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1、6-4 无源性和正实函数,北京邮电大学 电子工程学院 俎云霄,由R、L、C、M等无源元件组成的网络，其驱动点函数是有理正实函数，这是无源单口网络可以实现的充分必要条件，是无源网络综合的基础。,如果F(s)又是有理函数，则称其为有理正实函数。,如果函数F(s)满足: (1)当s为实数时，F(s)也为实数； (2)当 时， 则就称其为正实函数，简记为P.r.。,无源网络驱动点函数的正实性质,是有理正实函数。,正实函数的性质,1 正实函数的倒数也是正实函数,证明,假定F(s)是正实函数，则它必满足条件(1)和(2)。因此,(1)当s为实数时，因为F(s)为实数，所以，其倒数也为实数，即满足条件(1)
2、。,(2)设 ，则有,因为当 时有 ，所以由上式可知， 即满足条件（2），性质得证。,2 正实函数之和仍为正实函数,正实函数的性质,3 正实函数的复合函数仍为正实函数,设F(s)和f(s)都是正实函数，则其复合函数F f(s)也是正实函数。,证明,当s为实数时，f(s)为实数，所以，F f(s)也为实数，满足条件（1）。,当 时， ，从而 ，满足条件（2）。所以，复合函数 是正实函数。,正实函数条件的等价条件,(a)当s为实数时，也F(s)为实数；,(b) ，即在虚轴上F(s)的实部大于等于零；,(c) F(s)在s 的右半平面内解析，即:（i）极点不能在s 的右半开平面，（ii）若虚轴上有极
3、点，则这些极点应为单阶且其留数为正实数。,正实函数的检验,条件(b):先将分子、分母多项式的奇部和偶部分开，,如果 、 为负，则一定不符合条件(b)，因此，不需再进一步检验。而如果P(x)中的所有系数均为正，则P(x)必然非负， F(x)符合条件(b)。,如果除 、 为正外，其他某些系数为负，则必须要求P(x)在除原点外的正x 轴上不能有奇数个根才能保证对所有 都有 。偶数个根和复数根是允许的。,条件（c）:先看s 的右半平面是否有极点，这可以通过检查有理函数的分母多项式是否是霍氏多项式来判断；其次看虚轴极点是否单阶且有正留数，这可将有理函数展开成部分分式后加以确定。,正实函数的检验,三个极点的留数都是正实数，所以条件(c)满足。因此F(s)是正实函数。,正实函数的检验,解,例55,条件(a)显然满足。,检验 是否是正实函数。,由于 ，所以 ，从而 ，因此条件(b)也满足。,F(s)的分母显然是霍氏多项式，其根为 。,