信号与系统第3章傅里叶变换.ppt

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1、第三章 傅里叶变换,3.1 引言 3.2 周期信号的傅里叶级数分析 3.3 典型周期信号的傅里叶级数 3.4 傅里叶变换 3.5 典型非周期信号的傅里叶变换 3.6 冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 3.7 傅里叶变换的基本性质 3.8 卷积特性（卷积定理） 3.9 周期信号的傅里叶变换 3.10 抽样信号的傅里叶变换 3.11 抽样定理,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析理论”中,傅里叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为成谐波关系的正弦信号的加权”傅里叶

2、的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,频域分析,从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。,3.1 引言,发展历史,1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理

3、论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。,主要内容,本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，

4、初步掌握傅里叶分析方法的应用。 对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。 本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。,*本章要点,1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义,1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,2.从系统分析角度 已知单频正弦

5、信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,3.2 周期信号的傅里叶级数分析,三角函数形式的傅里叶级数 指数形式的傅里叶级数 两种傅里叶级数的关系 频谱图 函数的对称性与傅里叶级数的关系 周期信号的功率,一三角函数形式的傅里叶级数,1.正交三角函数集,三角函数系 在区间-,上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函数的乘积在区间的积分等于零，即,在满足狄氏条件时，可展成,直流分量,余弦分量的幅度,正弦分量的幅度,称为三角形式的傅里叶级数，其系数,2级数形式,其中n1,2,3,。,狄利克雷（Dirichlet）条

6、件,条件3: 在一周期内，信号绝对可积，,条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。,条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。,通常我们遇到的周期性信号都能满足狄利克雷条件，因此，以后除非特别情况，一般不再考虑这一条件。,例1,不满足条件1的例子如右图所示，这个信号的周期为8，它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。,例2,不满足条件2的一个函数是,对此函数，其周期为1，有,在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期),说明,与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都是有限值

7、因为,例3,周期信号 ， 周期为1，不满足此条件。,周期单位冲激序列的频谱,分析：狄氏条件是傅里叶级数存在的充分条件。根据冲激信号的定义和特性，其积分有确定值，傅里叶级数存在。即,满足离散性，谐波性，不满足收敛性，频带无限宽。,例3-2-1,求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。,周期锯齿波的傅里叶级数展开式为,直流,基波,谐波,其他形式,余弦形式,正弦形式,将式（1）中同频率项加以合并，可以写成另外两种形式：,可画出频谱图,周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。,幅度频率特性和相位频率特性,二指数形式的傅里叶级数,根据欧拉公式：,代入得：,令,关于n的偶函数,关于n的奇函数,因此

8、,代入得：,令,因为：,所以,说明,式（4）即f(t)的指数形式傅里叶级数，其系数F(n1)简写成Fn，由式（5）计算，其中n为从到的整数。,三两种系数之间的关系及频谱图,相频特性,幅频特性和相频特性,幅频特性,频谱图,幅度频谱,相位频谱,离散谱，谱线,请画出其幅度谱和相位谱。,例3-2-2,化为余弦形式,三角函数形式的频谱图,三角函数形式的傅里叶级数的谱系数,化为指数形式,整理,指数形式的傅里叶级数的系数,谱线,指数形式的频谱图,三角形式与指数形式的频谱图对比,三角函数形式的频谱图,指数形式的频谱图,三角级数谱与复指数谱的比较,1）复指数谱为双边谱，级数谱为单边谱,2）两种谱中，直流分量相等

9、,3）交流分量中，c0= A0， cn= An/2。双边谱 对折后相加幅度等于单边谱。,4）两种谱的相位相同,体现能量守恒,四总结,（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式,（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质,（2）两种频谱图的关系,（4）引入负频率,(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式,三角形式,指数形式,其中：,其中：,(2)两种频谱图的关系,单边频谱,双边频谱,关系,(3)三个性质,(4)引入负频率,1偶函数（关于t的偶函数）,信号波形相对于纵轴是对称的,五函数的对称性与傅里叶级数的关系,2奇函数（关于t的奇函数）,函数对称性与傅里叶系数的关系详细见教材P98表3-1,六

10、周期信号的功率,周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量有效值的平方和；也就是说，时域和频域的能量是守恒的。,证明,对于三角函数形式的傅里叶级数,平均功率,对于指数形式的傅里叶级数,总平均功率=各次谐波的平均功率之和,sin（）sincoscossin sin（）sincoscossin cos（）coscossinsin cos（）coscossinsin,三角函数公式,本节以周期矩形脉冲信号为例进行分析 主要讨论：频谱的特点，频谱结构， 频带宽度，能量分布。 其他信号: 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波余弦信号 周期全波余弦信号请自学。,3.3 典型周期信号的傅里叶级数,频谱

11、结构,三角函数形式的谱系数 指数函数形式的谱系数 频谱特点,1三角形式的谱系数,化为抽样函数,2指数形式的谱系数,3频谱及其特点,(3)包络线形状：抽样函数,(1)离散谱（谐波性）,4总结,说明,频谱分析表明,这是一个离散频谱，谱线间隔为基波角频率1，因为1=2/T1，谱线间隔将取决于T1，脉冲周期越大，谱线越密。 各谱线的高度正比于信号在一个周期内的平均值，即E/T1，其中E正是脉冲的面积。也即各分量的大小与脉冲幅度成正比，与脉冲宽度成正比，与周期成反比。 各谱线的幅度按 包络线变化。过零点为： 主要能量集中在零频和包络线第一次过零点对应的频率之间内。在允许一定失真的条件下，传输信号往往只输

12、送 (2/)范围内的各频率分量，所以常常把这段频率范围称为频带宽度，用Bf或B表示，则 谱线的密度取决于T1与之比，即 前面频谱图是按(T1/)5绘制的。,一傅里叶变换,：周期信号,非周期信号,连续谱，幅度无限小；,离散谱,1. 引出,0,再用 表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数，来表示非周期信号的频谱。,0,图例,3.4 傅里叶变换,（1） T,（2）2T,（3） 4T,（1） T,（2）2T,（3） 4T,（1）,频谱密度函数 简称频谱函数,左边：,w,频谱密度：单位频带上的频谱值,频谱密度函数的表示（傅里叶变换）,傅里叶变换的奇偶虚实性分析（教

13、材P123126）,由傅里叶变换的定义,F()的一般形式可以写作 F()R()+j X() 或 由欧拉公式，有 当f(t) 是实函数时，则 通过对以上各式分析可知：,当f(t)是实函数时， R()是的偶函数，而X()是的奇函数，且此时F()与F()互为共轭复数。即F()F * ()。 当f(t)是虚函数时， R()是的奇函数，而X()是的偶函数，且此时F()与F()互为共轭复数。 无论f(t)是实函数还是虚函数， 始终是的偶函数，而 始终是的奇函数。 当f(t)是实偶（奇）函数时，其傅里叶变换为实偶（虚奇）函数。,2逆变换,由复指数形式的傅里叶级数,3傅里叶变换对,4. 非周期信号频谱的特点,

14、【结论】 非周期信号也可以进行正交变换； 非周期信号完备正交函数集是一个无限密集的连续函数集； 非周期信号的频谱是连续的； 非周期信号可以用其自身的积分表示。 非周期实信号是频率为无限密集、振幅为无穷小的余弦分量的线性组合频谱密度函数,欧拉公式,二傅里叶变换的表示,实部,虚部,实部,虚部,模,相位,实信号 偶分量 奇分量,三傅里叶变换的物理意义,实函数,三角形式 表达式,欧拉公式,偶奇奇：积分后(偶)0,偶 偶 偶：积分(奇）,求和 振幅 余弦信号,解释,四傅里叶变换存在的条件,所有能量信号均满足此条件。,一矩形脉冲信号,幅度频谱：,相位频谱：,抽样信号,3.5 典型非周期信号的傅里叶变换,频

15、谱图,幅度频谱,相位频谱,频宽：,最大值矩形窗面积 E；零点坐标2n窗宽； 频宽(第一零点)2窗宽；,信号表达式： 幅频 相频,二单边指数信号,三双边指数信号,四. 单位冲激信号,单位冲激信号的频谱是一个均匀频谱。同理可证 (t)是时域中变化最剧烈的函数之一，而其频谱却是频域最均匀的。,比较,冲激函数的傅里叶逆变换,五冲激偶,六. 常数信号,常数信号不满足绝对可积的条件，由于 所以 因为(t)是偶函数，上式可改写成 交换与t后可得 对于一般常数k，有 常数是时域中最均匀的函数，但其频谱却是一个在频域中只在0处存在的冲激谱，这一点与我们的直觉完全一致，常数只对应一个直流分量。,通过对(t)和常数

16、的频谱分析，可以看出：在时域中信号变化越尖锐，其频域对应的高频分量就越丰富；反之，信号在时域中变化越缓慢，其频域对应的低频分量就越多。,符号函数不满足绝对可积的条件，但它可以通过极限写成 故其傅里叶变换为,七. 符号函数,单位阶跃信号不满足绝对可积的条件，但它可以表示为下面形式 因为 以及 因此 由于单位阶跃信号在 t0处有一突变，故其频谱 一直延伸到无穷远。,八. 单位阶跃信号,上一节回顾：周期信号频谱的特点,离散性：谱线不连续 谐波性：谱线只出现在基频的整数倍处 收敛性：幅频特性幅度随谐波数增大而逐渐减小 周期信号由无穷多个余弦分量组成 周期信号幅频谱线的大小表示谐波分量的幅值 相频谱线大

17、小表示谐波分量的相位,非周期信号频谱的特点,非周期信号的频谱是连续的； 非周期信号可以用其自身的积分表示； 非周期实信号是频率为无限密集、振幅为无穷小的余弦分量的线性组合频谱密度函数,求和 振幅 余弦信号,周期矩形脉冲信号频谱,周期矩形脉冲信号的频谱是单脉冲频谱的采样; 采样周期=2/T0;幅度不同系数1/T0.,矩形脉冲信号的频谱,意义,傅里叶变换具有惟一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：,了解特性的内在联系； 用性质求F()； 了解在通信系统领域中的应用。,3.7 傅里叶变换的基本性质,教材P142-143表3-2,对称性

18、质表明了时域与频域函数之间的对应关系，如矩形时间脉冲的频谱是抽样函数，则抽样时间函数的频谱一定是矩形脉冲。,一对称性,1性质,2 意义,若 则,证明 由傅里叶反变换的定义 可得 调换上式中两个变量，则 即 如果f(t)是一个偶函数，则,对称性,例3-7-1,例3-7-2,对称性,二线性性（叠加性）,1性质,3例3-7-3,相加信号的频谱=各单独信号的频谱和，傅里叶变换是线性变换，满足叠加定理。,2含义,线性性质应用十分广泛，形式也易于接受。该性质可由傅里叶变换定义直接证明。,三奇偶虚实性,在3.4的“傅里叶变换的表示”中曾介绍过。,1、f(t)是实函数 实函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱分别为偶

19、、奇函数,若f(t)是实偶函数，F()必为的实偶函数,若f(t)是实奇函数，F()必为的虚奇函数,2、 f(t)是虚函数,虚函数傅里叶变换的幅度谱和相位谱仍为偶、奇函数，但实部R()为奇函数，虚部 X()为偶函数。,令,实部,虚部,由定义,证明：,可以得到,任意 f(t)，都具有如下性质,u = -t,奇偶虚实性证明,设f(t)是实函数（为虚函数或复函数情况相似，略）,显然,四尺度变换性质,因为：,令：,当：a 0 时，t =,当：a 0 时，t = ,(1) 0a1 时域扩展，频带压缩。,脉冲持续时间增加a倍，变化慢了，信号在频域的频带压缩a倍。高频分量减少，幅度上升a倍。,意义,(1) 0

20、a1 时域扩展，频带压缩。,(2) a1 时域压缩，频域扩展a倍。,持续时间短，变化快。信号在频域高频分量增加，频带展宽，各分量的幅度下降a倍，相应频谱密度下降了。 此例说明：信号的持续时间与信号占有频带成反比,（2）a1 时域压缩，频域扩展a倍。,式(1)(2)分别说明f(t)与F()所覆盖的面积等于F()与2f(t)在零点的数值F(0)与2f(0)。如果F(0)与f(0)各自等于F()与f(t)曲线的最大值，如上图所示，这时定义和B分别为f(t)和F()的等效宽度，可写出以下关系式：,等效脉冲宽度与等效频带宽度,信号的等效脉冲宽度与占有的等效带宽成反比，若要压缩信号的持续时间，则不得不以展

21、宽频带作代价。所以在通信系统中，通信速度和占用频带宽度是一对矛盾。,五时移特性,时移性+尺度变换,该性质说明：信号在时域中时移，由于其波形不改变，其幅度谱不变，只影响相位谱。这与时域中信号平移将伴随相位变化概念完全一致。即信号在时域中的时移对应频谱函数在频域中产生的附加相移。,时移加尺度变换证明,例3-7-4（教材P130例32）,求图(a)所示三脉冲信号的频谱。,解：,因为,.,已知双Sa信号,试求其频谱。,令,例3-7-5（教材P130例33）,已知,由时移特性得到,从而可以得到幅度谱为,当,双Sa信号的波形和频谱如图（d） （e）所示。,例3-7-6（时移+尺度变换）,方法一：先尺度变换

22、再时移,方法二：先时移再尺度变换,2证明,1性质,六频移特性,该性质说明：信号在时域中乘以 ，对应其频谱右移 0 即信号在时域的相移对应频谱函数在频域的频移。 频移在信号传输中具有重要的地位，高频载波信号被调制信号调制后，其包络线具有调制信号的信息，这样低频信号就可以通过高频信号传输出去。在无线电通讯和广播技术中，低频信号的发射效率甚低，必须采用调制技术才能把信息有效地发送出去。在接收端，再通过解调或检波方法恢复调制信号，这里载波信号仅起运载作用。,3说明,已知矩形调幅信号,解：,因为,例3-7-7（教材P133例34）,频谱图,1时域微分,七微分性质,利用时域微分特性，可以很方便地求解由线段

23、组合而形成的信号的傅里叶变换，但需注意，如果通过信号的导数的傅里叶变换求原信号的傅里叶变换，因为常数求导后变为零，这将导致其逆运算中失掉一表示直流分量的冲激量，因此信号的平均值不为零时不能利用微分变换求原傅里叶变换应用接下来要介绍的积分性质进行求解。但当信号的平均值为零时，利用微分性质也可以求原傅里叶变换。,时域微分性质证明,证明 由定义 上式两边分别对t求导 根据傅里叶变换的定义得 如果重复进行求导，上述结论可推广到,例如,求三角函数的频谱密度函数,例3-7-8,分析,例3-7-9 求冲激偶函数的傅里叶变换。 解 由于 而 根据微分性质必有 例3-7-10 设信号的波形如上图所示，试用微分性

24、质求其傅里叶变换。 解,根据时移性质可得 再根据微分性质得,必须注意：计算过程中函数式中应包含定义域在内，这样在函数突变处才不至于产生漏项。,如果信号是由线段组合而成，则最多求二阶导数必定只存在冲激函数（有时含冲激偶函数），这两种函数的傅里叶变换都是已知的，再根据微分性质就可求得其傅里叶变换。,2频域微分性质,或,推广,证明 由定义 即,例3-7-11,解：,例3-7-12,解：,当信号的平均值不等于零时，即F(0)0，这意味着信号含有直流成分，上式中含有冲激项 ；否则上式中将不含冲激项。 证明 因为 根据时域卷积性质 即,若 则,八积分性质,1时域积分性质,2频域积分性质（应用较少）,时域积

25、分性质证明,变上限积分用带时移的单位阶跃的无限积分表示，成为,交换积分顺序 ，即先求时移的单位阶跃信号的傅里叶变换,例3-7-13,解：,例3-7-14 已知 ，利用积分性质求单位阶跃函数的傅里叶变换。 解 当t0时存在 由于 ，由积分性质可得 由于F(j)=FT(t)=1，则F(0)=1，故 由于u(t)的平均值不为零，直接通过微分性质求解是不合理的。因为如果采用微分性质求解，则 设F(j)是u(t)的傅里叶变换，由微分性质 则 显然该结果丢了表示平均值的项，丢了表示直流分量的冲激量。,九、卷积特性（卷积定理）,若 则,证明 （1）时域卷积性质：由 令vt ,则dv=dt ,代入上式可得,（

26、2）频域卷积性质：由 卷积特性说明：傅里叶变换可以将时域的卷积运算转换成频域中的乘法运算；也可以将时域的乘法运算转换成频域中的卷积运算。由于时域卷积是求解系统零状态响应的重要手段，因此，时域卷积性质为分析这种响应的频谱提供了方便。,卷积定理的应用,用时域卷积定理求频谱密度函数。,例3-7-15,例3-7-16 （教材P141例3-9）已知,利用卷积定理求三角脉冲的频谱。,可以把三角脉冲f (t)看作两个同样的矩形脉冲G(t)的卷积。,根据卷积的定义可以得出,矩形脉冲的宽度为,矩形脉冲的幅度为E1,则有,矩形脉冲的频谱,根据时域卷积定理,例3-7-18 （教材P140例3-8） 已知,利用卷积定

27、理求f(t)的频谱。,把余弦脉冲f (t)看作矩形脉冲G(t)与无穷长余弦函数 的乘积，其表达式为,根据卷积定理可以得到,化简后得到f(t)的频谱为,可以求得,周期信号：,非周期信号：,周期信号的傅里叶变换如何求？ 与傅里叶级数的关系？,引言,3.9 周期信号的傅里叶变换,周期信号可以用傅里叶级数表示，其频域特性已十分清晰，为什么还要研究其傅里叶变换呢？首先周期信号存在傅里叶变换，并代表其频谱密度；另外，周期信号与非周期信号不可避免地会同时存在于同一系统之中，分析二者相互作用的频域特性只能用傅里叶变换。,设周期信号的周期为T1，则基波角频率1=2/T1，其傅里叶级数展开式为 两边同时取傅里叶变

28、换得 由频移性质和常数 ，可得 上式即为周期信号的傅里叶变换公式。式中，Fn就是傅里叶级数的系数，即 显然这是一个离散的冲激谱。由于傅里叶级数只是在整数倍基波频率处存在谐波，其频谱密度必然在谐波存在点趋于无限值。,几点认识,确定周期信号的频谱的关键就是确定Fn。直接通过积分计算是一种办法，但有时这一过程很繁。在工程实际中，常采用下面两种方法：一种方法是通过已知的傅里叶级数确定Fn；另一种途径是利用所谓时限信号的傅里叶变换，通过简单的变换获得。下面来说明后一种方法的变换过程。 如果以f0(t)表示周期函数f(t)的一个周期，即 则 由于 上式与Fn相比较，不难得出,上式不仅说明了如何通过F0()

29、确定Fn(n1)，而且说明了当时限信号延拓成周期信号时，周期信号的频谱密度的包络线与F0()的形状完全相似，仅仅是幅度相差一个比例常数1/T1。,如何由 求,比较式(1),(2),如何由 求,傅立叶变换,周期脉冲的傅立叶级数系数,周期脉冲的傅立叶变换,一、正弦函数与余弦函数,将正弦函数和余弦函数表示为 由于 再根据频移性质得 由上面二式可见，正弦及余弦函数的频谱密度只在0处不为零，这说明正弦或余弦函数只存在一个频率。,二、周期矩形脉冲信号,周期矩形脉冲信号在采样电路中十分重要，现在从周期延拓的概念来推导其傅里叶变换。设f0(t)如下图所示，而f(t)以T1为周期，由f0(t)延拓而成。由前面知

30、识有 而 则,F0() ，Fn(n1)和F()的图形见图3-9-1。由图可见：时限函数f0(t)的频谱是一个连续谱，周期信号f(t)用傅里叶级数表示的频谱是一个离散谱，而其频谱密度则是一个离散的冲激谱。但连续谱和离散谱的包络线是相似的。,三、单位冲激序列,冲激序列之所以归结于连续时间信号，这是因为可以定义在n不是整数时的值为零，并可以通过时域积分求其积分值。但是，冲激序列还是一个序列，又具有离散时间信号的特点，这是一个十分特殊的信号。当周期矩形脉冲信号的脉冲宽度甚小时，通常用冲激序列来理想化，以简化分析计算过程。,单位冲激序列的表达式是 ，这是一个以T为周期的冲激序列。 它可以看做由(t)延拓

31、而成，由 则 所以 或写为 T(t)对应的傅里叶级数为,图3-9-2给出了T(t)及其频谱。,图3-9-2 冲激序列及其频谱,例3-9-1 求图3-9-3(a)所示信号的傅里叶变换。 解 根据时移性质可得 再根据微分性质得,因为1=2/T1=/ 2，所以 又 F()的图形如图3-9-3(b)所示。,例3-9-2 若f1(t)的频谱如图3-9-4(a)所示，f2(t)=cos t，试求 y(t) =f1(t) . f2(t)的频谱。 解 由 有 根据频域卷积性质 Y()的图形如图3-9-4(b)所示。,抽样 脉冲序列,抽样原理图：,一时域抽样,从连续信号到离散信号的桥梁，也是对信号进行数字处理的

32、第一个环节。 所谓“抽样”就是利用抽样脉冲序列 从连续信号 中抽取一系列离散样值，这种离散信号通常叫做抽样信号，以fs(t)表示,3.10 抽样信号的傅里叶变换,抽样信号,数字信号,连续信号,连续信号,抽样过程满足：,根据频域卷积定理,连续信号,抽样脉冲序列,抽样信号,若采用均匀抽样，抽样周期为Ts，抽样频率为：,信号在时域被抽样后，其频谱Fs()是连续信号频谱F()的形状以抽样频率s为间隔周期地重复而得到的，在重复的过程中幅度被p(t)的傅里叶系数Pn所加权。因为Pn只是n的（）而不是的函数，所以F()在重复的过程中不会使形状发生变化。而加权系数Pn取决于抽样脉冲序列的形状。,1抽样信号,二

33、矩形脉冲抽样,E,关系,限带信号,频谱结构,三理想抽样（周期单位冲激抽样）,冲激抽样信号的频谱,例3-10-1 大致画出周期矩形信号冲激抽样后信号的频谱。,解：,矩形单脉冲 f0(t) 的傅里叶变换为,若 f0(t) 以T1为周期进行重复便构成周期信号f1(t),根据频域抽样特性可知， f1(t) 的傅里叶变换F1()是由F0()经过间隔为1（2/T1）冲激抽样得到。,若f1(t)被间隔为Ts的冲激序列所抽样，便构成周期矩形抽样信号f s(t)，即,根据时域抽样特性可知 fs(t) 的傅里叶变换Fs()是由F1() 以s（2/Ts)为间隔重复而得到。,f1(t),f1(t),t,o,L,L,E

34、,四、频域抽样,如果已知频域中连续频谱F()对应的时间函数f(t)，若F()在频域中被冲激序列1()所抽样，则称之为频域抽样。 频域冲激序列的表达式为 式中1表示频域抽样脉冲的角频率间隔。频域抽样后的频谱为 而频域冲激序列频谱1()对应的时域信号为 式中T12/1。,根据卷积性质，抽样后的频域函数对应的时域信号为 离散的频域频谱对应于周期的时域信号。,频域抽样后的时间函数,周期信号和抽样信号的特性,一、时域抽样定理,3.11 抽样定理,抽样定理在信号传输与信号处理中占有十分重要的地位，因为它回答了在什么情况下原信号与抽样信号才具有一一对应的关系。 时域抽样定理的内容是：一个频谱受限的信号f(t

35、)，若频谱只占据mm的范围（即其最高频率不超过fm），则信号可以用抽样时间间隔不大于1/(2 fm)的等间隔抽样值唯一地表示（其中m 2 fm ）。 时域抽样定理还可以表述为：抽样频率大于或等于信号的最高频率fm的两倍时，一个频谱受限信号可以用采样信号唯一地表示。 通常把最低允许抽样频率(fs2 fm)称为奈奎斯特(Nyquist)频率，而把最大允许的抽样时间间隔(Ts1/(2 fm)称为奈奎斯特间隔。,不满足抽样定理时产生频率混叠现象,只有满足以下条件（恢复原信号的必要条件）：,Fs()才不会产生频谱的混叠。这样抽样信号fs(t)保留了原连续信号f(t)的全部信息，完全可以用fs(t)唯一的

36、表示f(t)，或者说完全可以由fs(t)恢复出f(t)。,由抽样信号恢复原连续信号,取主频带 ： 时域卷积定理：,矩形函数,采样信号,低通滤波器,原信号,频域抽样定理的内容是：若信号 为时限信号，它集中在 的时间范围内，若在频域中，以不大于 的频率间隔对 的频谱 进行抽样，则抽样后的频谱 可以唯一地表示原信号。,二、频域抽样定理,根据时域和频域的对称性，可由时域抽样定理直接推出频域抽样定理。,偶函数,变量代换,抽样定理小结,时域对 抽样等效于频域对 重复，时域抽样间隔不大于 。 频域对 抽样等效于时域对 重复，频域抽样间隔不大于 。 满足抽样定理，则不会产生混叠。 工程实际中许多信号的频谱相当

37、宽广，采样频率一般不可能，同时也没有必要达到其最高频率的两倍。因此，所谓频谱受限信号往往是人为地截取关心的频段，采样信号与原信号之间是在此意义上的相互对应。,例3-11-1,例如音频信号：03.4 kHz，,本章总结,3-1,解,由于f(t)是奇函数，因此,习题,3-1,由于：,因此 三角形式的傅里叶级数为：,指数形式的傅里叶系数为：,因此 指数形式的傅里叶级数为：,3-2,解,由于f(t)是偶函数，因此,因此三角形式的傅里叶变换为：,已知：,因此,3-2,因此,直流分量：,基波分量幅值：,二次谐波分量幅值：,三次谐波分量幅值：,3-4,解,由于f(t)是偶函数，因此,显然,3-4,因此幅值谱为：,3-6,指数形式：,3-6,3-8,1）解,本题中的f(t)d的波形与3-4中的波形相同，只是在时间轴上超前了1/4个周期（1/4T）,因此,由3-4题已知,3-8,3-15,解：数学表达式为,3-15,3-15,3-15,因此频谱图如下：,3-19,1) 先写出F(w)的表达式,因此,3-21,由图知：,3-22,3-24,由分析知：,3-25,（1）,求三角函数的频谱密度函数,例3-6,3-26 （作业）,分析,已知：,3-27,3-28,3-32,3-33,