《新题库--第二章 第04节： 二次函数与二次方程,二次不等式(2).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新题库--第二章 第04节： 二次函数与二次方程,二次不等式(2).doc（29页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、二次函数与二次方程，二次不等式题型1 解不等式的综合问题1已知集合A=x|1|x-2|2, B=x|(x-a)(x-1)0, a1，且AB，试确定a的取值范围解： A=x|1|x-2|2=x|0x1，或3x1时，B=x|1x3.（2）当a1时，B=x|ax1.AB, a3或am(x2+x+1)对任意xR恒成立，求a与m之间的关系解：原不等式可以整理为(a-m+1)x2+(a-m)x+(a-m)0，对于xR恒成立当a-m+1=0时，原不等式化为-x-10不恒成立，应舍去当a-m+10时，必须有(a-m)3(a-m+1)+10. am.3关于实数x的不等式(a-1)2与x2-3(a+1)+2(3a
2、+1)0（其中aR）的解集依次为A与B求使AB的a的取值范围解：由(a-1)2，得-(a-1)2x-(a+1)2(a-1)2.解得2axa2+1.A=x|2axa2+1, aR.由x2-3(a+1)x+2(3a+1)0，得(x-2)x-(3a+1)0.当3a+12，即a时，得B=x|2x3a+1； 当3a+12，即a时，得B=x|3a+1x2.（1）当a时，由AB，得解得1a3.（2）当a1，解关于x的不等式；。解：（1）将，得。（2）不等式即为，即当当.5已知不等式ax2+bx+c0的解为0x0的解集。解：因不等式ax2+bx+c0的解为0x，所以a0, =0，所以0, 0，又a0，所以c0
3、.由韦达定理x1+x2=；x1x2=. 方程cx2-bx+a=0的两根为。由0，。不等式的解集为x|-x0； （2）ax2-(a+1)x+10。当a2-a0，即a1或aa2或xa.；当a2-a0，即0a1时，原不等式的解为xa；当a2-a=0，即a=0或a=1时，原不等式的解为xa.（2）原不等式化为(ax-1)(x-1)1; 当0a1时，其解为1x1时，其解为x1； 当a=1时，无解；当a0，其解为x1.7解不等式56x2+ax-a20时，原不等式变形为56x20原不等式的解集是；当a-1时，=12m-4.故有：若3时，恒有(m+1)x2-4x+10，此时不等式无解；若=0，即m=3时，原不
4、等式变形为(2x-1)20，其解为：x=；若0，即-1m3时，不等式有解为：.（3）当m0恒成立，不等式有解：x，或x。综上所得，原不等式的解集如下：m=-1时，x|x；m-1时，x|x或x；-1m3时，。9解关于x的不等式组：解：原不等式组令a-1=-a, a+1=-a, a-1=-a+1, a+1=-a+1，得a=, a=-, a=1, a=0。A的四个取值将数轴分成五个区间，分别讨论解集如下：（1）当a-时，因a-1a+1-a-a+1，所以解集为；（2）当-a0时，因a-1-aa+1-a+1，所以解集为x|-axa+1；（3）当0a时，因a-1-a-a+1a+1，所以解集为x|-ax-a
5、+1；（4）当a1时，因-aa-1-a+1a+1，所以解集为x|a-1x1时，因-a-a+1a-1a+1，所以解集为。10解关于x的不等式：0（aR）解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2当a=a2时，a=0或a=1，x； 当aa2时，a1或a0，axa2，当aa2时，0a1，a2xa，当a0时axa2；当0a1时，a2xa；当a1时，axa2；当a=0或a=1时，x。11. 解关于x的不等式（其中）.解：，（由知），又由知：当时，则集合当时，原不等式解集A为空集；当时，则集合12设a0。解：原不等式可化为：。（1）当a=0时，原不等式可化为：0，即0, -2x0。（2）当0a1时，化
6、为：，此时-2-a, -2x。（3）当a0时，化为：。当a-时，有-2-a, x-2或x-a。当a=-时，化为：，x且x-2。当-a0时，-2-a，解得：x或-2x-a。综上所述，原不等式的解集：a-不等式的解集x|x-2或x-a；a=-，不等式的解集x|x且x-2；-a0时，不等式的解集x|x或-2x-a ；a=0时，不等式的解集x|-2x0；0a1时，不等式的解集x|-2x.13解关于的不等式解：当=0时，原不等式等价于解得当时，原不等式化为：当 当.当时，原不等式等价于则当当时，。当14当时，不等式恒成立，求a的取值范围.解：当当，不成立. 综上，为所求。15已知两个非零向量为，解关于的
7、不等式：。（其中）解：，由得。（1）当时，原不等式，；（2）当时，由于，而，于是有： 当，即时，原不等式，； 当，即时，原不等式，或。综上所得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为。16解关于x的不等式解：。 当0a1时：。当a=3时，x1，解关于x的不等式；。解：（1）将得。（2）不等式即为：，即当；当；.22. 设函数，其中为常数. （1）解不等式；（2）试推断函数是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，说明理由. 解：（1）由得， ，不等式的解集是 （2）内在增函数，内是减函数.23已知函数y=lg(a2-1)x2+(a+1)x+1的定义域为R，求实
8、数a的取值范围。解：由对数的定义及题设条件(a2-1)x2+(a+1)x+10 ，对xR恒成立。当a2-10时，应有 解之a。当a2-1=0时，若a=1，不等式不是绝对不等式；若a=-1，则不等式为10，为绝对不等式。符合题意的a的集合为(-, -1)(, +)。24. 若函数y=的定义域为R，求实数a的取值范围。解：依题意，当xR时，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立。（1）当a2-1=0，即当时有a=1，此时有(a2-1)x2+(a-1)x+=1 可知当xR时，(a2-1)x2+(a-1)x+0恒成立，a=-1（2）当a2-10，即当时，有解得10,当f(3)=9-3(m+1)+4=
9、0时，得m=,而当m=时，方程除了有根3外，还有一个根0，3，m=不合要求（3）只需f(3)=9-3(m+1)+4.综合（1）、（2）、（3），可得m的取值范围是m=3，或m.26已知集合P=, 2，函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q。（1）若PQ，求实数a的取值范围；（2）若方程log2(ax2-2x+2)=2在，2内有解，求实数a的取值范围。解：（1）PQ，则x，2，不等式ax2-2x+20有解，即a=-2+2。令t=，2，-2t2+2t=-2(t-)2+, t=2时，g(t)min=-4。a-4。（2）由题意知，ax2-2x+2=4。由，2上有解，则a=，令=t，得h(t)
10、=2(t+)2-，且t，2, h(t), 12, a, 12.27已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线经过点P(-2, 0)及线段AB的中点Q，求直线在y轴上的截距b的取值范围。解：由有两组解，且解中x0，消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0，有两个不同的负根，其充要条件是：。即k(-, -1)为b=f(k)的定义域。又过点P(-2, 0)，AB中点Q，在y轴上的截距b。得P(-2, 0)、Q()、M(0, b)三点共线b=f(k)=, k(-, -1)，即f(k)=(-, -2)(2+, +)。28方程x2+ax+a=0在(0, 1上有解，求a的
11、取值范围。解：设f(x)=x2+ax+a，（1）若f(x)=0在(0, 1上有两解，则有此不等式无解。（2）若f(x)=0在(0, 1上有且仅有一解，则有解之得-a0。综上所述得a的取值范围为-，0。方法二：x(0, 1, x=-1，原方程可变为a=。0x1, , 即0，a-。29设函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)x=0的两个根x1、x2满足0x1x2 (1)当x0，x1时，证明xf(x)x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明 x0 解 (1)令F(x)=f(x)x，x1，x2是方程f(x)x=0的根，F(x)=a(xx1)(xx2) 当x(0，x1)时
12、，x1x2，得(xx1)(xx2)0，又a0，得F(x)=a(xx1)(xx2)0，即xf(x)。x1f(x)=x1x+F(x)=x1x+a(x1x)(xx2)=(x1x)1+a(xx2)。0xx1x2，x1x0，1+a(xx2)=1+axax21ax20，x1f(x)0，由此得f(x)x。 (2)依题意 x0=，x1、x2是方程f(x)x=0的两根，即x1，x2是方程ax2+(b1)x+c=0的根，x1+x2=，x0=，ax21，x0 30设不等式x22ax+a+20的解集为，若1，4，求实数a的取值范围 解 设f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)。(1
13、)当0时，1a2，=1，4。(2)当=0时，a=1或2 当a=1时， =11，4；当a=2时，=21，4 (3)当0时，a1或a2 设方程f(x)=0的两根x1，x2，且x1x2，那么=x1，x2，1，41x1x24，即，解得 2a。 1，4时，a的取值范围是(1，)。31 已知对于自然数a，存在一个以a为首项系数的整系数二次三项式，它有两个小于1的正根，求证：a5证：设二次三项式为：f(x)=a(x-x)(x-x)，aN依题意知：0x1，0x1，且xx有f(0)0，f(1)0又f(x)=ax-a(x+x)x+axx为整系数二次三项式，f(0)=axx、f(1)=a(1-x)(1-x)为正整数
14、故f(0)1，f(1)1从而f(0)f(1)1 另一方面，且由xx知等号不同时成立，由、得，a16又aN，所以a532已知集合A=x|x2-5x+40与B=x|x2-2ax+a+20, aR满足BA，求a的取值范围解：根据题意有A=x|x2-5x+40=x|1x4.记f(x)=x2-2ax+a+2，它的图象是一条开口向上的抛物线（1）若B=，显然有BA，此时抛物线与x轴无交点故=4a2-4(a+2)0.-1a2.（2）若B，再设抛物线与x轴交点的横坐标为x1, x2且x1x2欲使BA，应有x1, x21, 4，观察图1-3-2便知，需 解得2a.综合（1）、（2）得a的取值范围是-10，即a0
15、，即a。于是，当a时，两个方程都有不同的实根。在a的条件下，方程的两个根是并且x1x2，方程的两个根是并且x3x4。要使一个方程的任意一个根不在另一个方程两个根之间，a的值应满足下列两组条件之一。或首先解x2x3的情形：即，即，两边平方，得16-16a+9-24a+8, 840a-24, 即5a-3. 当a时，5a-30，从而不等式无解。下面再解x43时，关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解。解：（1）由已知，设f1(x)=ax2，则f1(1)=1，得a=1，f1(x)=x2.设f2(x)=，它的图象与直线y=x的交点分别为A(),B(-,-)，由|AB|=8，得k=8,f2(x)=.故
16、f(x)=x2+。（2）f(x)=f(a),得x2+=a2+，即=-x2+a2+，在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)=-x2+a2+的大致图象，其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f3(x)的图象是以(0,a2+)为顶点，开口向下的抛物线。f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点，即f(x)=f(a)有一个负数解。又f2(2)=4,f3(2)=-4+a2+,当a3时，f3(2)-f2(2)=a2+-80，当a3时，f3(x)的图象在第一象限有两个交点，即f(x)=f(a)有两个正数解。方程 f(x)=f(a)有三个实数解。证法二：由f(x)=f(
17、a)，得x2+=a2+,即(x-a)(x+a-)=0，得方程的一个解x1=a，方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0,由a3,=a4+32a0，得：x2=,x3=,x20,x1x2,且x2x3，若x1=x3，即a=,则3a2=,a4=4a，得a=0或a=，这与a3矛盾，x1x3。故原方程f(x)=f(a)有三个实数解。35已知函数 （1）当且时，求证： （2）是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存在，则求出的值，若不存在，请说明理由. （3）若存在实，使得函数的定义域为时，值域为（），求的取值范围.解：（1） 在（0，1）上为减函数，在上是增函数.由，且，可得和 即故，即（2）不存
18、在满足条件的实数a，b.若存在满足条件的实数a，b，使得函数的定义域、值域都是a，b，则当时，在（0，1）上为减函数.故 即 解得a=b. 故此时不存在适合条件的实数a，b. 当时，在上是增函数.故 即 此时a，b是方程的根，此方程无实根.故此时不存在适合条件的实数a，b。当时，而，故不存在适合条件的实数a，b. 综上可知，不存在适合条件的实数a，b. （3）若存在实数，使得函数的定义域为a，b时，值域为ma，mb.则 当时，由于在（0，1）上是减函数，值域为ma，mb， 即 此时a、b异号，不合题意.所以a，b不存在.当或时，由（2）知0在值域内，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在，故
19、只有在上是增函数， 即，a，b是方程的两个根.即关于x的方程有两个大于1的实根.设这两个根为 则 即 解得故m的取值范围是36已知二次函数 （1）对于求证：方程有不等的两实根，且必有一个实根属于； （2）若方程内的根为m，且成等差数列，设的对称轴方程，求证：。解：由，得，故此方程的判别式，即方程有两不等实根.令是二次函数，由的根必有一个属于 （2）由题设，得，即有成等差数列，即故，故.37已知，当时，恒成立，求a的取值范围. 解：，此二次函数图象的对称轴为.当时，结合图象知，上单调递增，要使恒成立，只需，当综上所述，所求的取值范围为方法二：由变形得当即式为恒成立，此时；当，式为恒成立，其中即恒
20、成立，这样就转化到了求时函数的最小值问题，可得当，即式为恒成立，即恒成立.其中，这样就转化到了求的函数的最大值的问题，可得.综合以上知，.方法三： 由已知在。上恒成立，即 或，解得。38 设函数f(x)定义在R上，对任意m、n恒有f(m+n)=f(m)f(n)，且当x0时，0f(x)1 (1)求证 f(0)=1，且当x0时，f(x)1；(2)求证 f(x)在R上单调递减；(3)设集合A= (x，y)|f(x2)f(y2)f(1)，集合B=(x，y)|f(axg+2)=1，aR，若AB=，求a的取值范围 解 (1) 令m0，n=0得 f(m)=f(m)f(0) f(m)0，f(0)=1。取m=m
21、，n=m，(m0)得：f(0)=f(m)f(m)，f(m)=。m0，m0，0f(m)1，f(m)1。(2)任取x1，x2R，则f(x1)f(x2)=f(x1)f(x2x1)+x1=f(x1)f(x2x1)f(x1)=f(x1)1f(x2x1)。f(x1)0，1f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，函数f(x)在R上为单调减函数。 (3)由，由题意此不等式组无解，数形结合得 1，解得a23。a，。39 已知函数f(x)= (b0)的值域是1，3。(1)求b、c的值；(2)判断函数F(x)=lgf(x)，当x1，1时的单调性，并证明你的结论；(3)若tR，求证 lgF(|t|t+|)lg 解 (
22、1) 设y=，则(y2)x2bx+yc=0 xR，的判别式0，即 b24(y2)(yc)0，即4y24(2+c)y+8c+b20， 由条件知，不等式的解集是1，3，1，3是方程4y24(2+c)y+8c+b2=0的两根，c=2，b=2，b=2(舍）。(2)任取x1，x21，1，且x2x1，则x2x10，且(x2x1)(1x1x2)0，f(x2)f(x1)=0，f(x2)f(x1)，lgf(x2)lgf(x1)，即F(x2)F(x1)，F(x)为增函数。即u，根据F(x)的单调性知：F()F(u)F()，lgF(|t|t+|)lg对任意实数t 成立。40已知f(x)是定义在1，1上的奇函数，且f
23、(1)=1，若m、n1，1，m+n0时0 (1)用定义证明f(x)在1，1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1，1，a1，1恒成立，求实数t的取值范围 解 (1)任取x1x2，且x1，x21，1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)。1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在1，1上为增函数 (2) f(x)在1，1上为增函数， 解得 x|x1。(3)由(1)可知f(x)在1，1上为增函数，且f(1)=1，对x1，1，恒有f(x)1，要f(x)t22at+1对所有x1，
24、1，a1，1恒成立，即t22at+11成立，故t22at0。记g(a)=t22at，对a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 41 设f(x)=ax2+bx+c，若f(1)=，问是否存在a、b、cR，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论 解 由f(1)=，得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x =1，由f(x)2x2+2x+推得f(1) 由f(x)x2+推得f(1)，f(1)=，ab+c=，故2(a+c)=5，a+c=且b=1，f(x)=ax
25、2+x+(a) 依题意 ax2+x+(a)x2+对一切xR成立，a1且=14(a1)(2a)0，得(2a3)20，f(x)=x2+x+1。易验证 x2+x+12x2+2x+对xR都成立 存在实数a=，b=1，c=1，使得不等式 x2+f(x)2x2+2x+对一切xR都成立 42 已知函数f(x)=x2+px+q，对于任意R，有f(sin)0，且f(sin+2)2 (1)求p、q之间的关系式；(2)求p的取值范围；(3)如果f(sin+2)的最大值是14，求p的值 并求此时f(sin)的最小值 解 (1)1sin1，1sin+23，即当x1，1时，f(x)0；当x1，3时，f(x)0，当x=1时
26、，f(x)=0 1+p+q=0，q=(1+p)。(2)f(x)=x2+px(1+p)，当sin=1时，f(1)0，1p1p0，p0(3)注意到f(x)在1，3上递增，x=3时，f(x)有最大值 即9+3p+q=14，9+3p1p=14，p=3 此时，f(x)=x2+3x4，即求x1，1时f(x)的最小值 又f(x)=(x+)2，显然此函数在1，1上递增 当x=1时f(x)有最小值：f(1)=134=6 43 设函数f(x)=ax满足条件 当x(，0)时，f(x)1；当x(0，1时，不等式f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，求实数m的取值范围 解 由已知得0a1，由f(3mx1)
27、f(1+mxx2)f(m+2)，x(0，1恒成立 在x(0，1恒成立 整理，当x(0，1)时，恒成立，即当x(0，1时，恒成立，且x=1时，恒成立，在x(0，1上为减函数，1，m恒成立m0 ，在x(0，1上是减函数，1 m恒成立m1当x(0，1)时，恒成立m(1，0) 当x=1时，即是m0 、两式求交集m(1，0）,使x(0，1时，f(3mx1)f(1+mxx2)f(m+2)恒成立，即m的取值范围是(1，0)44若1x2，不等式ax2-2ax-10恒成立，求实数a的取值范围。解：方法一：（从函数图象与不等式解集入手，不等式在(1, 2上恒成立，即f(x)=ax2-2ax-1的图象在x(1, 2
28、恒在x轴下方。)当a=0时，不等式变为-10时，只需可得a0。当a0时，只需f(1)0，即0a-1. 综上可得a-1.解法二：（因不等式恒成立，所以不等式对应的函数在(1, 2上的最大值恒小于0，从而转化为二次函数在闭区间上的最值问题。)设f(x)=ax2-2ax+1，当a=0时，f(x)=-1，满足不等式f(x)0时，f(x)对称轴为x=1，结合二次函数图象，(1, 2为f(x)的增区间，f(x)max=f(2)=-10成立；当a0时，f(x)对称轴为x=1，区间(1, 2为f(x)的减区间。f(x)max=f(1)=-a-10. a-1,-1a0且0，即有ac. 故c0.由、得a+c22，
29、则a=c=，故a=c=, b=.（3）由（2）可得g(x)=f(x)-mx=x2+(-m)x+=x2+(2-4)x+1，又x-1, 1时，函数g(x)是单调的，所以|-|1，解之，有m0或m1. 故m的取值范围是m0或m1.原不等式解集为：x|-5x0, f(x)在a, b上为减函数，则，即，两式相减，得(a-b)(a+b)+4(b-a)=0。ab, 。（2）b0, f(x)在a, b上为增函数，解得，又b0,b=-2-，且ab故无解。（3）时，则，。（4）若，与a0矛盾。综合得，或。49. 已知函数的定义域为R，值域为0，2，求m，n的值。解：函数的定义域为R,说明中,x可以取任意实数,设.
30、方程中的设,即时,有,即有.又的值域为0,2，关于的方程的两根为1和9.，解得.下面检验当时是否成立：若，即,.此时,而.时，也成立。综上可知:.50. 已知函数的定义域为R. （1）求实数m有取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为f(m)，求函数f(m)的值域。解：（1）当时，定义域为R. 当时，定义域为R，应满足，解得，。（2）当时，；当时，。51. 若关于x的方程(2-2-|x-3|)2=3+a有实数根，求实数a的取值范围。解：从函数的观点看，原题可转化为求函数a=(2-2-|x-3|)2-3(xR)的值域。令t=2-|x-3|，则0t1。a=f(t)=(t-2)2-3在区间(0,
31、1上是递减函数。f(1)f(t)f(0). 即-2f(t)1。故所求实数a的取值范围是-2a1.52已知二次函数f(x)=ax2+bx满足f(1+x)=f(1-x)，方程f(x)=x有两个相等的实根。（1）求f(x)的解析式；（2）若函数f(x)在定义域为m, n上对应的值域为2m, 2n，求m, n的值。解：（1）f(x)=ax2+bx, f(1-x)=f(1+x). 则f(x)的对称轴为-=1。又f(x)=x即ax2+(b-1)x=0有等根，则(b-1)2=0, b=1, a=-, f(x)=- x2+x.（2）f(x)=-x2+x=-(x-1)2+, f(x)的最大值为。又f(x)在xm
32、, n上的最大值为2n, 则2n, n。f(x)在m, n上为增函数，得,m, n是f(x)=2x的两个不等实根。-x2+x=2x. x2+2x=0, x1=-2, x2=0. m=-2, n=0.53. 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(x23)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值 解 由且x0,故0x,又f(x)是奇函数，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,综上得2x,即A=x|2x,B=Ax|1x=x|1x,又g(x)=3x2+3x4=3(x)2知g(x)在B上为减函数，g(x)max=g(1)=4 54已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)x22x ()求函数g(x)的解析式； ()解不等式g(x)f(x)|x1|； ()若h(x)g(x)f(x)1在1，1上是增函数，求实数的取值范围解：