第一章 测量误差及其传播.doc

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1、第一章 测量误差及其传播律1.1 测量误差与平差测量数据或观测数据是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球或其他实体的空间分布有关信息的数据。观测数据可以是直接测量的结果，也可以是经过某种变换后的结果。任何观测数据总是包含有用信息和干扰两个部分，干扰部分也称为误差或噪声。为了获得有用信息，就要设法排除或削弱误差影响。在各种测量工作中，当对同一个观测量进行重复观测时就会发现，其观测值之间会存在一定的差异。例如，在地面上两点间进行水准测量，往返测得到的两点间高差并不相同；观测一个三角形的三个内角，就会发现三个内角和不等于。这种同观测量的不同观测值之间，或在各观测值某个函数与其理论值之

2、间存在差异的现象，在测绘工作中是普遍存在的。产生上述情况的原因，是观测量中带有观测误差。1.1.1误差来源观测误差的产生的原因概括起来有以下四个方面（隋立芬，2001;陶本藻，2007）：1. 外界条件测量工作是在自然环境下进行的，我们把测量所处的自然环境称为外界条件。外界条件千变万化，对我们的观测产生各种各样的影响。例如，我们测量地球上两点间距离，大气温度、湿度和气压都会影响边长观测值；大气折光会影响角度观测值和高差观测值；GPS信号穿过电离层会受到电离子折射而产生时间延迟，等等。这些影响都会使观测值产生误差。2. 测量仪器测量工作离不开测量仪器。测量仪器本身的精密度也会给观测数据带来误差。

3、例如，J2型经纬仪测微器最小刻划为1，估读1以下的尾数时就存在误差。仪器结构不完善也会给观测数据带来误差。例如，水准仪的视准轴不平行于水准轴，全站仪的竖轴与横轴不垂直、视准轴与横轴不垂直，等等。3. 测量对象观测对象也就是观测目标，也可能产生误差。例如：测量角度时照准目标为照准圆筒可能会产生相位差；水准测量时水准标尺的沉降或倾斜产生的误差；卫星受到摄动力的影响偏离理想轨道产生的误差，等等。4. 观测人员观测者感觉器官的鉴别能力、技术水平和责任心对观测数据的质量都会产生直接影响。例如仪器的安置、照准、读数等方面产生误差。外界条件、测量仪器、测量对象和观测者是引起测量误差的主要来源，因此我们产生误

4、差的综合因素称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量密切相关。观测条件好，成果质量就高。相反，观测条件差，成果质量就不高。但是，不管观测条件如何，在测量中产生误差是不可避免的。测量工作者的责任是采取不同的措施，尽可能地消除或减少误差对观测结果的影响，提高观测成果的精度。1.1.2误差分类由于观测条件不完善，因此观测值不可避免地会产生误差，搞清各种误差的性质，这样便于对不同性质误差采用不同的方法加以处理。根据观测误差对测量结果影响的性质不同，可以把测量中出现的误差分为三种类型：偶然误差、系统误差和粗差。1.系统误差系统误差是观测条件中某些特定因素的系统性影响而产生的误差。在相同测量条件下，系

5、统误差的大小和符号常固定不变，或者为一常数，或者呈周期性的变化，影响具有累积性。系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它对观测成果的质量影响也特别显著。在实际工作中，根据系统误差的来源和规律可以采用不同方式加以消除或减弱，使其达到实际上可以忽略不计的程度：设计正确的观测程序设计正确的观测程序可以消除或减弱部分系统误差。例如：根据大气折光对测量角度产生影响的规律性，规定在日出后半小时到上午十点和下午二点钟到日后前半小时两个时段测量水平角，而在上午十点到下午二点之间测量竖直角，这样可以减少大气折光所产生的测量角度的系统误差；根据水准仪的视准轴与水准轴不平行产生的误差规律性，规定水准测量时水准

6、仪离前后视两个水准尺的距离大致相等；为消除或减弱多路径误差对GPS观测的影响，对GPS控制点设置做了必要的规定等等。建立系统误差改正模型观测量加系统误差改正是常见解决系统误差的方法。例如电磁波测距的气象改正和周期误差改正；GPS测量中载波相位观测值的电离层改正、对流层改正等都属于系统误差改正。仪器的检验与校正在测量之前对测量仪器要进行认真的检验与校正，测量仪器要定期检修，确保仪器没有明显问题，减少由仪器产生的系统误差。在数据处理中加系统误差参数上述误差是不可避免的，即使观测者十分认真且富有经验，测量仪器作了最好的校正，而且外界条件又最有利，这些误差仍然会产生。因此，有时在测量数据处理时将系统误

7、差作为参数参加平差计算。2.偶然误差偶然误差是在测量过程中各种随机因素的偶然性影响而产生的误差。在相同测量条件下作一系列的观测，偶然误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律。例如用经纬仪测量角度时，测角误差可能是照准误差、读数误差、外界条件变化和仪器本身不完善等多项误差的代数和，这些小误差是由偶然因素引起的，这些偶然因素在不断变化，体现在单个的微小测角误差上，其数值或大或小，符号或正或负，无法事先预知，呈现随机性。根据概率统计理论可知，如果各个误差项对其总的影响都是均匀地小，不管这些微小误差服从什么分布，也不论它们是同分布或不同分布，只要它们具有

8、有限的均值和方差，那么它们的总和将服从或近似服从正态分布，且误差的平均值随观测次数的增加而趋于零。由此可见，偶然误差就总体而言，具有一定的统计规律；偶然误差也就是均值为零的随机误差，也称为不规则的误差。系统误差与偶然误差在观测过程中是同时发生的，当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈现出系统的性质，这时需要在观测值中加系统误差改正消除系统误差。反之，如果在观测列中已经排除了系统误差，或者与偶然误差相比已处于次要地位，则该观测列误差呈现出偶然误差的性质。3.粗差错误或者粗差属可避免的误差，例如瞄错目标、读错数等。粗差可能由作业人员的粗心大意或仪器故障所造成的差错，也可

9、能是外界环境发生突变所造成的粗大误差。从统计学的观点看，粗差是观测结果，但不属于所研究的分布中相同的样本，它们当然不能和其它观测结果一起使用。例如，在正态分布中粗差不可能发生。因此，优化测量程序时要能够查出粗差，并加以排除。可以根据几何条件闭合差检验粗差，但在使用现今的高新测量技术如全球定位系统（GPS）、地理信息系统（GIS）、遥感（RS）等自动化数据采集中，也会有粗差混入信息中，这时需要通过设计合理的数据处理方法进行识别与消除。1.1.3测量平差学科的任务和内容由于观测不可避免地存在着误差，误差又可分为偶然误差、系统误差和粗差三种类型。系统误差一般可以在观测中或系统误差改正等多种方法加以消

10、除，在其他测绘学相关课程中学习。经典测量平差学科主要研究处理带有偶然误差的观测值，消除不符值，找出待求量的最佳估值。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结果，这就是测量平差的一个主要任务；测量平差的另一个主要任务是评定测量成果的精度。 为了测定两点间距离，如果仅丈量一次就可以得出其长度，但是无法知道误差有多大。但可以对该距离进行次观测，得到各观测边长，取其平均长度为两点最后距离。可以证明多次观测的平均值精度高于一次观测精度，也就是偶然误差得到削弱。这样增加了次观测，提高了测量结果的精度，又可以发现粗差。我们称这多测的次为多余观测，用表示，

11、即次。多余观测数就是多于未知量的观测数。未知量的个数称为必要观测。在测量工程中，为了提高成果质量和可靠性作多余观测。进行了多余观测，由于观测值带有误差，就可能产生问题，如确定一个平面三角形的现状和大小，只要在三条边、三个内角六个元素中观测至少含有一条边的三个元素即可，但如果观测了六个元素，就会发现三个内角观测值之和可能不是180，按正弦定理或余弦定理确定的边角关系可能也不正确，这就是误差造成的。误差造成了几何图形不闭合，产生了闭合差。测量平差的目的就是要合理地消除这些不符值，求出未知量的最佳估值并评定结果的精度。测量平差就是测量数据依据某种最优化的准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求取未知

12、量的最佳估值并评定结果精度的理论与方法。本书主要讨论下述观测值平差处理问题（王新洲，陶本藻等，2006）：1.误差理论。包含偶然误差特性和偶然误差的传播；精度指标及其估计；权与中误差的定义及其估计方法；偶然误差与系统误差的联合传播；粗差检验与修复等内容。2.最小二乘原理及方法。包括测量平差原理，按最小二乘原理导出的间接平差（或参数平差）的计算公式和精度评定公式，最小二乘平差结果的最优性质等内容。3.控制网平差与平差理论在其他领域中的应用。包含水准网平差、导线网平差、GPS网平差、回归分析、多项式拟合等内容。4.测量平差中必要的统计假设检验方法。包含误差分布的假设检验、平差模型正确性的统计检验、

13、平差参数的统计检验的区间估计等内容。5.抗差估计和近代测量数据处理方法。包含抗差估计理论与方法；自由网平差基本方法；滤波、推估与配置理论与方法；卡尔曼滤波基本方法等内容。1.2正态分布 前面讲过偶然误差服从正态分布，因此正态分布是处理观测数据的基础，因此我们首先要介绍一下在概率与数理统计中学过的正态分布。1.2.1一维正态分布服从正态分布的一维随机变量的概率密度为（胡细宝，王丽霞，2004） （1-2-1）其中和是分布密度的两个参数。对随机变量服从参数为、的正态分布，简记为。现求随机变量的数学期望和方差： （1-2-2） （1-2-3）正态分布的参数就是的数学期望，而就是它的方差，数学期望和方

14、差是正态分布的数字特征。只要知道某一服从正态分布的随机变量的数字特征就可以知道它的分布律。因此，我们主要研究正态分布的数字特征。正态分布随机变量出现在指定区间（）（为正数）内的概率为 由上式可得 （1-2-4）式中称为均方差，测量平差中也称为中误差。可见服从正态分布的随机变量以它的数学期望为对称轴，越靠近对称轴，密度越大，离开对称轴越远，密度越小。1.2.2 维正态分布设随机向量，若服从正态分布，则为维正态随机变量，其联合概率密度为（崔希璋等，1992） （1-2-5）式中随机向量的数学期望和协方差阵为： （1-2-6） （1-2-7）数学期望和协方差阵是维正态随机变量的数字特征。中各元素为随

15、机变量的数学期望，中各主对角线上的元素为的方差，非对角线上的元素为关于的协方差，是描述随机变量关于相关性的量。为阶对称方阵。当两两随机变量互相独立时，有 =则为一对角阵，即： 1.2.3 数学期望 数学期望的定义是 （1-2-8）数学期望的性质为：1.设是常数，则有 （1-2-9）证把常数看作一个随机变量，它只能取得唯一的值，取得这个值的概率显然等于1。所以，。2.设是随机变量，是常数，则有 （1-2-10）证若是连续型随机变量，且其密度函数为。 。当 是离散型随机变量的情形时，将上述证明中的积分号改为求和号即得。3.设都是随机变量，则有 (1-2-11)证：若是连续型随机变量，且其密度函数为

16、。 式中，为边缘密度函数。这一性质可以推广到有限个随机变量之和的情况，即 (1-2-12)4.设是相互独立的随机变量，则 (1-2-13)证仅就都是连续型随机变量的情形来证明。设的概率密度分别为和，的联合概率密度为，则因为与相互独立，所以有 。由此得 此性质可以推广到有限个相互独立的随机变量之积的情况，即 （1-2-14) 以上数学期望的性质在以后的公式推导中常要用到。1.2.4 方差与协方差数学期望描述概率分布的集中度，方差则是描述概率分布的离散度。如果观测数据集中在数学期望的周围，则离散度小，方差小，精度就高，反之，则离散度大，方差大，精度就低。1.方差的定义设有随机变量，其数学期望为，方

17、差为，方差的定义为 （1-2-15）2.方差的性质设是常数，则有 （1-2-16）证常数的数学期望，代入（1.15）式 设是随机变量，是常数，则有 （1-2-17）证若是连续型随机变量，则 设是互相独立的随机变量，当，则有 （1-2-18）证：若是连续型随机变量，则 这一性质可以推广到有限个相互独立随机变量之和的情况，当，则有 （1-2-19）3.协方差设有随机变量和，描述它们之间相关性的量度称为协方差，其定义为 （1-2-20）上式说明协方差阵具有对称性。如果和误差互相独立，则 （1-2-21） 4.相关系数为使成为无量纲的量，可将其标准化，使用 （1-2-22）来表示和相关的程度，称为相关

18、系数。，当时，和不相关或互相独立。1.2.5正态随机向量的条件概率密度 设有维正态随机向量，且设 和分别是由的前个分量和后个分量构成的正态随机向量，即，。的概率密度是 （1-2-23）按分块矩阵求逆公式，有 （1-2-24）或为 （1-2-25）其中 （1-2-26）因还可以分解为 （1-2-27）所以的行列式值为 （1-2-28） 利用（1-2-25）、（1-2-26）和（1-2-28）式，可将概率密度（1-2-23）式改写为 （1-2-29）或 （1-2-30）其中 （1-2-31）根据边际概率密度和多维正态分布的性质可知 （1-2-32） （1-2-33）由条件概率密度公式知 （1-2-

19、34） （1-2-35）将（1-2-29）和（1-2-32）式代入到（1-2-34）式得 （1-2-36）将（1-2-30）和（1-2-33）式代入到（1-2-35）式得 （1-2-37）根据条件期望和条件方差的定义和正态概率密度的性质可得 （1-2-38） （1-2-39）正态分布的条件期望具有一下性质：1. 由（1-2-37）式可知，是的线性组合，所以，它是正态随机向量；同样，也是正态随机向量。2.设和为正态随机向量，且设 （1-2-40）则是与互相独立的随机向量。3.设，而，则有 （1-2-41）4. 设 令，则有 （1-2-42）1.3偶然误差规律性1.3.1真误差与真值能代表一个观测

20、量真正大小的数值称为该观测值的真值，当观测量仅含有偶然误差，其数学期望就是它的真值。设进行了次观测，其观测值为，其真值为，数学期望为，由于观测值都带有一定的误差（仅含偶然误差），因此观测值与其真值并不相等，其差为 （1-3-1）式中，称为真误差，也可以简称误差。若记 ，则有 （1-3-2）对（1-3-2）中第一式两边取数学期望，并顾及第二式，得 （1-3-3）上式说明偶然误差的数学期望等于零。 1.3.2误差的统计规律前面讲过，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）；但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性，并且指出它是服从正态分布的随机变量。从无数的测量实

21、践中发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面通过实例说明偶然误差的规律性（张书毕等，2008）。在一个平面三角形中，测量了三个内角，其观测值为，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值180，三角形内角和的真误差为 （1-3-4）在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全部内角，计算出各三角形的内角和真误差。现取误差区间的间隔为0.20，将这一组误差按其正负号与误差值的大小排列，统计误差出现在各区间内的个数，以及“误差出现在某个区间内”这一事件的频率（=358），其结果列于表1.1中。 表1.1 误差的区间（） 为 负 值 为 正 值备

22、注个数频率个数频率0.00-0.200.20-0.400.40-0.600.60-0.800.80-1.001.00-1.201.20-1.401.40-1.601.60以上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.01100.6300.5600.4600.3200.2350.1800.0850.05504641332116135200.1280.1150.0920.0590.0450.0360.0140.00600.6400.5750.4600.2950.2250.1800.0700.0300=0.20等于区间左端值的误差算入该区

23、间内。和1810.5051770.495从表中可以看出，误差的分布情况呈现出如下规律：（）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多；（）误差的绝对值有一定的限值；（）绝对值相等的正负误差的个数相近。偶然误差分布的情况，除了采用上述误差分布表的形式表达外，还可以利用图形来表示。以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，即（此处间隔值均取为=0.20），这种图形称为频率直方图，如图1.1所示，它形象地表示了误差的分布情况。在误差个数的情况下，由于误差出现的频率已趋于完全稳定，此时误差区间间隔无限缩小，图1.1中各长方条顶边所形成的折线将变成如图1.2所示的光滑的曲线。这

24、种曲线称为误差分布曲线。由此可见，偶然误差的频率分布，随着的逐渐增大，都是以正态分布为其极限的。通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而将正态分布称为它们的理论分布。在理论研究中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型，这不仅方便，而且基本上符合实际情况。通过以上的讨论和大量的实践，我们可以概括出偶然误差的几个概率特性（隋立芬，2001，陶本藻，邱卫宁等，2012）：1.有界性。即在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零。2.聚中性。即绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。图1.1 图1.23.对称性。即绝对值相等的正负误差出现的概

25、率相同。4.偶然误差的数学期望为零，即：。也就是说，偶然误差的理论平均值等于零。在图1.1中，以纵坐标为高的各长方条的面积即为误差出现在该区间内的概率。若以理论分布取代经验分布（图1.2），图1.1中各长方条的纵坐标就是的密度函数，而长方条的面积为,即代表误差出现在该区间内的概率，即 （1-3-5）假设误差服从正态分布，则可写出的概率密度表达式为： (1-3-6)式中为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于，所以该曲线是以横坐标为0处的纵轴为对称轴。当不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差是服从分布的随机变量。这里应该指出的是，测量误差是连续型

26、随机变量，而连续型随机变量出现于个别点上的概率等于零，因此，所谓的误差出现的概率是指误差出现于某一区间的概率。1.4 精度及其衡量指标1.4.1精度的概念测量平差的主要任务之一，就是评定测量成果的精度。所谓精度，就是指误差分布的密集或离散程度。对于同一量进行多次重复观测，观测精度就是观测值之间密集或吻合的程度，即各观测结果与其中数的接近程度。如果重复观测值密集在一起，说明它们的精度高；如果它们分散的很开，则精度就低。如果在一定的观测条件下进行一组观测，则它对应着一种确定的误差分布。若误差分布较为密集，即离散度较小时，表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果误差分布较为离散

27、，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。若使用真误差作为衡量精度的指标，由真误差的定义和其具有的随机性，可以得到相同观测条件下的一组观测值，其每一个真误差都可能不同，因此，使用真误差作为衡量精度的指标存在不方便和不科学的一面。由于偶然误差服从正态分布，反映正态分布的数值特征是数学期望和方差，偶然误差的数学期望等于零，因此有 (1-4-1)偶然误差的一维误差分布的密度函数为 （1-4-2）一维误差分布密度函数曲线如图1.3所示，它有如下性质：（1）为偶函数，曲线对称于纵轴；（2）随着误差绝对值的增大而减小，当；（3）当时，有为函数的最大值；（4）误差曲线拐点的横坐

28、标为中误差，即这可由求二阶导数得出。图1.3偶然误差的一维正态分布密度函数公式中的标准差，决定了曲线的形状。则表示随机变量围绕集中位置的离散度。由于各分布曲线下面所围成的面积均等于1，所以越小，曲线形状越陡峭，表示随机变量对数学期望的离散程度小，从测量来讲，表示观测精度高；越大，曲线形状越平缓，也就是随机变量对的离散程度大，就测量来说，表示观测精度低。因此衡量精度的主要指标为方差，或标准差（中误差）。1.4.2方差和中误差 误差的概率密度函数为式（1-4-2），式中是误差分布的方差，因为的数学期望，根据方差的定义可知 （1-4-2）而就是中误差 （1-4-3）恒取正号。如果在相同的观测条件下得

29、到一组独立的观测误差，其方差可以写成定积分形式 （1-4-4）也可以写成离散形式，即 （1-4-5）则 （1-4-6）式（1-4-5）和式（1-4-6）分别是计算方差和中误差的理论公式。实际上，观测值个数总是有限的，由有限个观测值的真误差只能求得方差和中误差的估计值。方差和中误差的估值将分别用符号和表示，即 （1-4-7）这就是根据一组等精度真误差计算方差和中误差估值的基本公式。1.4.3协方差和协方差阵1.协方差定义设有观测值和，其真误差分别为，则关于的协方差定义为 （1-4-8）即观测值关于的协方差与关于的协方差相等。根据数学期望的定义，可以得到协方差的理论计算公式 （1-4-9）其估值为

30、 （1-4-10）当观测值和的协方差时，表示这两个观测值的误差之间互不影响，或者说，他们的误差是不相关的，称和为不相关的观测值，也称为互相独立观测值；如果，则表示它们的误差是相关的，称和为相关的观测值。 2.协方差阵 设有观测向量，根据（1-4-2）式和（1-4-8）式，可以写出其协方差阵，即 （1-4-11）式中是观测向量对应的真误差向量。其对角线上的元素分别是各观测值的方差，非主对角线上的元素则是观测值关于的协方差，根据协方差定义可知，协方差阵是对称矩阵。协方差阵是观测向量的精度指标，它给出了各观测值的方差和其中两两观测值的协方差即相关程度。3.互协方差阵如果有两组观测向量和，它们的数学期

31、望分别为、,则和的互协方差阵为 （1-4-12）若，则称和是相互独立的观测向量。当时，和都是单个观测值，互协方差阵就成了协方差。互协方差阵是表示两组观测值中两两观测值相关程度的指标。1.4.4极限误差和相对误差1.极限误差中误差不是代表个别误差的大小，而是代表误差分布的离散程度。由中误差的定义可知，在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此把这一组中每一个观测值，都视为同精度观测值。但是，这一组观测结果的真误差彼此并不相等，有的甚至相差很大。根据式（1-2-4）可知，误差落在、和的概率分别为： （1-4-13）由于大于3倍中误差的偶然误差出现的可能性非常小，是概率接

32、近于零的小概率事件。因此通常规定三倍中误差作为偶然误差的极限值，并称为极限误差。即： （1-4-14）若要求严格，也可取作为极限误差。实用上以中误差的估值代替，以3或2作为极限误差。在测量中，如果某误差超过了极限误差，则认为它是错误的，相应的观测值应进行重测、补测或舍去不用。2.相对误差中误差是绝对误差，有时观测结果需要用相对误差来衡量其精度。比如在距离测量中，常常采用相对中误差来衡量精度。所谓相对中误差是中误差与平差值之比，在测量中通常把分子化为1,即用来表示。1.4.5准确度与精确度1.准确度准确度又称为准度，是表示观测值的真值与观测值的数学期望之差，即 （1-4-15）如果观测值只偶然误

33、差，则，如果，则说明观测值带有系统误差。因此，准确度表征了观测结果系统误差大小的程度。衡量系统误差大小程度的指标是准确度。2.精确度精确度是精度与准确度的合成，是指观测结果与其真值的吻合或接近程度，即反映一个位置统计与其所估的参数值的接近程度。准确度不仅包括随机误差的影响，还包括由于未改进的系统误差引起的偏离。这里用均方误差作为衡量精确度的指标，其定义为如下的期望 （1-4-16）3.不确定度测量数据的不确定性是一种既包含偶然误差、系统误差和粗差的广义的误差，又包含数值上和概念上的误差以及可度量和不可度量的误差。不确定性含义很广，数据误差的随机性和数据概念上的不完整性及模糊性，都可认为是不确定

34、性问题(宋明顺，1999)。不确定度是衡量不确定性的一种指标。不论测量数据服从正态分布还是非正态分布，衡量不确定性的基本尺度仍然是中误差，并称为标准不确定度。预期一个观测误差将落在其中的区间。一定的概率水平一般是对应着一个不确定度。例如，95%的不确定度就是观测误差将以95%的可能性（即概率为0.95）落在其中的数值范围。若一个观测值的不确定度为已知，则可将其附在观测值之后。1.5 权与协因数1.5.1权的定义方差或中误差是表示精度的一种绝对的数字指标。为了比较各观测值之间的精度，除了可以应用方差外，还可以通过方差之间的比例关系来衡量观测值之间的精度高低。这种能够表示各观测值之间精度高低的数字

35、特征称为权（武汉大学测绘学院测量平差学科组，2008）。在测量实际工作中，平差之前往往很难获得观测精度的绝对数字指标（方差），但是比较容易获得相对精度的数字指标（权）。因此，权在平差计算中将起到非常重要的作用。设有观测值，的方差分别为，如果选定任一常数，则定义 （1-5-1）为观测值的权。从（1-5-1）可以看出，权与方差成反比，方差愈大，权愈小；反之，方差愈小，权愈大。或者说，精度高的观测值权大，精度低的观测值权小，精度相同的观测值权相等。用权比较各观测值之间的精度高低，不限于是对同一量的观测值，也适用于不同量的观测值。（3）40kmBA图1.4的水准网中，已知各水准路线的距离为S1=20k

36、m，S2=10km,S3=40km。平差前，（1）20km（2）10km我们并不知道观测高差的具体数值，而只知道每公里观测高差相同，此时若假定每公里观测高差中误差为公里，则根据式（1-4-6）可以计算出各线路的观测高差的中误差为公里，A图1.4 公里，公里，如果令公里，代入到式（1-5-1），则得，。如果令公里，代入到式（1-5-1），则得，。第二组权由于选择的常数不同于，其值发生了变化，但各路线的权之比例关系相同，它们同 可以反映各观测高差间精度高低。由以上例子可知，对一组观测值定权时须注意以下几点：（1）一组观测值的权，其大小是随而异，不同的便有不同组的权与之相对应。权的大小随着的取值不同

37、而发生变化，但这种变化不影响权的应用，因为权的比例关系不会随着的取值而发生变化。可见，权不是表示精度的绝对数值指标，而是精度的相对数值指标。（2）在同一问题中，只能选定一个值，否则就破坏了权之间的比例关系。（3）为了实际的需要和计算上的方便，不一定要选取具体的观测值中误差作为，可以选取假定的中误差作为比例常数，甚至在事先给定条件的情况下（例如，已知各水准路线的长度，且每公里观测高差的精度相同，而不一定要知道每公里高差的具体数字），即可定出权的数值。1.5.2单位权中误差在定权时可以任意选取，它仅起到比例常数的作用，但值一经选定后，它就有着具体的含义了。当取某个观测值的中误差时，该观测值的权等于

38、1。因此，称为单位权中误差，而权等于1的观测值称为单位权观测值。用权衡量各观测值之间的相对精度，可以是同类观测值，亦可以是不同类观测值，比如边角网就有边和角。由权的定义知，同类观测值的权是无量纲的，但不同类观测值的就有量纲。如边角网中，当单位权方差取秒2为单位时，则角度权无单位，但边的权单位应取秒2/毫米2,这种情况在平差计算中要注意。1.5.3协因数与协因数阵设有观测值和，各自的权分别为和，方差分别为和，它们之间的协方差为，单位权方差为。令 （1-5-2）或写为 （1-5-3）称为的协因数或权倒数， 为的协因数或权倒数，为关于的相关协因数或相关权倒数。由上可知，观测值的协因数和（权倒数）与方差成正比，而相关协因数（相关权倒数）与协方差成正比。协因数，与权和有类似的作用，可以作为比较观测值精度高低的一种指标；而协因数是比较观测值之间相关程度的一种指标，我们可以利用这种指标来证明随机向量间的相关或不相关。设有观测值向量（或者是观测值函数向量