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1、单相逆变器PID控制器的模拟化设计王俊（华中科技大学电气与电子工程学院，硕1308班，M201371162）The analog design of PID controller for inverterWANG Jun(School of Electronic and Electric Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074)5摘要：本文首先为单相逆变器建模，给出了单相逆变器的状态空间平均模型，并得出了相应的系统控制框图。然后，利用已得模型，在连续域中设计了单相逆变器的PID控制器，并对
2、其进行离散化。在离散化的过程中，充分考虑了模拟控制器在离散时的离散原则，运用后向差分法对PID控制器进行离散化。本文通过对所得PID控制系统进行MATLAB仿真，验证了设计方法的可行性。关键词:数字控制；状态空间平均模型；PID控制器；后向差分法1 引言在电力电子装置中，以恒压恒频逆变器为核心的UPS得到了广泛的应用，对其输出波形的主要技术要求包括较低的稳态总谐波畸变率(THD）和快速的动态响应1。为了使逆变器的输出电压达到规定的稳态和动态性能，逆变器一般采用闭环控制，且都采用传统PID控制技术。由于DSP的大量应用，对于逆变器的数字控制器设计尤其重要。由于SPWM型逆变器是一个强非线性、按时
3、间分段线性或时变的电路，本文首先通过状态空间平均法建立开关变换器的模型，然后采用了模拟化的方法设计数字控制器。本文首先在连续域采用零极点配置的方法设计了单相逆变器的PID控制器，然后运用后向差分法进行离散化，得到数字PID控制器。并且通过仿真，比较离散前后控制器的性能，发现离散后控制器性能未有多大改变，在采样周期合适的情况下，比连续域中的性能还要优越一些，但是采样频率特别高。图1 逆变电路拓扑结构图2 单相全桥逆变器的数学模型为了设计单相逆变器的控制器，首先需推导出其数学模型。图1给出了单相全桥逆变器的的拓扑结构图。由于SPWM逆变器处于不同开关状态下的状态方程各矩阵是相同的，所以只需对不连续
4、的非线性输出量做平均，即可得到逆变器的状态空间平均模型。对于LC滤波器模型，可以得到如下的状态方程： (1) 式中：分别为流经电感的电流和电容两端的电压。易推得逆变器的滤波器输出端电压的传递函数为： (2) 建立的传递函数框图如图2所示： 图2 传递函数框图现代逆变器通常都采用瞬时值闭环控制，本设计采用的是单电压闭环控制，如下图所示。图3 实际控制系统建模本设计中的电路参数如下：直流侧电压U=400V，电压指令的有效值/频率为220V/50Hz，开关频率为f=10KHz，滤波电感为L=0.5mH，滤波电容为C=180F，线路电阻为r=0.1。故可计算出逆变器系统的传递函数为： (3)根据传递函
5、数，利用MATLAB可以作出系统开环传递函数的Bode图，如图4所示。根据Bode图可知，系统的穿越频率为4710rad/s，相角裕度为4.86，相角裕度太小，开环系统很不稳定。由于PI控制器不能同时满足要求的动态性能和稳态性能，所以本文利用PID控制器。PID控制器既能调节系统的稳定性，也能改善静态性能。图4 无PID控制的系统Bode图3 在连续域设计PID控制器本文选取零极点配置法在连续域设计控制系统的PID控制器。事实上，PID控制器的传递函数可写成如下形式: (4) 由式（2）和（4）及闭环系统的控制框图可以算出系统的闭环特征方程如下： (5)该特征方程为一个三次方程，表明该系统为一
6、个三阶系统，根据代数基本定理，其应有三个根，这三个根便是系统的闭环极点。控制系统的稳态性能和动态性能由系统的闭环零点和闭环极点的分布决定，通过调整系统的闭环零点与闭环极点在复平面中的分布，便可以改变系统的性能。而对一个高阶系统而言，由于系统有多个闭环极点，较为复杂，但是其性能却主要由其闭环主导极点决定。因此，本文通过配置主导闭环极点来设置PID控制器2,3。设上述控制系统的主导闭环极点为： （6）还有一个非主导闭环极点为： （7）这里取n=10,。且期望的自然振荡频率=3000rad/s,，期望的阻尼系数=0.8。由（6）和（7）可算出系统的三个闭环极点。代入系统的闭环特征方程（5），可得 （
7、8）因此，可得PID控制器的传递函数如下： （9）图5 设计了PID控制器的系统Bode图于是，可利用MATLAB作出D(s）G(s)的Bode图，如图5所示，可得系统的穿越频率为=2.9rad/s,，相角裕度为82.6。可见，加了PID控制器以后，系统的相角裕度大大提高，系统的稳定性大大增强。用MATLAB算出系统的阶跃响应如图6所示。可得，单位阶跃响应的超调量为7，调节时间为0.00125s（2）。4 PID控制器的离散化至此，本文已经在连续域设计出了较为理想的PID控制器。但在数字控制领域，需要将上述的连续域PID控制器离散化，以得到数字PID控制器。图6 闭环系统的单位阶跃响应本文将采
8、用后向差分法来实施离散化。在实施离散化之前，需先确定系统的采样周期4。由前面的分析知，PID校正的闭环系统的带宽=rad/s，根据数字控制理论的知识，考虑采样保持器相角滞后的影响,相角滞后在()范围内T=(0.170.5)/ ，本文取即采样周期为10，采样频率为100kHz。由后向差分法得：于是，可在MATLAB中构建系统的传递函数模型，如图7所示。可方便的求得离散PID控制器的单位阶跃响应，并与连续域的PID控制系统的单位阶跃响应作对比。如图8所示。在图中可见，离散PID控制系统的单位阶跃响应超调量为9，调节时间为0.0013s（2）。由此可见，运用后向差分法离散后，系统单位阶跃响应时间超调
9、变大了，调节时间变长了，但总体来看，离散后的PID控制系统与连续域的PID控制系统性能非常相似。图7 系统的传递函数模型图8 采样频率为100kHz时的单位阶跃响应对比为了检验离散PID控制器跟踪正弦波形的性能，在MATLAB中搭建正弦波检验模型如图9所示。仿真的结果见图10所示。由仿真结果可见，离散后的PID控制系统能很好的跟踪指令正弦波。但是，当增大采样频率时，离散后的结果就未必那么理想了。例如，现在取采样周期为，采样频率为，仍然利用图7搭建的仿真模型，改变采样周期进行仿真，得到单位阶跃响应如图11所示。此时，可得单位阶跃响应的超调量为19，调节时间为0.0018s（2）。可见，随着采样频
10、率降低，单位阶跃响应超调量明显增加，调节时间变长。图9 正弦波跟踪仿真图10 正弦波跟踪仿真波形图图11 采样频率为66.7kHz时的单位阶跃响应对比由上述的仿真结果可见，连续域设计的PID控制器离散化后，超调量有所变大，调节时间增加，但是稳态误差却保持不变。而且，随着采样周期的增加、采样频率的降低，系统的超调量随之增大、调节时间也会加长。5 总结 本文对单相逆变器的数字PID控制器的设计是采用模拟化的设计方法，先在连续域通过零极点匹配法设计了连续域的PID控制器，然后通过后向差分法离散控制器得到数字控制器的模型，并在MATLAB中搭建仿真模型进行仿真。通过离散前后的对比，可以看出连续域设计的控制器离散化之后，控制器的性能有所下降，超调量有所增加，调节时间有所加长，但是稳态误差和连续域相同。 模拟化设计方法的动态性能和稳态性能都很好，然而模拟化的设计方法受采样时间的影响很大，本文中模拟化设计的采样频率高达100kHz；当取采样频率为66.7kHz时，系统超调量明显增加、调节时间也随着变长。参考文献1 陈坚，电力电子学电力电子变换和控制技术北京：高等教育出版社，20022 胡寿松，自动控制原理北京：科学出版社，20013 陈道炼，DC-AC逆变技术及应用北京：机械工业出版社，20034 胡兴柳，逆变器的数字控制技术研究，北京：科学出版社，2007