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1、第三节 定积分在物理学上的应用,一、变力沿直线所作的功,常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F S,若力是变力：,计算电场力 F 对它所作的功,例1 把一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标,原点处，,它产生一个电场,这个电场对周围的,电荷有作用力,若一个单位正电荷放在这个电场,中距离原点为 r 的地方，,那么电场对它的作用力,的大小为,（k是常数），,当这个单位,正电荷在电场中从r = a 处,沿 r 轴移动到 r = b处时，,解,功元素,所求功为,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,取r为积分变量，,取任一小区间 r,r+dr,解,建立坐标系如图,这一薄层水的重力为,功元素为,(千
2、焦),例2 一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，,满了水.,问要把池内的水全部吸出，需作多少？,池内盛,取x为积分变量,取任一小区间 x,x+dx,解,设木板对铁钉的阻力为,第一次锤击时所作的功为,问第n 次锤击时又将铁钉击入多少？,设n次击入的总深度为h 厘米,n次锤击所作的总功为,例3 用铁锤把钉子钉入木板，,设木板对铁钉的阻力,与铁钉进入木板的深度成正比，,铁锤在第一次锤击,时将铁钉击入1厘米，,若每次锤击所作的功相等，,依题意知，每次锤击所作的功相等,n次击入的总深度为,第n 次击入的深度为,是水的比重,二、水压力,那么，平板一侧所受的水压力为F=pA,在水深为h处的压强为,如果有一
3、面积为A的平板,水平地放置在水深为h处，,问题：如果平板垂直放置在水中，,求平板一侧所受的水压力,解,在端面建立坐标系如图,计算桶的一端面上所受的压力,例4 一个横放着的圆柱形水桶，,桶内盛有半桶水，,设桶的底半径为R，,水的比重为,取x为积分变量,取任一小区间 x,x+dx,小矩形片上各处的压强,近似相等,小矩形片的面积为,小矩形片的压力元素为,端面上所受的压力,解,建立坐标系如图,面积元素,求薄板所受的侧压力,例5 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板垂,直地浸人水中，斜边朝下，,直角边的边长与水面,平行，,且该边到水面的距离恰等于该边的边长，,质点M，,三、 引 力,引力的方向沿着两质点
4、的连线方向,质量分别为,相距为 r 的两个质点间,的引力的大小为,其中k为引力系数，,例6 有一长度为l、,线密度为 的均匀细棒，,在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的,计算该棒对质点 M 的引力,解,小段的质量为,小段与质点的距离为,引力,取y为积分变量,取任一小区间 y , y+dy ,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,本章小结,基本方法：元素法,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,极坐标情形,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,弧长,C曲线弧为,(4) 变力所作的功,(5) 水压力,(7) 旋转体的侧面积,(6) 引力,(8) 细棒的质量,(9) 转动惯量,二、典型例题,例1,解,由对称性,有,由对称性,有,由对称性,有,例2,解,如图所示建立坐标系.,于是对半圆上任一点,有,故所求速度为,故将满池水全部提升到池沿高度所需功为,例3,解,如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为,练习：若1（kg）的力能使弹簧伸长1(cm), 现在要使弹簧伸长10(cm),问需要做多少功？,解：F(x)=kx,（千克厘米）,