河北初中数学教学观摩研讨会--贾老师[1]2.ppt

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1、中考复习： 关注核心知识， 整合复习内容， 积累数学经验， 发展数学能力.,关注课程标准的基本要求,基础知识； 基本技能； 基本数学思想方法； 基本数学活动经验；,在课程标准要求范围内遴选初中数学核心内容作为考查学生各种能力的知识载体，体现其科学性。,科学性,数与代数领域： 是表示、交流与解决问题的工具； 考查应关注模型、表示与计算,“数与式”的表达功能,例1.如下图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将300ml的水倒进一个容量为500ml的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中结果水满溢出 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（

2、） 20cm3以上，30cm3以下 30cm3以上，40cm 3以下 40cm3以上，50cm3以下 50cm3以上，60cm 3以下,此类试题结合具体实际情境和直观图示，考查了学生列式表达数量及将现实情境转化为不等关系的能力而这种列式表达数量或将现实情境实现数学化的过程，基本是这样几种情况： 一般的文字描述的现实情境； 一般的纯数学的代数意义的数学情境； 一般直观图示表述的现实情境； 一般的纯几何图形中的需要量化描述的几何情境。,从知识的整体结构层面看“方程与不等式”，不仅是初中数学的核心内容之一，也是进一步学习函数和解决几何问题中数量关系的常用工具；,从数学能力的层面看，“方程与不等式”是

3、培养学生能力的有效载体，比如，通过建立方程模型，学生的分析问题的能力、抽象概括能力、符号表达能力等都会得到相应的发展； 从思想与方法的层面看，在解和用方程的过程中，还能进一步地强化“方程思想”、“化归思想”及“消元降次”、“换元”等方法，能很好地提高学生的数学思考能力和数学思维品质,例2我国古代的“河图”是由33的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点 图的点数之和均相等图中给出了 “河图”的部分点图，请你推算出P 处所对应的点图是（ ）,此类例题有的以语言叙述方式给出量的关系，有的以图形方式隐性地给出了量的关系，二者都含有未知量的相等或不等关系，均只

4、需列出对应的方程或不等式即可解需要指出的是：这种隐含有相关数量关系的试题，虽然其解法中也包含有直接试验或推测获得问题解的方法，但其实质还是方程问题的相关求解，这样的考法常常能更好地考查学生的方程意识，以及运用方程思想解决问题的能力，值得引起重视,还有一类试题,常见的“方案决策类”试题，其所考查的内容和思想方法是非常重要的，其考查目的也是一般的方程与不等式题目所不能完全体现的，具有一定的独特性在多数情况下，解这种试题要以“方程和不等式”作为解决问题的工具，且由于题中含有由“不确定”中找确定的因素，所以关联了方程与不等式等数学模型的建立与应用一般地，确定一个量的值的问题基本上都可以转化为方程问题，

5、而要确定一个量的范围的问题，往往要转化为不等式的问题因而，这种考法对分析问题的能力和“方程与不等式”思想意识的考查力度都很强,19.（本题满分8分） 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准备对校园中30亩空地进行绿化绿化采用种植草皮与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植树木面积的2/3 .已知种植草皮与种植树木每亩的费用分别为8000元与12000元. 种植草皮的最小面积是多少？ 种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？最低费用为多少？,【评析】上述题目首先从一般的意义上考查了学生列代数式、寻找等量或不等量关系的能力，进而考查了学生是否具有“

6、有意识地建立方程或不等式解决实际问题的数学思想”由于通过建立方程把“存在”与“不存在”转化成方程“有解”、“无解”的问题，需要比较娴熟地掌握并运用“方程思想”，所以这样的考法较好地考查了学生的数学思维水平和和建模能力,函数部分的结构性考查,函数是初中数学的核心内容其地位和作用主要体现在如下两个方面：,函数是所有与变化过程相关问题的最有效的数学刻画与表示，其应用应用意义十分重大，所以逐步形成了“函数思想”和“函数模型”； 函数是其它所有与数量关系相关问题的思想基础和知识基础，是“代数”的灵魂。众多的方程问题，不等式问题，几何图形中的几何量的关系问题，还有与运动相关的几何图形问题，或隐或显地都以函

7、数作为解决问题的基本的方向性的手段。而解决问题的终极性手段基本上还是方程或不等式。所以三者的知识与方法性的联系就是显而易见的了。,函数图像与性质的研究，是很有代表性的一个研究过程，几乎所有函数性质的探究与发现都来自于对图像的直观观察与探究因此对函数图像及其性质的考查，绝不仅仅限于如一次函数、反比例函数、二次函数等这些函数性质探究的个案本身，而是具有更一般化的普遍意义，所以这类试题虽然基础，但很重要。,函数与方程式、不等式之间有很多联系。 从表面形式上讲，它们都是用等号或不等号连接数量关系表示。 从其表示的结果看，函数是研究一个变化全过程的问题，不等式是研究一个区间上的关系的问题，而方程是研究一

8、个或几个点上的特定的问题。 从应用的角度讲：一种是直接体现三者的数学关系的问题，另一种是综合而又内在地反映了函数与方程、不等式的关系的问题。,“统计与概率”的主要内容包括数据的收集、整理、描述和分析，对简单随机现象的认识，对简单随机事件发生可能性的刻画，以及利用数据说理或做出决策等.“统计与概率”的教学应帮助学生逐渐建立起数据分析观念和感受随机现象. 发挥统计与概率在判断决策中的作用.,统计与概率部分的知识体系与结构特点,在图形与空间方面体现 其科学性,一 高度重视对图形基本概念、基本性质的考查，主要表现为背景新颖、多姿多彩，而又中肯、贴切。,二 强化相关知识的交汇与结合，以更好地实现对知识的

9、考查，以及对合情推理与演绎推理能力的考查。,图形与空间 主要目标是发展学生的空间观念 空间观念的发展需要经历一个由对具体几何对象的“操作”到凭借几何图形“想象、推理”的发展过程,图形的性质： 以现实生活中的有关图形作为背景，通过不同的活动（观察、展开、折叠、变换、作图、推理等）探索相应的图形性质；采用综合法证明有关性质,图形与坐标： “能够采用适当的坐标方式表达一个空间（部分），或者空间中物体之间的位置关系”，以及“了解基本的图形位置关系（及其变换）与相应的坐标变化之间的关系”,图形与变换： 对现实生活中各种相应变换现象的了解，借助变换的方法认识图形的一些基本性质 如：角平分线是轴对称图形，根

10、据对称图形的特征，可以找到解决问题的策略,图形与证明： 对证明必要性的感受；证明中需要使用的数学语言、符号；具体的证明过程；一般的证明方法；更进一步的内容可以是：由证明过程而获得的对相应命题的深刻理解，得到的新发现,具体的：一、通过多种方式深化对图形基本概念和基本性质的考查,图形的基本概念和基本性质是初中数学的核心知识，也是中考考查的重点之一。随着课程标准理念的贯彻与落实，对这些内容的考查，除了少数以直白的方式之外，大都被置于某个新颖的背景之中，使其考法演化的多姿多彩，现择要归总如下：,1、设计对图形的操作性活动，通过“知识的再提炼” 深化对概念或性质的考查；,2、设计开放的情景，通过“从不确

11、定中寻找确定” 深化对概念或性质的考查；,例.如图6，请你填写一个适当的条件： ，使ADBC,3、构造“逆向型”的问题情景, 通过“充分与必要的对应及辨析” 深化对概念或性质的考查;,例如图8，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，所围成的四边形EFGH显然是平行四边形,(1)当四边形ABCD分别是菱形、矩形、等腰梯形时，相应的平行四边形EFGH一定是“菱形、矩形、正方形”中的哪一种？请将你的结论填入下表：,4、由“固定”引向“变动”，通过“分类研究” 深化对概念或性质的考查 复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC，P是ABC内

12、部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使QAP=BAC，连接 BQ、CP，则BQ=CP” 小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了ABQACP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明,二、强化相关知识的交汇与结合，更有效地实现对知识的综合运用能力、合情推理与演绎推理能力的考查,1、通过对基本图形识别或构造出基本图形（图形关系），考查知识运用能力和推理能力,例1如图15，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，

13、则AMN的周长为 ,（2）借助于“图形变换”构造计算型问题,例如图，ABE和ACD是ABC分别沿着AB，AC边翻折180形成的，若BAC=150，则的度数是 ,2、借助于“图形变换”构造新型问题，考查知识运用能力和推理能力,(1)借助于“图形变换”深入考查某些基本图形的性质,例3.如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O (1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外)，要求所连结的两条线段相交且互相垂直，并说明这两条线段互相垂直的理由；,(2)若正方形的边长为2cm，重叠部分(四边形 AEOD)的面积为 ， 求旋转的角度n,（3）借助

14、于“图形变换”构造判断和推理型问题 25（天津市中考试题） 已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N （）当扇形CEF绕点C在ACB的内部旋转时，如图，求证MN=AM+BN； 思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将ACM沿直线CE对折，得DCM，连DN，只需证DN=BN，就可以了,请你完成证明过程： （）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由,3、借助将图形置于坐标系中，构造新型问题，考查知识运用能力和推理能力 14

15、. 如图，在平面直角坐标系中，PQR是ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系.在这种变换下，如果ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它们的对应点N的坐标是 .,4.利用教科书上的原题，进行改编，使试题既不失去基础性，又增加了许多创新元素。,指导性命题意图举例： 试卷绝大多数试题都源于教科书，是教科书的例题或习题的类比、改造、延伸和拓展其目的在于引导教师重视课堂的有效性在教学过程中，如何让学生真正理解并掌握新知识，如何有效串联已有知识点把握问题的实质，例题习题功能的开发和拓展就是一个能起事半功倍作用的好方法引导广大教师教好教科书，学生学好教科

16、书，发挥教科书的扩张效应，同时减轻学生过重的课业负担，引导学生学会“做数学”，而不是目前很多学生和教师在“背数学”的现状，这些将有利于推进素质教育和数学课程改革的顺利实施,2、重视数学思想方法学习学习中能围绕一个数学核心内容设计思维含量由浅入深的问题串，问题不断拓展延伸，学生对问题认识的深度也在不断地递进，学生研究问题的方法也在逐步地熟悉与掌握学生通过比较研究获得一类问题的解决方法的共同特点即获得数学方法，当学生这种数学活动经验丰富到一定程度时转化为学生的一种思想观念学生也就领悟其数学思想,例：如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF45 ， （1）求证：EFBEFD；

17、 （2）若“ E、F分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”，试探索线段EF、BE、FD之间关系，并加以证明,试题改编： 1、(源于证明过程)如图,在四边形ABCD中,ABAD,BD90,E、F分别是BC、CD上的点,且EAF是BAD的一半,1）求证：EFBEFD；(2)若“ E、F分别是BC、CD上的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”,试探索线段EF、BE、FD之间关系,并加以证明,2、如图,在四边形ABCD中,ABAD,B+D180,E、F分别是BC、CD上的点,且EAF是BAD的一半,（1）求证：EFBEFD;(2)若“ E、F分别是BC、CD上

18、的点”改为“E、F分别是BC、CD延长线上的点 ”,试探索线段EF、BE、FD之间关系,并加以证明,3、如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD90，BAD 60，E、F分别是BC、CD上的点，且EAF30， 求证：EFBEFD. 4如图，在四边形ABCD中，ABAD1，BD90, BAD 120，E、F 分别是BC、CD上的点， 且EAF60， 求：CEF的周长.,5、如图，AC是正六边形外接圆的直径，EF=BE+DF，求EAF的度数 6、进一步推广为正偶数多边形,例：（1）如图，点D、E分别是正ABC边AC、CB延长线上的点，且CD=BE，DB延长线交AE于F，求AFB的度数； （2）若将

19、（1）中的正ABC变成正方形ABCM，其他条件不变，求AFB的度数（直接写答案）； （3）若将（1）中的正ABC变成正五边形ABCMN，其他条件不变，求AFB的度数（直接写答案）； （4）根据前面探索，你能否将问题推广到一般的正n边形情况若能，写出推广问题和结论；若不能，说明理由,试题改编：如图9-1、9-2、9-3、9-n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE 、正n边形ABCDE的边AB、BC上的点，且BM=CN,连结OM、ON. (1)求图9-1中MON的度数;(2)图9-2中MON的度数是_,图9-3中MON的度数是_;(3)试探究MON的度数与正n边

20、形边数n的关系(直接写出答案).,评析： 1、 本题由正三角形问题研究，进而扩展到正四边形、正五边形、以至后来更为一般的正多边边形的情况，问题不断拓展延伸，学生对问题认识的深度也在不断地递进，学生研究问题的方法也在逐步地熟悉与掌握这样的研究性问题的出现，无疑会正确引导中考命题改革，促进目前中学数学教学方式与学生学习方式的改革,3、关注数学活动过程的考查 数学活动过程中所表现出来的思维方式、思维水平，对活动对象、相关知识与方法的理解深度； 迁移活动过程中的思想方法，间接考查学生的数学活动过程； 能否通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性； 能否使用恰当的数学语言有条

21、理地表达自己的数学思考过程,例：如图1-1，P为RtABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），ABC=90，M为AB边中点 操作：以PA、PC为邻边作平行四边 形PADC，连结PM并 延长到点E，使 ME=PM，连结DE 探究：（1）请猜想 与线段DE有关的三个结论；,（2）请你利用图1-2，图1-3选择不同位置的点按上述方法操作； （3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图1-2或图1-3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分） （4）若将“RtABC”改为“任意ABC”，其他条件不变，利用图1-4操作，并写出与线

22、段DE有关的结论（直接写答案）,试题改编过程： 1、已知点O是等边三角形ABC所在平面上 的任意一点，连结OA并延长到E，使得AEOA. 以OB、OC为邻边作平行四边形OBFC，连接EF. 求证：（1）EFBC； （2）EF= BC.,2、已知点O是等腰直角三角形ABC（BC为斜边）所在平面上的任意一点，连结OA并延长到E，使得AEOA. 以OB、OC为邻边作平行四边形OBFC，连接EF. 求证：EFBC.EF=2BC,3、已知点O是直角三角形ABC（BC为斜边）所在平面上的任意一点，连接OA并延长到E，使得AEOA. 以OB、OC为邻边作平行四边形OBFC，连接EF. 求证： EF=BC,评

23、析： 本题体现了研究一个问题时比较全面的过程： 第一，对问题情景分析的基础上先形成猜想 第二，对猜想进行验证(或证明成立，或予以否定) 第三，在经过证明肯定了猜想之后，再做进一步的推广,第四，本题诣在让学生经历一个科学探究的全过程，人们要研究一个数学问题时常常要借助已有的数学知识和相应的数学活动经验对这个问题进行各种各样的猜测（因为数学数学建模的最高层次是借助知觉思维创造性的发现数学事实，正如物理学家、数学家牛顿说：“没有大胆的猜想，就没有伟大的创新”），这些猜测可能是正确的，也可能是错误的，,为了进一步探索与验证必须要做相关的数学实验和数学活动，伴随数学实验和数学活动经验的丰富与发展人们对这

24、些猜测又进行更新与否定，更新是新的发现，否定是在数学实验和数学活动中找到反例，经过反复实验你认为是正确的猜测必须进行证明，这样才能体现课程标准中的证明的必要性作为科学探究两个重要途径是扩充与反驳，只有在扩充与反驳的过程中才能推动科学的发展，伴随数学实验和数学活动我们可能获得新的发现，将问题加以推广，本题是上述想法的具体落实因此，本题的意义就不在于考查了相应的知识，更在于考查了活动过程，从而也进一步加强了学生对数学活动过程中的方法与策略的认识及运用,例13:操作：在ABC中，AC=BC=2，C=90，将一块 等腰直角三角板的直 角顶点放在斜边AB的 中点P处将三角板绕 点P旋转，三角板的 两直角

25、边分别交射线 AC，CB于D，E两点 图中的(1),(2),(3)是旋转 三角板得到的图形中的 其中3种,探究：(1)三角板绕点P旋转，观察线段 PD和PE之间有什么大小关系?它们的关系为 ，并以图(2)为例，加以证明 (2)三角板绕点P旋转，PBE是否能成为等腰三角形?若能，指出所有情况(即求出PBE为等腰三角形时的CE的长)；若不能，请说明理由 (3)若将三角板直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM:MB=1:3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间又有什么关系?请直接写出结论，不必证明(图(4)供操作、实验用)结论为： ,试题进一步探索与改编,1、ABC中，AC=BC，P是AB边的中点，

26、DPE+C=180， 求证：PD=PE,2、在RtABC中，P是AB边的中点，PDPE， 求证： ,3、在RtABC中，PB=2AP，AC=mBC ，PDPE，探索PE与PD之间的关系， 并说明原因,评析： 1、 本题通过三角板的旋转来构造问题，各问题的难度层次分明，逐级递进，可以引导学生逐步深人思考数学思维活动特征,2、学生在解决这一系列问题的过程中，可以表现出自己在从事观察、数学表达、猜想、证明等数学活动方面的能力数学思维活动能力发展特征,3、试题让学生经历一次数学研究活动，而且在活动中有意识引导学生获取并积累数学活动经验形成数学能力活动中获取经验（简单的数学方法），经验经过量的积累并进一

27、步升华形成能力（数学思想）,4、试题进一步改编与研究体现数学问题的产生特征“是借助于逻辑组合、一般化、特殊化，巧妙地对概念进行分析与综合，提出新的富有成果的问题” （希尔伯持 ）,4、关注学生个性化评价 刺激反映理论、信息加工理论,例14：如图13-1,操作:把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上(CGBC),取线段AE的中点M. 探究:线段MD、MF的关系,并加以证明. 说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步);(2)在你经历说明(1)的过程之后,可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件,完成你的证明

28、.,注意:选取完成证明得10分;选取完成证明得7分;选取完成证明得5分. DM的延长线交CE于点N,且ADNE; 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45(如图13-2),其他条件不变;在的条件下且CF2AD.,附加题： 将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后(如图13-3),其他条件不变.探究:线段MD、MF的关系,并加以证明.,试题改编与演变历程：,原题1：如图，在直角梯形ABCD中，M是CD的中点，连结MA、MB，求证：MAMB.,原题：如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME， 求证：MDME，且MDME.,一般化 四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF

29、的中点，连接MD、ME，求证：MDME，且MDME. 特殊化 如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，M是CF的中点，连接MD、ME，求证：MDME，且MDME.,评析： 一是遵循学生的认知过程因为学生在解决一个新问题时需要从各种不同的角度去实验探究，在反复实验的过程中，错误的反应逐渐减少正确反应逐渐增加，从而获得解答方法；另外，根据奥苏贝尔的认知同化学习理论，当学生同化新知准备不足时，为新知识得以顺利同化需向学生原有认知结构的“输入”找到一个“固着点”，使同化新知识得以顺利进行，这个“固着点”就是再给个条件既然学生是这样思考问题的，考试就应当设计这样的考试题只有如此，才能真正的考查学生的思

30、维过程，才能体现“以学生为本”的评价理念,二是遵循“以人为本”的评价理念，使得能力不同学生有其对应的行为表现，得到不同的评价因为有很多学生尽管也积极探索最终问题还是没有解决，这些没有解决问题的学生所表现的数学发展水平是不尽相同的，在传统试题设计上可能有很多学生，他们尽管探索水平不同，数学能力不同，但评价的结果相同，本题改变以往评价的弊端，改为要求学生写出探索过程，根据学生的探索水平的不同，给予相应的评价,三是引导学生主动学习，关注学生的情感体验因为主动学习的标志是学生能主动思考问题，用考试来引导学生主动思考问题的一个重要手段是根据学生的探索水平不同给予不同的评价，只要学生敢于探索并把探索过程写出来，就能得到一定的分数，因此学生必然积极探索并写出探索过程当一个学生能长期积极探索并写出探索过程时，学生的思维能力必然获得相应的发展,四是选项得分的不同能够培养学生正确的评价自我，找到适合自己的发展方向 五是本题创设了一种类似数学家活动的探究过程：如果你正在研究一个问题，获解了当然更好，当不获解时，也可以将正在研究的问题做某种变化证明它的一个特殊情况，或改变一下条件进行证明，如果能力许可，进而可以证明它的更一般的情况学生经过这个过程后，不仅完成了一个证明，更学到了一种研究问题的方法一个学生只有长期反复经历这种科学探究活动，才能学会科学探究，才能具有创新精神,谢谢大家， 再见,