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1、6.1 实二次型及其标准形,一、二次型及其矩阵,二、合同变换,三、用配方法化二次型为标准形,四、用正交变换化二次型为标准形,一、二次型及其矩阵,称为 n 元二次型.,若aij 为实数，则称为实二次型.,若aij 为复数，则称为复二次型.,则 f (x1, , xn) = X TAX.,A: 二次型 f (x1, , xn) 的矩阵.,例1 f (x1, x2 , x3) = 2x12 3x22 + 4x32 - 2 x1x2 + 3x2 x3,A: f (x1, x2 , x3) 的矩阵,若令,则有,f (x1, x2 , x3) = XTBX,但 BT B, 故 B 不是f (x1, x2
2、, x3) 的矩阵,二次型,也记为 f (X) = X TAX. (AT = A),二次型 f (X)的秩：A 的秩.,在例1 中， f (x1, x2 , x3) 的矩阵,R(A) = 3 ,故 f (x1, x2 , x3) 的秩为 3 .,解：,例2：求对称矩阵 所对应的二次型。,解：,例3：已知二次型 的秩为2，求参数c。,解：,可逆线性替换,定义8-2：设 是两组变量， 我们将下列关系式称为从变量组 到 的一个线性替换（变换）。,(2),系数 矩阵,则线性变换（2）可记作：,若C可逆，则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。,若C正交，则称(2)为正交线性变换。,非退化线性替换
3、的性质：,（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换,证：,（2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换,证：,（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个 非退化线性替换；连续施行正交替换的结果 还是正交替换。,矩阵的合同,经过非退化线性变换,可化为,则,矩阵的合同：,所以，通过非退化线性变换， 新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.,矩阵合同的性质：,(1) 反身性：矩阵A与自身合同；,(2) 对称性：若A与B合同，则B与A合同；,(3) 传递性：若A与B合同，且B与C合同, 则A与C合同.,A与B等价：PAQ = B, P, Q 可逆；,A与B相似：P -1AP = B , P 可逆；,
4、请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？,三、用配方法化二次型为标准形,只含平方项的二次型 d1 y12 + d2 y22 + +dr yr2 (di 0) 称为标准形.,形如 z12 + + zp2 zp+12 - - zr2 的二次型称为规范形.,p: 正惯性指数；,r - p: 负正惯性指数；,|r - 2p|: 符号差.,例 用配方法化二次型为标准形,f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3,=(x12+2x1x2+2x1 x3 + x22 + x32 + 2x2 x3 )+ x22 + 2x32 +4 x
5、2x3,=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3+ 4x32) - 2x32,=(x1+x2+ x3 )2+ (x2+ 2 x3 )2 - 2x32,则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 2y32,（法1）,f (x1, x2 , x3) = x12 + 2x22 + 3x32 + 2 x1x2 + 6x2 x3 +2 x1x3,=(x12+2x1x2+2x1 x3)+ 2x22 + 3x32 + 6x2 x3,=(x1+x2+ x3 )2+ (x22 + 4x2 x3) + 2x32,=(x1+x2+ x3 )2+ (x2 + 2 x3)2 - 2x3
6、2,则 f (x1, x2 , x3) = y12 + y22 2y32,（法2）,即,(1): 从x1, x2, x3到 y1, y2 , y3的线性变换.,(2): 从y1, y2 , y3到 x1, x2, x3 的线性变换.,(1)与(2)所表达的x1, x2, x3与 y1, y2 , y3 的关系是相同的.,利用配方法与归纳法可以证明：,定理1 任一实二次型f (X) = X TAX 都可用配方法化为标准形.,例 f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3,令,则, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2
7、y3,= 2(y12 2y1y3 + y32) - 2 y22 - 2 y32 + 8y2 y3,= 2(y1 y3 )2 2( y22 - 4 y2 y3 + 4y32 )+6y32,= 2(y1 y3 )2 2( y2 - 2 y3 )2 + 6y32,= 2z12 2 z22 + 6z32,（法1）,上式最后一步使用的变换是,则 f = 2z12 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32,f (x1, x2 , x3) = 2 x1x2 +2 x1x3 - 6x2 x3,令,则, f (x1, x2 , x3)=2y12 2y22 4y1y3 + 8y2 y3,（法2）
8、,= 2(y12 2y1y3 ) - 2 y22 + 8y2 y3,= 2(y1 y3)2 - 2(y22 - 4y2 y3 )- 2 y32,= 2(y1 y3)2 - 2(y2 - 2y3)2 + 6y32,= 2z12 2 z22 + 6z32,上式最后一步使用的变换是,则, f = 2z12 2z22 + 6z32 = t12 + t22 - t32,特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零,特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项),定理2 任何一个实二次型的规范形都是惟一的.,证,将实二次型 f (X) = X TAX 经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：,d
9、1 y12 + + dp yp2 - dp +1yp+12 - - dr yr2,得 f (X) = X TAX 的规范形为,z12 + + zp2 zp+12 - - zr2,由于合同变换不改变二次型的秩，所以 r 是惟一确定的. 进一步还可证明正惯性指数 p 是惟一的，因此，负惯性指数r p 与符号差 |r 2p| 也是惟一的.,四、用正交变换化二次型为标准形,定理3 任一 n 元实二次型 f (X) = X TAX 都可用正交变换 X = CY 化为标准形 1 y12 + 2 y22 + + n yn2 其中 1 ，2 ，n是A 的特征值.,证,因A 为n 阶实对称矩阵，,所以存在正交矩
10、阵C , 使,CTAC = C-1AC = diag (1 ，2 ，n),令 X = CY , 则,f (X) = YT CTACY = 1 y12 + 2 y22 + + n yn2,例4 用正交变换化二次型为标准形,f (x1, x2 , x3) = x12 - 2x22 - 2x32 - 4 x1x2 + 4x1x3 + 8x2 x3,解,f (x1, x2 , x3)的矩阵,特征值：1= 2（二重特征值），2 = -7，,求1= 2 的特征向量：,x1 + 2x2 - 2x3 = 0,特征向量：1 = (-2, 1, 0)T , 2 = (2, 0, 1)T,将1, 2 正交化：,1 = 1 = (-2, 1, 0)T ,求1= -7 的特征向量：,3 = (1, 2, 2)T ,将 1, 2 , 3 单位化：,X = (x1 , x2 , x3 )T, Y = (y1, y2, y3 )T,则 X = CY 为正交变换，且,f = 2 y12 + 2 y22 - 7 y32,