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1、第六章 样本及抽样分布,第一节 总体和样本 第二节 抽样分布 第三节 正态总体的样本均值与样本方差的分布 本章知识点小结 习题,第一节 总体和样本,数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象，对研究对象的客观规律性作出合理的估计和判断。,概率论所研究的随机变量，其分布都是假设已知的，在这个前提下研究其性质、特点和规律性。,概率论与数理统计的区别：,数理统计所研究的随机变量，其分布是未知或不完全知道的。需要通过独立重复的观察并对观察数据进行分析，来推断其分布,在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称为总体)进行观察，而是抽取其中的部分
2、(称为样本)进行观察获得数据（抽样），并通过这些数据对总体进行推断.,数理统计方法具有“部分推断整体”的特征 .,数理统计的任务就是研究有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽可能地作出精确可靠的结论.,1.总体,研究对象的全体称为总体,总体中所包含的个体的个数称为总体的容量,构成总体的每个基本单位称为个体,对随机试验的某一数量指标进行试验或观察：,对随机试验的某一数量指标进行试验或观察：,1.总体,试验的全部可能的观察值称为总体,总体中所包含的个体的个数称为总体的容量,每一个可能观察值称为个体,总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X 的值 一个
3、总体对应一个随机变量X 不再区分总体和相应的随机变量，统称为总体X X 的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征,例如: 研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命。那么，此总体就可以用随机变量X表示。,类似地，在研究某地区中学生的营养状况时 ，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X 和Y 分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y) 来表示.,统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 随机变量，对应一个概率分布.,总体分布一般是未知，或只知道是包含未知参数的分布。 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取
4、过程称为 “抽样”。 所抽取的部分个体称为样本。 样本中所包含的个体数目称为样本容量。,2. 样本,从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验,样本容量为5,抽到哪5辆是随机的,一旦取定一组样本X1, ,Xn ,得到n个具体的数 (x1,x2,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .,n称为这个样本的容量.,最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：,1. 代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察的总体有 相同的分布.,2. 独立性： X1,X2,Xn是相互独立的随机变量.,例如：考察某大学一年级2000名男生的身高 总体：2000名男生身高的所有可能值。等价于某个随机变量X。 样本：例如抽取
5、10名男生，则这10名男生的身高可能值为一个样本。可表示为随机变量X1, ,X10。 样本值：这10名男生的身高测量值,记为x1,x10。,3. 总体、样本、样本值的关系,注意：事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、 确定的值。我们只能观察到随机变量取的值而 见不到随机变量。,统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,=F(x1
6、) F(x2) F(xn),若总体的分布函数为F(x)、概率密度函数为f(x),则其简单随机样本的联合分布函数为,其简单随机样本的联合概率密度函数为,=f(x1) f(x2) f(xn),例：,解:,课堂练习：,解:,第二节 抽样分布,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,1. 统计量,这种 的样本的函数称为 统计量. 它是完全由样本决定的量.,一、统计量与经验分布函数,不含任何未知参数的,定义,请注意 :,几个常见统计量,样本平均值,它反映了 总体均值 的信息,样本方差,它反映了总体 方差的信息,样本标准差,
7、它反映了总体k 阶矩的信息,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k 阶 中心矩的信息,统计量的观察值,仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶（原点）矩以及样本 k 阶中心矩。,统计量的一些性质：,矩估计法的理论根据,例：,解：,课堂练习：,解：,2. 经验分布函数,定义 总体X的经验分布函数为,例 设总体X具有一个样本值1,1,2，则 其经验分布函数 为,二、统计学中的三个常用抽样分布,统计量的分布称为抽样分布 总体分布已知时，抽样分布虽然是确定的，但一般来说难以求得 正态总体的三个常用抽样分布： 2 分布 t 分布 F 分布,记为,分布,1、,定义: 设
8、相互独立, 都服从正态分布 N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,分布是由标准正态分布派生出来的一种分布.,分布的密度函数为,来定义.,其中伽玛函数 通过积分,注：,分布的密度函数为,2设 且X1,X2相互独立，,1. 设 相互独立, 都服从正态分布,则,这个性质叫 分布的独立可加性.,(应用中心极限定理可得 ),n=1,n=5,n=15,例:,解:,练习：教材P142例6.2,定义: 设XN(0,1) , Y , 且X与Y相互独立，则称变量,所服从的分布为自由度为 n的 t分布，记为Tt(n)。,2、t分布,t分布又称为学生氏分布，它的概率密度函数为：,h(
9、t)为偶函数,n=50,n=10,n=1,几个常用的 的值为：,性质：,其中 为,故,进而,从而,U=,定义: 设 U 与V 相互独立，则称随机变量,服从自由度为(n1, n2) 的F分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作FF(n1,n2) 。,3、F分布,其概率密度为,F分布的分位点,F分布的性质,即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,1.F分布的数学期望为:,若n22,证：可设,且Y与Z相互独立，,那么,第三节 正态总体的样本均值与样本方差的分布,定理 1 (样本均值的分布),n取不同值时样本 均值 的分布,定理 2 (样本方差的分布),n取不同值时 的分布见右图,解：样本容量n=16,从而,(1) 所求=,（2）,进而有,定理 3 (样本均值方差比的分布),定理 4 (两总体样本均值差、样本方差比的分布),分别是,例1：,解,例2,解,本章知识点小结,常用的统计量,样本平均值,样本方差,样本标准差,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,经验分布函数,样本的联合概率密度函数（连续型） 或联合分布律（离散型）,定义 经验分布函数为,抽样分布,t 分布,F分布,4.当n充分大时，,样本均值和方差的性质,抽样分布定理,习题,解1:,解2:,