5刚体的定轴转动.ppt

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1、刚体定轴转动 Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis,第五章,x.sun,5.1 刚体的运动,5.2 刚体的定轴转动定律,5.3 转动惯量的计算,5.4 转动定律应用举例,5.5 定轴转动中的功能关系,5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律,5.7 进动,本章目录,5.1 刚体的运动,一. 刚体的概念,刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。刚体是受力时不改变形状和体积的物体。,1.刚体是个理想化的模型，但是它有实际的意义。通常v固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，就可把固体视

2、为刚体。,2. 质点系的规律都可用于刚体，而且考虑到刚体的特点，规律的表示还可较一般的质点系有所简化。,的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。,二 . 刚体的运动形式,1.平动（translation）：,2.转动（rotation）：,它又可分为定轴转动和定点转动。,连接刚体内任意两点, 定轴转动：,且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。,运动中各质元均做圆周运动，, 定点转动：,整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。,运动中刚体上只有一点固定不动，,6,7,三、 刚体的定轴转动,定轴转动：,刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。,9,特点：,角位移，角

3、速度和角加速度均相同； 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周运动。,角位移,角速度,角加速度,离转轴距离为r的质元的线速度,质元的加速度与刚体的角加速度和角速度的关系为,10,角速度矢量,角速度的方向：与刚体转动方向呈右手螺旋关系。,角速度矢量,在定轴转动中，角速度的方向沿转轴方向。,匀加速运动,11,例题 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止。 （1）求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过 的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞 轮的加速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速 度和加速度。,解 （1）设初角度为

4、0方向如图所示，,12,量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+t 得,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,13,（2）t=25s 时飞轮的角速度为,14,（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。,的方向与0相同 ；,的方向垂直于 和 构成的平面，如图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为,由,15,边缘上该点的加速度 其中 的方向 与 的方向相反， 的方向指向轴心， 的大小 为,的方向几乎和 相同。,16,转动平面,沿Z 轴分量为 对Z 轴力矩,对O 点的力矩：,1. 力矩,5.

5、2 刚体的定轴转动定律,17,垂直于z轴，对转动无影响,把刚体看作无限多质元构成的质点系。,18,对转轴的垂直矢经， 是力在转动平面上的分力， 为对转轴的力矩,垂直于z轴，引起轴变形，对转动无影响,19,与 垂直,20,刚体定轴转动定律,由刚体的对轴的分布决定，与刚体运动及所受外力无关。是刚体的对轴的转动惯量。常以 表示,21,讨论：,（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速 的力矩为正；,惯性大小的量度；,转动惯量是转动,（1） M 一定，J,（5）与牛顿第二定律相比，有：,M 相应F ，,J 相应 m ，, 相应 a 。,22,质元的质量,质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布

6、的，所以上式可 写成积分形式,5.3转动惯量的计算,按转动惯量的定义有,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,23,讨论,（1）形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。 （2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 （3）同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动惯量就不同。 （4）国际单位,24,回转半径,考虑到刚体的转动惯量与总质量有关，可写为,rG 称为刚体对该定轴的回转半径。,就转动规律而言，刚体的质量等价于集中在离轴距离为rG的圆环上。,二. 计算转动惯量的几条规律,1.对同一轴J具有可叠加性,25,2.平行轴定理,（证明见书P

7、260P262）,26,27,例1 求质量为m、长为 的均匀细棒对下面 三种转轴的转动惯量： （1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直； （3）转轴通过棒上距中心为h的一点 并和棒垂直。,28,解 如图所示，在棒上离轴x 处，取一长度元dx，如 棒的质量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。,（1）当转轴通过中心并和棒垂直时，我们有,l/2,l/2,O,x,dx,A,A,29,因l=m，代入得,（2）当转轴通过棒的一端A并和棒垂直时，我们有,（3）当转轴通过棒上距中心为h的一点并和棒垂直时，我们有,30,例2 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的 转动惯量。设圆盘

8、的半径为R，质量为m，密度均匀。,解 设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、 宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的 质量dm= 2rdr 。可得,31,32,33,34,35,36,37,38,39,例3：一个哑铃有两个质量为m，半径为R的铁球和中间一根长l的连杆组成，和铁球的质量相比，连杆的质量可以忽略。求此哑铃对于通过连杆中心并和它垂直的轴的转动惯量，它对于通过两球的连心线的轴的转动惯量又是多少？,40,例4：从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的圆板，所形成的圆洞中心在距薄板中心R/2处，所剩薄板的质量为m，求此时薄板对于通过原中心而与板面垂直的轴的转动惯量。,

9、41,例1:一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体1和2，m1 m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为M。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。,解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1(T1= T1) ，,物体2这边的张力为,T2、 T2(T2= T2),5.4 转动定律应用举例,42,因m2m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以顺时针方向旋转， M的指向如图所示。可列出下列方程,式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮边缘上的切向加

10、速度和物体的加速度相等，即,从以上各式即可解得,43,而,44,当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有,上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a，再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1和m2相近，从而使它们的加速度a和速度v都较小，这样就能较精确地测出a来。,45,46,47,48,49,例4 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重

11、力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，重力矩为：,50,重力对整个棒的合力矩与全部重力集中作用在质心所产生的力矩一样。,51,52,1.力矩的功,力矩的功：当刚体在外力矩作用下绕定轴转动而发生角位移时，就称力矩对刚体做功。,力 对P 点作功：,5.5 定轴转动中的功能关系,53,因,力矩作功：,对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作功为零。,54,2.定轴转动的动能定理,根据定轴转动定理,外力矩所做元功为：,总外力矩对刚体所作的功为：,则物体在 时间内转过角位移 时,55,刚体的转动动能,因此整个刚体的动能,56,上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此叫刚体的

12、转动动能。,刚体定轴转动的动能定理：总外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,57,表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。,3.刚体的重力势能,即：,质心高度为：,对于一个不太大的质量为 的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。,58,4.机械能守恒,59,对于包括刚体的系统，如果在运动过程中，只有保守力做功，则系统的机械能守恒,60,例1如图，冲床上配置一质量为5000kg的飞轮， r1=0.3m, r2=0.2m.今用转速为900r/min的电动机借皮带传动来驱动飞轮，已知电动机的传动轴直径为d=10cm。（1）求飞轮的转动动能。

13、（2）若冲床冲断0.5mm厚 的薄钢片需用冲力9.80104 N，所消耗的能量全部由飞 轮提供，问冲断钢片后飞轮 的转速变为多大？,61,解 （1）为了求飞轮的转动动能，需先求出它的转动惯量和转速。因飞轮质量大部分分别布在轮缘上，由图示尺寸并近似用圆筒的转动惯量公式，得,皮带传动机构中，电动机的传动轴是主动轮，飞轮是从动轮。两轮的转速与轮的直径成反比，即飞轮的转速为,62,由此得飞轮的角速度,这样飞轮的转动动能是,（2）在冲断钢片过程中，冲力F所作的功为,63,这就是飞轮消耗的能量，此后飞轮的能量变为,由,求得此时间的角速度为,而飞轮的转速变为,64,1. 定轴转动刚体的角动量定理,刚体定轴转

14、动定理：,则该系统对该轴的角动量为：,由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 、 、，,5.6 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律,65,为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。,角动量定理的微分形式：,则由,得,对于该系统还有,66,2. 定轴转动刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角 动量L 为一恒量。,恒量,讨论：,a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J 保持不变， 当合外力矩为零时，其角速度恒定。,=恒量,=恒量,67,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大

15、。,c.若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为零,则系统对该轴的角动量守恒。,68,L,A,B,A,B,C,C,常平架上的回转仪,应用事例：,工作原理： 回转仪绕c轴高速运动，速度矢量为 ，由于c是其对称轴 L=I 如果忽略空气阻力和轴承处的摩擦力，则回转仪不受任何的外力矩（重力通过其质心，故力矩为零） L是恒矢量，即转轴c总是指向一固定的方向 由于c相对于支架的方向可以自由的选择，故当支架的方向改变时， c的方向不变。 例：将支架固定在船上， c沿水平方向，如果船发生倾斜，由于c总是保持水平，故可通过c相对于支架的方向的改变测出船的倾斜度。,69,直线运动与定轴转动规律对

16、照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,70,71,72,73,例 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当棒从水平位置自由释放后，它在竖直位置上与放在地面上的物体相撞。该物体的质量也为m ，它与地面的摩擦系数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。,解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能,74,零点，用表示棒这时的角速度,则,（1）,第二阶段是碰撞过程。因碰撞时间极

17、短，自由的冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则,（2）,式中棒在碰撞前的角速度，它可正可负。 取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。,75,第三阶段是物体在碰撞后的滑行过程。物体作匀减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为,（3）,由匀减速直线运动的公式得,由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得,（5）,76,亦即l6s；当取负值，则棒向右摆，其条件为,亦即l 6s,棒的质心C上升的最大高度，与第一阶段情况相似，也可由机械能守恒定律求得：,把式

18、（5）代入上式，所求结果为,当取正值，则棒向左摆，其条件为,(6),77,例 工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为JA=10kgm2，B的转动惯量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,78,解 以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可

19、得,为两轮啮合后共同转动的角速度，于是,以各量的数值代入得,79,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,80,5.7 进 动,进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴 转动的现象。,81,进动原因,刚体受重力矩,dt 时间内角动量增量,因,所以自转轴发生转动，产生进动。,82,用角动量定理研究进动,由角动量定理,所以,进动角速度,当旋进发生后，总角速度,只有刚体高速自转时，才有,这时也才有 和以上 的表示式。,当考虑到 对 的贡献时，,自转轴在旋,进中还会出现微小的上下的周期性摆动，,运动叫章动。,这种,第五章结束,牛顿力学全部结束,