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1、,第 五 讲 . 态叠加原理 A. 态叠加原理： 如果 是体系的一个可 能态， 也是体系的一个可能态，则 是体系的可能态，并称 为 和 态的线性叠加态。,B讨论（经典波函数与量子波函数比较） ， 系数 不仅仅是展开系数。而是对体系测量 获得 值的几率振幅。 而描述自由粒子状态的最普遍的形式为, 一个动量为 的自由粒子是以一个平面波 这表明，这一自由粒子有一定几率处于 态上，其几率为, 态叠加原理的直接后果是要求波函数满 足的方程，必须是线性齐次方程。 作为例子，介绍了一个描述波包的波函数 ，,. 含时间的薛定谔方程（Austrian） 2526年间，将能量不连续和波动性联系起 来，并将求粒子能
2、量可能值的问题归结为一定边 条件下的本征方程求解问题，随后给出了含时 间的薛定谔方程。这方程给出了描述微观粒子运 动的波函数是怎样演化的。 A. Schroedingers equation的建立 有确定动量的自由粒子：根据de Broglie 关系和Einstein关系,它应相应于一个de Broglies波 这波函数满足,在这方程中无特殊参量 。它不仅对有 确定动量的自由粒子的波函数成立，对最普遍 的自由粒子的波函数也成立。,而,这一微分方程决定了描述自由粒子状态随 时间的演化。 将上述情况推广，对于质量为 的粒子， 在位势 中运动时，则 因此，描述这一粒子运动的波函数应满足,最为普遍的方
3、程是：体系的Hamiltonian 则 称为含时间的 Schroedingers equation。 但应注意，同一力学量的经典表示，可得不 同的量子力学表示,因此，经典的力学量，变为量子力学的力 学量表示（即量子化），即算符时，应注意 和 对经典是一样的， 但对量子力学 而言是不同的 。,所以规定： 在直角坐标中表示分量，再代入算符表示； 对于与 为线性函数形式的物理量， ，则取 （ 为实函数 ）； 如果是矢量，则在 直角坐标下的分 量表示，然后再作替换 ，再换为其它 坐标。 如,但如从 不对。 B. 对Schroedinger equation的讨论 1. 量子力学的初值问题： 当体系在
4、时刻的状态为 时，以后 任何时刻的波函数就完全由 S.eq.所决定（因对 是一次偏微商）。这就是量子力学的因果律，,即决定状态的演化。 如 ，即与时间无关，那 时刻的解可表为 （如 时为 ） 如何从 时刻的波函数来确定 时刻的 波函数的问题，是量子力学要解决的重要问题之 一。,讨论： a. 群速度和相速度 我们得到包络极大处的速度 ，即群速度 而相速度,b. 波包的扩展 如果我们以这个高斯波包来描述（或模拟） 一个物体, 则 所以，在 时，它位于 ，宽度为,而 时，它位于 ，宽度为 也可以计算标准偏差，得到发现粒子的主要 区域在 - 其中,所以，随时间演化，这一高斯波包越来越宽。 设： 于是
5、当 ，波包已扩散很大，因此与经典粒子无 任何相似之处。,但 所以，这样一个显示经典粒子的波包，其动量的 分布没有扩展，而空间的分布则扩展。使得你在 时，就认不得经典粒子的运动轨迹了。 这一讨论和结论，对任何其它形状的波包都相同。 下图即为高斯波包的传播,c. 波包扩展的时间量级 求波函数随时间的演化，也可这样来做。 时刻的波函数，可由 时刻的波函数完全 确定。由于S. eq. 是线性的，因而解能够被叠加。 因此，不同时刻的波函数关系也必须是线性的。 这就意味着， 必须满足线性齐次的微分方程。 即可表为 称为Green函数，或称传播子。知道了Green函数，就知道态随时间的演化。,如 时刻，粒子
6、处于 ，即 由上式得 这就是格林函数的含义： 时刻，粒子处于 ， ，则 时刻， 处发现粒子的几率密度振幅就是 。 由薛定谔方程我们可直接给出,B粒子数守恒 在非相对论的情况下，实物粒子既不产生 也不湮灭，所以在整个空间发现粒子的几率应 不随时间变，即 这即要求，凡满足Schrodinger eq.的波函数，必须满足上式。,由 乘 由 乘,从而得 若V为实函数（保证体系是稳定的，能量为实） 对整个空间积分，得,对于真实粒子，运动于有限范围内，波函数 应平方可积（平方可积条件要求 ， 应快于 ），于是,从而证得 若取 则,称为几率流密度矢 上述表示，即为几率守恒的微分形式。形式 上与流体力学的连续
7、方程一样，但是有很大的实 质差别。 如对空间某一体积积分，则有,这表明，单位时间内，体积中，发现粒子的 总几率增加是等于从该体积表面（S面）流入该 区域的几率。 一维情况 应该强调，任何时刻都不要忘记波函数的几 率解释。 为发现粒子在该处的几率密 度，而决不是粒子分布于空间；也决不是粒,子以 分布于空间；也决不能说， 是密 度为 的粒子以速度 在空间的流密度。而 仅表明，粒子在单位时间通过面上的单位面积 的几率（不是粒子实体，否则又回到经典图象 上去了）。 还应指出，几率流密度矢是处处连续的。 C. 多粒子体系的薛定谔方程 设：体系有 个粒子，质量分别为 ，所处的位势为 ，相互作用为 ， 则,
8、这时S. eg.为 这也看出与经典不一样。不一定都是三维空 间的函数，而是多维的，即 在多维位形空间中的。,2.5 不含时间的薛定谔方程，定态问题 由初态 求 一般是很困难的， 我们将介绍一些极为有用的特例，即位势与时间 无关， 。 （1） 不含时间的薛定谔方程 由于H与t无关，可简单地用分离变数法求 特解。,令 于是 =常数 于是有 。,我们有 所以，当H与t无关时，含时间的薛定谔方 程的特解为： 其中 。 方程被称为不含时间的薛定谔方程，或称为 能量本征方程。 A. 在上述方程中，E实际上是体系的能量。 因为在经典力学中，粒子在一个与t无关的位,势中运动，体系机械能守恒，即具有一定的能 量
9、。而在量子力学中，对应波函数随时间变化 为 ， 所以相应的实际上是体系的能量。 从平面波看，它随时间变化就是 。 B. 一般而言，上述方程对任何E值都有非零 解。但由于对波函数有几率解释，波函数有一定 要求（自然条件），以及一些特殊的边界要求 （ 无穷大位势边界处 等）。这样能满足方程的 解就只有某些E值。由这而自然地获得能量的分 立值（而测量值只能是这方程有非零解所对应的 值）。,C. 根据态叠加原理 是含时间的薛定谔方程的一个特解，也就是，是 该体系的一个可能态。所以普遍的可能态一定可 表为,通常称 （其中 ）为定态波函数。 对体系可按各种定态波函数展开来表示。但 只有按自身的定态波函数展
10、开时，系数 C 才与t 无关。否则与t有关。 （2） 定态： A. 定态定义：具有确定能量的态，称为体系的定态，或者说，以波函数,（其中 ）描述的态称为定态。 我们已知，当 与 t 无关时（即 ）， 态随时间演化的规律为 若tt0时处于定态，即 t0 时波函数为 则 B. 定态的性质：若体系Hamiltonian与t无关，,1体系在初始时刻（t0）处于一定能量 本征态 ，则在以后任何时刻，体系都处于 这一本征态上，即 。它随时 间变化仅表现在因子 上 。 2体系的几率密度不随时间变化，几率流 密度矢的散度为0（即无几率源）。 所以,这表明，在任何地方都无几率源，空间的几率 密度分布不变。 3几率流密度矢，不随时间变化。 4任何不含 t 的力学量在该态的平均值不随时间变化。,5任何不显含 t 的力学量在该态中取值的 几率不随时间变化。 根据态叠加原理，若对体系测量力学量 的值，如可取 a1, a2， ，那么体系的可能 态必为 现体系处于定态，,显然 与 t 无关, = = 。 这正表明，对处于定态中的体系，测量 取可 能值的几率不变。,2.6 测不准关系 由于粒子应由态函数 来描述。因此， 就不能像经典那样以每时刻 ， 来描述（事 实上由前一节也看出，自由粒子的动量并不一定 取一个值）。但是否仍能像经典那样在 处发 现粒子具有动量 呢？,