概率论与数理统计试题库及答案.doc

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1、概率论与数理统计试题(1)一 、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“”,错误打“”)1 对任意事件A和B,必有P(AB)=P(A)P(B) ()2 设A、B是中的随机事件,则(AB)-B=A ()3 若X服从参数为的普哇松分布,则EX=DX ()4 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 ()5 样本方差=是母体方差DX的无偏估计 (?)二 、(20分)设A、B、C是中的随机事件,将下列事件用A、B、C表示出来 (1)仅发生,B、C都不发生;(2)中至少有两个发生; (3)中不多于两个发生; (4)中恰有两个发生; (5)中至多有一个发生。三、(15分) 把长为的棒任意折成三段,求它们

2、可以构成三角形的概率.#0.25四、(10分) 已知离散型随机变量的分布列为 求的分布列.五、(10分)设随机变量具有密度函数 , x,求X的数学期望和方差.#E(X)=0,D(X)=2六、(15分)某保险公司多年的资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20%,以表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数,求. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999Xb(100,0.2),E(X)=20,D(X)=16,XN(20,16), #七、(15分)设是来自几何分布 ,的样本,试求未知参数的极大

3、似然估计. #概率论与数理统计试题(1)评分标准一 ; ; ; ; 。二 解 (1) (2)或; (3)或; (4); (5)或 每小题4分;三 解 设三段可构成三角形,又三段的长分别为,则,不等式构成平面域.-5分aS 发生a/2 不等式确定的子域,-10分所以Aaa/20 -15分四 解 的分布列为 . Y的取值正确得2分,分布列对一组得2分;五 解 ,(因为被积函数为奇函数)-4分 -10分六 解 Xb(k;100,0.20), EX=1000.2=20, DX=1000.20.8=16.-5分-10分 =0.994+0.933-1 .-15分七 解 -5分 -10分解似然方程 ,得的极

4、大似然估计 。-15分 概率论与数理统计期末试题(2)与解答一、填空题(每小题3分,共15分)1 设事件仅发生一个的概率为0.3,且,则至少有一个不发生的概率为_0.9_.2 设随机变量服从泊松分布,且,则_()_.3 设随机变量在区间上服从均匀分布,则随机变量在区间内的概率密度为_.4 设随机变量相互独立,且均服从参数为的指数分布,则_,=_.5 设总体的概率密度为 .是来自的样本,则未知参数的极大似然估计量为_. 解:1 即 所以 . 2 由 知 即 解得 ,故 . 3设的分布函数为的分布函数为,密度为则 因为,所以,即 故 4,故 . 5似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为 .二、单

5、项选择题(每小题3分,共15分)1设为三个事件,且相互独立,则以下结论中不正确的是 (A)若,则与也独立. (B)若,则与也独立. (C)若,则与也独立. (D)若,则与也独立. ( )2设随机变量的分布函数为,则的值为 (A). (B). (C). (D). ( )3设随机变量和不相关,则下列结论中正确的是 (A)与独立. (B). (C). (D). ( )4设离散型随机变量和的联合概率分布为 若独立,则的值为 (A). (B). (C) (D). ( )5设总体的数学期望为为来自的样本,则下列结论中 正确的是 (A)是的无偏估计量. (B)是的极大似然估计量. (C)是的相合(一致)估计

6、量. (D)不是的估计量. ( ) 解:1因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立,所以(A),(B),(C)都是正确的,只能选(D).SABC 事实上由图 可见A与C不独立. 2所以 应选(A). 3由不相关的等价条件知应选(B). 4若独立则有YX , 故应选(A). 5,所以是的无偏估计,应选(A).三、(7分)已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解:设任取一产品,经检验认为是合格品 任取一产

7、品确是合格品 则(1) (2) .四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数,求的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解:的概率分布为 即 的分布函数为 .五、(10分)设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求(1)关于的边缘概率密度;(2)的分布函数与概率密度.1D01zxyx+y=1x+y=zD1解: (1)的概率密度为 (2)利用公式 其中 当 或时xzz=x 时 故的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法 六、(10分)向一目标射击,目标中心为坐标原点,已知命中点的横坐标和纵坐标相

8、互独立,且均服从分布. 求(1)命中环形区域的概率;(2)命中点到目标中心距离的数学期望.xy012 解: (1) ; (2) . 七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位:cm),今抽取容量为16的样本,测得样本均值,样本方差. (1)求的置信度为0.95的置信区间;(2)检验假设(显著性水平为0.05). (附注) 解:(1)的置信度为下的置信区间为 所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868,10.2132) (2)的拒绝域为. , 因为 ,所以接受.概率论与数理统计期末试题(3)与解答一、填空题(每小题3分,共15分)(1) 设事件与相互独立,事件与互不相容,事件与互不相容,且

9、,则事件、中仅发生或仅不发生的概率为_.(2) 甲盒中有2个白球和3个黑球,乙盒中有3个白球和2个黑球,今从每个盒中各取2个球,发现它们是同一颜色的,则这颜色是黑色的概率为_.(3) 设随机变量的概率密度为 现对进行四次独立重复观察,用表示观察值不大于0.5的次数,则_.(4) 设二维离散型随机变量的分布列为 若,则_.(5) 设是总体的样本,是样本方差,若,则_. (注:, , , ) 解:(1) 因为 与不相容,与不相容,所以,故 同理 . . (2)设四个球是同一颜色的, 四个球都是白球,四个球都是黑球 则 . 所求概率为 所以 . (3) 其中 , , . (4)的分布为 XY1200

10、.40.10.510.20.30.50.60.4这是因为 ,由 得 , 故 . (5) 即 ,亦即 .二、单项选择题(每小题3分,共15分)(1)设、为三个事件,且,则有 (A) (B) (C) (D) ( )(2)设随机变量的概率密度为 且,则在下列各组数中应取 (A) (B) (C). (D) ( )(3)设随机变量与相互独立,其概率分布分别为 则有 (A) (B) (C) (D) ( )(4)对任意随机变量,若存在,则等于 (A) (B) (C) (D) ( )(5)设为正态总体的一个样本,表示样本均值,则的 置信度为的置信区间为 (A) (B) (C) (D) ( ) 解 (1)由知,

11、故 应选C. (2) 即 故当 时 应选B. (3) 应选C. (4) 应选C. (5)因为方差已知,所以的置信区间为 应选D.三、(8分)装有10件某产品(其中一等品5件,二等品3件,三等品2件)的箱子中丢失一件产品,但不知是几等品,今从箱中任取2件产品,结果都是一等品,求丢失的也是一等品的概率。 解:设从箱中任取2件都是一等品 丢失等号 . 则 ; 所求概率为.四、(10分)设随机变量的概率密度为 求(1)常数; (2)的分布函数; (3) 解:(1) (2)的分布函数为 (3).五、(12分)设的概率密度为 求(1)边缘概率密度; (2); (3)的概率密度.x+y=1yy=xx0 解:

12、(1) (2) . (3) zyz=xx0z=2x 当 时 时 所以 六、(10分)(1)设,且与独立,求; (2)设且与独立,求.11yx0 解: (1) ; (2)因相互独立,所以 ,所以.七、(10分)设总体的概率密度为 试用来自总体的样本,求未知参数的矩估计和极大似然估计. 解:先求矩估计 故的矩估计为 再求极大似然估计 所以的极大似然估计为 .概率论与数理统计期末试题(4)与解答一、填空题(每小题3分,共15分)(1) 设,,则至少发生一个的概率为_.(2) 设服从泊松分布,若,则_.(3) 设随机变量的概率密度函数为 今对进行8次独立观测,以表示观测值大于1的观测次数,则_.(4)

13、 元件的寿命服从参数为的指数分布,由5个这种元件串联而组成的系统,能够正常工作100小时以上的概率为_.(5) 设测量零件的长度产生的误差服从正态分布,今随机地测量16个零件,得,. 在置信度0.95下,的置信区间为_. 解:(1) 得 . (2) 故 . . (3),其中 . (4)设第件元件的寿命为,则. 系统的寿命为,所求概率为 (5)的置信度下的置信区间为 所以的置信区间为().二、单项选择题(下列各题中每题只有一个答案是对的,请将其代号填入( ) 中,每小题3分,共15分)(1)是任意事件,在下列各式中,不成立的是 (A). (B). (C). (D). ( )(2)设是随机变量,其

14、分布函数分别为,为使是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 (A). (B). (C). (D). ( )(3)设随机变量的分布函数为,则的分布函数为 (A). (B). (C). (D). ( )(4)设随机变量的概率分布为 . 且满足,则的相关系数为 (A)0. (B). (C). (D). ( )(5)设随机变量且相互独立,根据切比 雪夫不等式有 (A). (B). (C). (D). ( ) 解:(1)(A):成立,(B): 应选(B) (2). 应选(C) (3) 应选(D) (4)的分布为 X2X110110000100 ,所以, 于是 . 应选(A) (5) 由切比

15、雪夫不等式 应选(D)三、(8分)在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为的泊松分布,而进入超市的每一个人购买种商品的概率为,若顾客购买商品是相互独立的, 求一天中恰有个顾客购买种商品的概率。 解:设一天中恰有个顾客购买种商品 一天中有个顾客进入超市 则 .四、(10分)设考生的外语成绩(百分制)服从正态分布,平均成绩(即参数之值)为72分,96以上的人占考生总数的2.3%,今任取100个考生的成绩,以表示成绩在60分至84分之间的人数,求(1)的分布列. (2)和. 解:(1),其中 由 得 ,即,故 所以 . 故的分布列为 (2),.五、(10分)设在由直线及曲线所围成的区域上服从均匀分布,

16、 (1)求边缘密度和,并说明与是否独立. (2)求.y01e2xy=1/xD 解:区域的面积 的概率密度为 (1) (2)因,所以不独立. (3) .六、(8分)二维随机变量在以为顶点的三角形区 域上服从均匀分布,求的概率密度。yx+y=z101xD1 解1: 的概率密度为 设的概率密度为,则 11zy0y 当 或时 当 时 所以的密度为 解2:分布函数法,设的分布函数为,则 故的密度为 七、(9分)已知分子运动的速度具有概率密度 为的简单随机样本 (1)求未知参数的矩估计和极大似然估计; (2)验证所求得的矩估计是否为的无偏估计。 解:(1)先求矩估计 再求极大似然估计 得的极大似然估计 ,

17、 (2)对矩估计 所以矩估计 是的无偏估计.八、(5分)一工人负责台同样机床的维修,这台机床自左到右排在一条直线上,相邻两台机床的距离为(米)。假设每台机床发生故障的概率均为,且相互独立,若表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走的路程,求. 解:设从左到右的顺序将机床编号为 为已经修完的机器编号,表示将要去修的机床号码,则 于是 概率论与数理统计试题(5)一、 判断题(每小题3分,本题共15分。正确打“”,错误打“”) 设A、B是中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) 设A、B是中的随机事件,则AB=AABB ( ) 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p (

18、 ) 样本均值= 是母体均值EX的一致估计 ( ) XN(,) , YN(,) ,则 XYN(0, ) ( ) 二、 计算(10分)(1)教室里有个学生,求他们的生日都不相同的概率;(2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率.三、(10分) 设,证明、互不相容与、相互独立不能同时成立.四、(15分)某地抽样结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩(即参数之值)为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下x 0 1 1.5 2 2.5 3 (x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.

19、999五、(15分) 设的概率密度为 问是否独立? 六、(20分)设随机变量服从几何分布,其分布列为 ,求与 七、(15分)设总体服从指数分布 试利用样本,求参数的极大似然估计. 八概率论与数理统计试题(5)评分标准一 ; ; ; ; 。二 解 (1)设他们的生日都不相同,则 -5分 (2)设至少有两个人的生日在同一个月,则 ;或 -10分三 证 若、互不相容,则,于是所以 、不相互独立.-5分 若、相互独立,则,于是,即、不是互不相容的.-5分四 解 -3分 -7分所求概率为 -12分 =2(1)-1=20.841-1=0.682-15分五 解 边际密度为 -5分 -10分因为 ,所以独立.

20、-15分六 解1 -8分其中 由函数的幂级数展开有 ,所以 -12分因为 -16分所以 -20分七 解 -8分 由极大似然估计的定义,的极大似然估计为-15分概率论与数理统计试题(6)一、 判断题(本题共15分,每小题3分。正确打“”,错误打“”) 设A、B是中的随机事件,则A ( ) 对任意事件A与B,则有P(AB)=P(A)+P(B) ( ) 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( ) X N(,2 ),X1 ,X 2 ,Xn是X的样本,则 N(,2 )() X为随机变量,则DX=Cov(X,X)-( )二、(10分)一袋中装有枚正品硬币,枚次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽

21、)从袋中任取一枚,已知将它投掷次,每次都得到国徽,问这枚硬币是正品的概率是多少?.三、(15分)在平面上画出等距离的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长的针,求针与任一平行线相交的概率.四、(15分) 从学校到火车站的途中有3个交通岗,假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是,设为途中遇到红灯的次数,求随机变量的分布律、分布函数和数学期望.五、(15分)设二维随机变量(,)在圆域x2+y2a2上服从均匀分布,(1)求和的相关系数;(2)问是否独立? 六、(10分)若随机变量序列满足条件 试证明服从大数定律.七、(10分) 设是来自总体的一个样本,是的一个估计量,若且试证是的相合

22、(一致)估计量。 八、(10分)某种零件的尺寸标准差为=5.2,对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据(毫米):=26.56,设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米().正态分布表如下x 0 1.56 1.96 2.33 3.1 (x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999概率论与数理统计试题(6)评分标准一 ; ; ; ; 。二解 设任取一枚硬币掷次得个国徽, 任取一枚硬币是正品,则 ,-5分所求概率为 .-10分三 解 设针与某平行线相交,针落在平面上的情况不外乎图中的几种, 设为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角,则ayay ,不

23、等式确定了平面上xy0yAS 的一个区域.-6分 发生,不等式确定的子域-10分 故 -15分四 解 ,分布律为即 -5分的分布函数为 -有所不同-10分 -15分五 解 的密度为 -3分 (1) 故 的相关系数.-9分 (2)关于的边缘密度为 关于的边缘密度的 因为,所以不独立.-15分六 证:由契贝晓夫不等式,对任意的有 -5分所以对任意的 故服从大数定律。-10分七 证 由契贝晓夫不等式,对任意的有 -5分于是 即 依概率收敛于,故是的相合估计。-10分八 解 问题是在已知的条件下检验假设:=26 查正态分布表,1=0.975, =1.96-5分1u1=1.081.96,应当接受,即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。-15分模拟试题A一.单项选择题(每小题3分,共9分)1. 打靶 3 发,事件 表示“击中 i 发” , i = 0, 1, 2, 3。 那么事 件 表 示 ( )。( A ) 全 部 击 中 ; ( B ) 至少有一发击中;( C ) 必 然 击 中; ( D ) 击 中 3 发2.设离散型随机变

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