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1、创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB进行模型求解。针对问题一，本文建立了模型动态变化及数学描述模型。利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度，三维空间桌脚边缘线。针对问题二，本文建立模型设计加工参数模型。采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度和长方形平板面积必须达到最小，对于任意给定的高度和圆形桌面直径
2、确定：决策变量：（桌面最外侧木条的半长），（最外侧桌腿的竖直偏角），（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）目标函数 :(开槽总长度)，长方形木板面积用MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。针对问题三，本文建立了模型软件设计模型。根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：圆形桌面，圆弧和矩形组合桌面，“8”字形桌面。对于圆形桌面可参照模型；对于组合桌面，可在模型的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型的基础上改动来实现。 关键词：解析几何 M
3、ATLAB 多目标决策分析 EXLINK1.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm 50 cm 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度
4、等）和桌脚边缘线的数学描述。2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。给出
5、相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。2.问题分析2.1问题一的分析问题一要求我们建立模型描述折叠桌的动态变化过程并给出设计加工参数，由于长方形平板尺寸和每根木条的宽度及钢筋的位置都为已知，所以只需假设最外侧桌面木条的半长，根据桌子的对称性研究桌子左边最外侧到中间的桌腿，利用空间几何建立数学模型，再用MATLAB对模型求解得出设计加工参数，用EXLINK导出每根桌腿转过的角度。2.2问题二的分析问题二要求我们做到产品稳固性好、加工方便、用材最少，对于已定的桌高和桌面直径确定最优设计加工参数。由问题一中折叠桌桌腿的几何关系建立多目标决策分析模型确定决策变量和目标函数，用MATLA
6、B确定最优设计加工参数。2.3问题三的分析问题三要求我们为折叠桌的设计软件提供数学模型，可根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线形状大小和桌脚边缘线的大致形状来给出所需平板的尺寸及加工参数，对此我们充分的利用问题二的模型来设计桌面边缘线的形状，使所建立的软件设计模型易于求解。3.模型的假设假设一：不考虑加工对长方形平板宽度带来的影响假设二：桌腿钢筋不会发生形变假设三：描述桌脚边缘线时桌脚为质点假设四：外侧桌腿和钢筋固定良好假设五：铰链不会发生形变且对设计加工参数无影响4.问题一模型的建立与求解4.1符号说明：符号符号说明第根桌腿腿长第根桌面木条的半长第根桌腿与竖直方向的夹角第根桌腿动态变化转
7、过的角度第根桌腿底部距地面的高度桌面外接圆半径钢筋位置距桌面高度第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离第根木条开槽长度4.2模型的建立（数据单位均为）根据桌子的对称性只需研究桌子左边最外侧到中间的10根桌腿，设最外侧桌腿为第一根桌腿，其桌面木条的半长为 ，以第一根桌脚为原点建立空间直角坐标系（见图1）图1根据问题一所给尺寸计算出：第一根桌腿：腿长第一根桌腿底部距桌子竖直对称面的距离桌腿与竖直方向的夹角钢筋位置到桌子竖直对称面距离钢筋位置距桌面高度图2图3根据图2和图3计算可以得出：第根桌面木条的半长 桌面外接圆半径第根桌腿腿长第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直
8、面距离第根桌腿的竖直夹角第根桌腿钢筋位置以上长度第根桌腿底部距地面的高度第根桌腿底部到桌子竖直对称面的距离桌腿底部坐标为了得出每根木条的开槽长度，利用第根桌腿钢筋位置以上长度减去桌子平铺时候钢筋位置与折叠点的距离即：4.3模型的求解根据题中所给的图和木板的厚度，大致可以假设桌面最外侧木条半长为3，用MATLAB编程进行求解，程序见附录一通过EXLINK导出桌面与竖直方向夹角，制出表格描述折叠桌动态变化的过程（见表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿与竖直方向夹28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿动态变化转过的角度61.305677.852368
9、9486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.059088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB画出桌脚边缘线（见图3），程序见附录二图4桌脚边缘线各点坐标参数如下表：X0.00003.7833 7.5603 9.6053 10.6861 Y2.50005.0000 7.5000 10.0000 12.5000 Z0.0
10、0002.3931 5.3657 8.1713 10.6166 X11.2054 11.4070 11.4441 11.4135 11.3740 Y15.0000 17.5000 20.0000 22.5000 25.0000 Z12.6489 14.2694 15.4976 16.3561 16.8632 表2用EXLINK导出设计加工参数：桌面外接圆半径桌腿开槽长度见下表：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度06.88 10.34 13.14 15.47 17.39 18.92 第8根第9根第10根20.10 20.92 21.42 表3桌腿第2根第3根第4根第5根第6根
11、第7根第8根第9根第10根 25.57 25.04 25.04 25.25 25.53 25.81 26.06 26.25 26.36 开槽位置见下表：表44. 问题二模型的建立与求解5.1符号说明：符号符号说明长方形平板面积第根桌腿的槽长长方形木板长度长方木形板宽度桌子高度最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第根桌面木条的半长第根桌腿长度桌子宽度第根桌腿钢筋位置以上长度最外侧桌腿的竖直偏角桌面直径5.2模型的建立（数据单位均为）采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度和长方形平
12、板面积必须达到最小，对于任意给定的高度和圆形桌面直径确定最优设计加工参数，即输入桌高及桌面直径得出最优加工参数开槽长度以及所需长方木板长和宽由问题一中图1解得第一根桌腿长度,设最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值为根据图1和图2得出第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离，桌宽，第根桌面木条的半长为第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第根桌腿钢筋位置以上长度所以可求出第根桌腿的槽长，即得出桌腿的总槽长，从而有：决策变量：（桌面最外侧木条的半长），（最外侧桌腿的竖直偏角），（最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值）目标函数5.3模型的求解根据题中所给的图和问题一中木板的厚度，大致可以
13、假设桌面最外侧木条半长等于3，用MATLAB求解出多组方案。对折叠桌进行力学分析可得，当折叠桌的外侧桌腿垂直于地面时，折叠桌能承受的正压力是最大的，此时能承受的侧向压力是最小的。当桌腿未完全展开时，其抗侧压力性能强于抗正压力，若使折叠桌既能有较好的抗正压力和抗侧压力，则桌腿要与地面保持合适的夹角。通过对问题一中折叠桌支撑腿与竖直方向的夹角约等于28，并结合现实生活中实际情况为使折叠桌的稳定性好，不能过小或过大，假设由已知桌高,桌面直径,输入,的值，输出,方案如下表:方案10.41163.6679.9713088.55847.7520.42165.6679.9013236.07865.3230.
14、43167.6579.7713374.87882.1740.44169.6679.6013504.61898.1650.51163.6679.9713088.55979.5460.52165.6679.9013236.07999.2870.53167.6679.7713374.871018.1980.54169.6679.6013504.611036.1490.61163.6679.9713088.551078.37100.62165.6679.9013236.071099.64110.63167.6679.7713374.871120.12120.64169.6679.6013504.611
15、139.65130.71163.6679.9713088.551149.04140.72165.6679.9013236.071171.46150.73167.6679.7713374.871193.22160.74169.6679.6013504.611214.15170.81163.6679.9713088.551197.77180.82165.6679.9013236.071221.13190.83167.6679.7713374.871244.09200.84169.6679.6013504.611266.45表4图5实际情况中，桌面直径和每根木条的宽度是定量，所以不可能很小，满足，由
16、上表数据计算得当时，方案无效。当桌面平铺时，钢筋必须在圆形桌面以外，即,可以得出,根据上表数据计算，当0.5时，方案无效。综上所述，上表中灰色部分全为无效方案，剩余全为有效方案，即方案7、8、11、12、15、16、19、20,经比较得出，方案7为最优方案。用EXLINK导出设计加工参数:桌腿第一根第二根第三根第四根第五根第六根第七根第八根开槽长度0.00 7.29 10.42 12.73 14.55 15.98 17.10 17.96 第九根第十根第十一根第十二根第十三根第十四根第十五根第十六根18.62 19.13 19.53 19.84 20.09 20.28 20.45 20.58 表
17、55. 问题三模型的建立与求解6.1符号说明：符号符号说明长方形平板面积第根桌腿的槽长长方形木板长度长方木形板宽度桌子高度最外侧桌腿钢筋的位置到折叠处的长度与桌腿的长度比值第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第根桌面木条的半长第根桌腿长度桌子宽度第根桌腿钢筋位置以上长度最外侧桌腿的竖直偏角桌面直径6.2模型的建立（数据单位均为）根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为折叠桌设计软件提供数学模型，现为客户提供三种桌面形状：圆形桌面 圆弧和矩形组合桌面 “8”字形桌面(1).圆形桌面直接参照模型中最优方案的为最优钢筋位置，第一根桌腿长度，桌面木条根数第一根桌腿钢筋位
18、置距桌面的距离，桌宽，第根桌面木条的半长为第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第根桌腿钢筋位置以上长度所以可求出第根桌腿的槽长(2).圆弧和矩形组合桌面为使桌面呈现圆弧和矩形的组合，最外侧桌面木条的长度要较大，现规定当时为组合桌面。，依旧参照模型桌面木条根数第一根桌腿长度，第一根桌腿钢筋位置距桌面的距离，桌宽，第根桌面木条的半长为第根桌腿钢筋位置距桌腿折叠处竖直面距离第根桌腿钢筋位置以上长度所以可求出第根桌腿的槽长(3).“8”字形桌面，桌面木条的根数只需研究桌子一侧前的桌腿由于“8”字形桌面的桌子是由两个组合桌子链接起来的，所以设计加工研究参数即为组合桌面桌子参数。6.2模型的求解针对圆弧
19、和矩形组合桌面图6现要加工高， ，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下：，第根桌腿开槽长度：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度0.00 1.81 4.01 10.39 16.29 19.44 21.88 第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根23.73 25.07 26.04 26.74 27.25 27.64 27.95 28.18 表6开槽位置：桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根19.99 20.35 20.79 21.35 22.06 22.98 24.19 第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根25.74
20、 27.67 29.92 32.35 32.88 30.07 30.22 表7针对与“8”字形桌面图7现要加工高， ，用MATLAB和EXLINK解出设计加工参数如下：，第根桌腿开槽长度：桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根开槽长度0.00 0.21 5.73 12.63 15.64 18.18 20.36 第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根22.26 23.89 25.27 26.43 27.38 28.17 28.81 表8开槽位置：桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根30.4031.3032.3533.5534.9236.4438.08第9根第10根第11根第12根第13根第14根39.80 41.55 43.30 45.01 42.92 40.67 表9由flash软件制作得“8”字形桌面动态示意图图86. 误差分析误差分析：7. 模型评价、改进、推广模型评价：模型推广：7.参考文献1房少梅.2014.数学建模理论、方法及应用.北京：科学出版社2姜启源，谢金星,叶俊.2003.数学建模.3版.北京：高等教育出版社3谢金星，薛毅，2007.优化建模与LINDO/LINGO软件.北京：清华大学出版社4张志涌，杨祖樱，2013.MATLAB教程.北京：北京航空航天大学出版社创意桌展开图16