分布函数 f(v) 的定义：,在平衡态下，f（v）仅是v 的函数。,注意：,28,2. 速率分布函数 f(v) 的意义：,分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比；
16、,当速率分布函数已知,求速率区间v1，v2内的总分子数为多少？,3. 麦克斯韦分子速率分布律,早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式,对单个分子来说，它表示分子具有速率在该单位速率间隔内的概率 。,问题：,29,问题：,(3)如图(a)曲线下的阴影面积的物理意义是什么？,(4)如图(a)曲线下的总面积的物理意义是什么？,根据,答：f（0）=0。,答：f（）=0,即速率区间vv+v内的分子数占总分子数的 比值。,归一化条件,图(a)某一温度下速率分布函数曲线,30,三、 分子三种特殊速率的统计平均值,(1)算术平均速率average speed
17、,(2)方均根速率 root-mean-square speed,31,(3)最概然速率vp most probable speed,最概然速率是指在任一温度T时,气体中分子最可能具有的速率值。,(4)三种速率的关系,某一温度下分子速率的三个统计值,即在v =vp时,分布函数应有极大值。,32,问题:,如图(1)所示,三条曲线分别代表同一种气体在不同温度下的速率分布曲线,试判断它们所代表的温度关系。,答 :T1T2T3,33,如图(2)所示,三条曲线分别代表同一种温度下不同分子的速率分布曲线,试判断它们所代表的质量关系。,答 :m3m2m1,图(2),vp,34,3.气体处于平衡态时,分子速率
18、分布曲线如图(3)所示,图中 A、B 两部分的面积之比为1:2,则它们的物理意义是什么?,5.某气体分子在温度T1时的方均根速率等于温度为T2时的平均速率,则该二温度之比为T2/T1=?,(答案:3:8),4.在图(4)中, 两条曲线分别表示相同温度下, 氢气和氧气分子的速率分布曲线,则a表示什么 气体分子的速率分布曲线;b表示什么 气体分子的速率分布曲线, 又氧气分子和氢气分子的最概然速率之比为 vpO2:vpH2 =?,(答案:氧;氢;1:4),35, 2.5 麦克斯韦速率分布律的实验验证,当R以给定角速度 转动时,只有满足下列关系式的原子才能通过细槽出口：,而其它速率的原子则将沉积在槽壁
19、上,小孔充分小，改变角速度，用D测出通过细槽的原子射线强度，可得气体速率分布。,36,2.6 玻尔兹曼分布律 *The Boltzmann distribution law,1. 玻尔兹曼分布律,玻尔兹曼把麦克斯韦速率分布律推广到气体分子在任意力场中运动的情形 。,当气体处于平衡状态时,在一定温度下,在速度分布间隔,和坐标分布间隔,内的分子数为,37,式中Ek代表动能, Ep代表势能, no代表在 Ep=0处单位体积内具有各种速度值的总分子数。,注意: (1)在相同的速度间隔和空间间隔,分子数的多少取决于分子能量E的大小,分子能量愈大,分子数愈少，这表明,就统计的意义而言,气体分子将占据能量较
20、低的状态。,(2) 玻尔兹曼分布律对实物微粒(汽体、液体、固体、布朗粒子等）在不同力场中运动的情形都是成立的 。,(3)将上式对速度积分，并考虑到分布函数的归一化，则玻尔兹曼分布率也可以写成如下形式,38,2. 重力场中粒子按高度的分布The distribution of particle height in gravitational field,在重力场中，气体分子受到两种互相对立的作用。无规则的热运动将使气体分子均匀分布于它们所能到达的空间，而重力则要使气体分子聚拢在地面上，当这两种作用达到平衡时，气体分子在空间作非均匀的分布，分子数随高度减小。,设z=0处势能为零，则,在重力场中气体
21、分子的密度n随高度Z的增加按指数而减小。分子的质量m越大，重力的作用就越显著 ，n的减小就越迅速，气体的温度越高，分子的无规则运动越剧烈， n的减小就越缓慢。,39, 2.7 实际气体等温线,注意:实际气体在温度较低和压强较大范围内,等温线不再是双曲线。,临界压强,临界等温线,临界温度,临界点,临界摩尔体积,CO2等温线,40,饱和蒸汽:液体与其蒸汽共存而且能处于平衡的状态。,临界点以下汽体可等温压缩液化，以上气体不能等温压缩液化。,饱和蒸汽压:汽液共存时的压强 。,温度越高时，汽体开始液化时的摩尔体积越小，而完全变成液体时的摩尔体积越大，饱和蒸汽压越大。,41,* 2.8 范德瓦尔斯方程,r
22、0,s,斥力,引力,合力,s 有效作用距离 10-9m,d分子有效直径 10-10m,实际分子力示意图,r0平衡距离,42,实际气体分子都 是由电子和带电的原子核组成的，它们之间总存在相互作用力。对实验结果和理论分析表明，两个分子间的作用力如实际分子示力图所示。即当 rr0 时两分子相互作用表现为引力。当 rs)相互作用力几乎为零 。当两个分子中心距离为 d 时斥力无限大。,一、分子引力所引起的体积修正：,将气体分子视为刚性球，则分子本身占有体积 ，容器容积应有修正。这时一摩尔气体所占的可被压缩的空间体积不再等于Vm ，而应该等于Vm 减去一个反映气体分子本身体积的修正项 b。,一摩尔气体,理
23、论指出 b 约为一摩尔气体分子本身总体积的 4 倍。估算 b 值 10 -6 （m3）=1（cm3）。,注意：通常情况下 b 可以忽略，但压强增大，容积缩小到可与 b 相比拟时，b 的修正就必须考虑了。实际 b 值要随压强变化而变化。,43,气体内压强的产生,二、分子引力所引起的压强修正：,容器中的分子 ，凡位于以 为球 心，以分子有效作用距离 S 为半径的球内的分子都对 有引力作用其效果是引力平均值为零。,处于器壁附近厚度为S 的表面层内的分子由于引力作用的分子分布不对称，平均来说受到一个指向气体内部的合力。这层气体分子受到的指向气体内部的力所产生的总效果相当于一个指向内部的压强，称内压强
24、pint 。,44,气体分子实际作用于器壁的压强,n分子数密度， a分子引力常数。,三、 范德瓦尔斯方程,质量为M 的气体,Mmol为气体的摩尔质量,一摩尔气体,45,范德瓦耳斯等温线,46,2.9 气体分子的平均自由程,一、气体分子的碰撞过程,每两次连续碰撞之间一个分子自由运动的平均路程。,47,围绕分子的中心,以 d为半径画出的球叫做分子的作用球。,(1)假定每个分子都是直径为d 的刚性小球;,当A分子与其它分子作一次弹性碰撞时,两个分子的中心相隔距离就是d。,围绕分子的中心,以 d为半径画出的截面叫做分子的碰撞截面。,以A分子中心的运动轨迹为轴线,以 d 为半径做一曲折的圆柱体,48,在
25、t 时间内,分子A走过的路程为:,t 时间内,以A分子中心的运动轨迹为轴线,以 d 为半径的圆柱体体积:,设单位体积内的分子数为n, 则该体积内的分子总数为:,即在t 时间内,分子A碰撞的次数为:,平均碰撞频率 Z：,49,对于空气分子,在标准状态下:,所以平均自由程与温度成正比,与压强成反比。,50,练习1:一个大热气球的容积为 2.110 4 m3,气球本身和负载质量共4.5 10 3 Kg ,若外部空气温度为20C,要想使气球上升,其内部空气最低要加热到多少度?,标准状态下空气的密度:,设热气球外空气的密度:,设热气球内空气的密度:,由于热气球内外空气压强相同(均取一个大气压):,温度:
26、,温度:,温度:,51,由热气球所受浮力与负载重量平衡可得:,52,练习2:一容器被中间的隔板分成相等的两半,一半装有氦气,温度为250K;另一半装有氧气,温度为310K，二者压强相等。求去掉隔板两种气体混合后的温度。,混合前,对于氦:,由于压强相同:,混 合前的总内能:,混 合后的总内能:,混合前,对于氧:,53,由于混合前后的总内能不变:,54,练习3:有N个粒子，其速率分布函数为,（1）作速率分布曲线,（2）由 vo求常 数C,（3）求粒子的平均速率,55,（1）速率分布曲线,（2）由归一化条件,（3）粒子的平均速率,解：,例题1,容器中储有1.013105 Pa, 300K的氧气。求：
27、,解题思路 题目给的是宏观量 p 和T, 求的是微观量的统计平均值 n、m、l、 等 ，选用相应的公式即可求得。,（1）单位容积内的分子数 n （2）分子的质量 m （3）密度 （4）分子间平均距离 l （5）平均速率 （6）方均根速率 （7）分子平均平动动能 （8）分子平均动能,典型题分析,解：,（1）由p=nkT 得,（2）,（3）,（4）设每个分子占据一个边长等于平均距离 l的小立方体，即：,（5）,（2）温度相同，说明分子的平均平动动能相等，但 和 却与分子种类有关。,（6）,（7）,（8）,讨论：（1）由 可见，分子数密度与p成正比，与T成反比。,（3）分子的平均动能与分子的自由度有
28、关，自由度愈多，分子的平均动能愈大（在一定温度下）。,解：设氢气的分子数为N，速率在30003010m/s之间的分子数N1 为：,例题2,设氢气的温度为 300。求速率在30003010m/s之间的分子数N1 与速率在15001510m/s之间的分子数N2 之比。,解题思路 根据麦克斯韦速率分布律,写出速率在30003010m/s之间的分子数N1 及速率在15001510m/s之间的分子数N2 的表达式，然后相比可得。,由于v1 =v2 , Mmol=N0 m,讨论：,同理，速率在15001510m/s之间的分子数N2 为：,根据题意,两个速率区间的分子数之比恰等于两速率所对应的分布函数之比。,（2）平均速率：,例题3 在标准状态下，1 m3 中有多少个氮气分子？氮气分子的平均速率为多少？平均自由程为多少？平均碰撞次数为多少？设氮分子的平均有效直径 d =3.7610-10m.,解题思路 n 可用两种方法求得,解：（1）,或：,（3）平均碰撞次数：,（4）平均自由程：,