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1、第四节 重积分的应用,一、问题的提出,把定积分的元素法推广到重积分的应用中.,(1)待计算量U对区域D有可加性,二、几何中的应用,1、平面图形的面积,D的面积,2、空间立体的体积,切平面与曲面,的体积 V .,例3. 求曲面,任一点的,所围立体,3、曲面的面积,设曲面的方程为：,如图，,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,若光滑曲面方程为隐式,则,且,问：如何计算曲面面积？,(1)找到曲面显方程,(2)找到曲面投影域,(3)表为二重积分并计算,解：,例6. 推导半径为 a 的球的表面积.,解:,设球面方程为,球面
2、面积元素为,方法2 利用直角坐标方程. (见书 P153),方法1 利用球坐标方程.,向量代数空间解析几何: 30分(3选择,2填空、1道综合题) 多元函数微分学：46分（2选择，2填空，3计算） 二重积分：24分（1填空，2计算）,三、物理中的应用,1、质量,薄片质量,立体质量,2、质心,由元素法,当薄片是均匀的，质心称为形心.,例8. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线,的方程为,内储有高为 h 的均质钢液,自重, 求它的质心.,若炉,不计炉体的,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，,故,其坐标为,例9. 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,解:,其形心坐标为:,面积为:,积
3、分区域,线,3、转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,例10.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径,解: 建立坐标系如图,的转动惯量.,解: 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,例11.求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),G 为引力常数,4、物体的引力,利用元素法,引力元素在三轴上的投影为,在上积分即得各引力分量:,对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的,的引力分量为,单位质量质点,例12.,设面密度为 ,半径为R的圆形薄片,求它对位于点,解: 由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,例13. 求半径 R 的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解: 利用对称性知引力分量,点,几何应用：平面图形面积 立体体积 曲面的面积,物理应用：质量、质心、转动惯量、对 质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,四、小结,在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 ,个一边与直径等长的同样材料,另一边的长度,求接上去的矩形薄片,薄片的质心恰好落在圆心上 ,要接上一,的均匀矩形薄片,思考题：,