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1、第九章 梁的应力,9-1平面弯曲的概念及实例,. 关于弯曲的概念,受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。,梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。,第九章 梁的应力,弯曲是杆件的基本变形之一。,第九章 梁的应力,9-1平面弯曲的概念及实例,纵向对称面,对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。,非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。,第九章 梁的应力,9-
2、1平面弯曲的概念及实例,本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。,对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。,第九章 梁的应力,9-1平面弯曲的概念及实例,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,纯弯曲 (pure bending) 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。,第九章 梁的应力,横力弯曲 (bending by transverse force) 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,. 纯弯曲时梁横截
3、面上的正应力,计算公式的推导,(1) 几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。,表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：,(a),9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,2. 相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。,9-2
4、 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：,平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。,此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转
5、动的轴 中性轴 (neutral axis)。,（f),9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,令中性层的曲率半径为r(如图c)，则根据曲率的定义 有,纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为,(c),9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离 y 成正比。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力
6、,(c),小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。,(2) 物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。,梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有,这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,(3) 静力学方面 藉以找出确定中性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。,法向内力元素dA只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即,(d),9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,梁的横截面
7、上与正应力相应的法向内力元素dA(图d )不可能组成轴力,法向内力元素dA不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩,将 代入上述三个静力学条件，有,(a),(b),(c),以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,其中,为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩，其单位为m3。,为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。,为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单
8、位为m4。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：,1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；,2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,(a),(b),(c),由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为,上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层
9、内的那根轴线将弯成圆弧。,将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：,(c),9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,应用此式时，如果如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。 但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面
10、上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值smax为,式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(section modulus in bending)，其单位为m3。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,简单截面对
11、于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数,(1) 矩形截面,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,(2) 圆截面,在等直圆杆扭转问题(3-4)中已求得：,而由图可见，2=y2+z2 , 从而知,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,而弯曲截面系数为,根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,(3) 空心圆截面,由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有,式中， 。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第
12、九章 梁的应力,根据对称性可知：,思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？,而空心圆截面的弯曲截面系数为,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,型钢截面及其几何性质：参见型钢表,需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。,型钢截面及其几何性质：参见型钢表,需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,. 纯弯曲理论的推广,工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁
13、的横截面由于切应力的存在而发生翘曲(warping)。此外，横向力还使各纵向线之间发生挤压(bearing)。 因此，对于梁在纯弯曲时所作的平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立。但弹性力学的分析结果表明，受满布荷载的矩形截面简支梁，当其跨长与截面高度之比 大于5时，梁的跨中横截面上按纯弯曲理论算得的最大正应力其误差不超过1%，故在工程应用中就将纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，即,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,例题9-1 图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截面上的最大正应力smax和
14、同一横截面上翼缘与腹板交界处a点处(图b)的正应力sa。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,解：在不考虑梁的自重( )的情况下，该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应的最大弯矩值为,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,由型钢规格表查得56a号工字钢截面,于是有,危险截面上点a 处的正应力为,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,该点处的正应力sa亦可根据直梁横截面上的正应力在与中性轴z垂直的方向按直线变化的规律，利用已求得的该横截面上的smax=160 MPa来计算：,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力
15、强度条件,第九章 梁的应力,显然，梁的自重引起的最大正应力仅为,而危险截面上的最大正应力变为,远小于外加荷载F 所引起的最大正应力。,如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面未变，但相应的最大弯矩值变为,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力, .梁的正应力强度条件,等直梁横截面上的最大正应力发生在最大弯矩所在横截面上距中性轴最远的边缘处，而且在这些边缘处，即使是横力弯曲情况，由剪力引起的切应力也等于零或其值很小(详见下节)，至于由横向力引起的挤压应力可以忽略不计。因此可以认为梁的危险截面上最大正应力所在各点系处于单轴应力状态。于是可按单向应力状态下的强度
16、条件形式来建立梁的正应力强度条件：,式中，s为材料的许用弯曲正应力。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,对于中性轴为横截面对称轴的梁，上述强度条件可写作,由拉、压许用应力st和sc不相等的铸铁等脆性材料制成的梁，为充分发挥材料的强度，其横截面上的中性轴往往不是对称轴，以尽量使梁的最大工作拉应力st,max和最大工作压应力sc,max分别达到(或接近)材料的许用拉应力st和许用压应力sc 。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,(a),(b),例题9-2 图a所示工字钢制成的梁，其计算简图可取为如图b所示的简支梁。钢的许用弯曲正应力s=1
17、52 MPa 。试选择工字钢的号码。,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,解：在不计梁的自重的情况下，弯矩图如图所示,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,强度条件 要求：,此值虽略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以选用56b工字钢。,由型钢规格表查得56b号工字钢的Wz为,9-2 梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,此时危险截面上的最大工作应力为,其值超过许用弯曲应力约4.6%。工程实践中，如果最大工作应力超过许用应力不到5%，则通常还是允许的。,如果计入梁的自重 ，危险截面仍在跨中，相应的最大弯矩则为,9-2 梁横
18、截面上的正应力梁的正应力强度条件,第九章 梁的应力,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,. 梁横截面上的切应力,(1) 矩形截面梁,从发生横力弯曲的梁中取出长为dx的微段，如图所示。,第九章 弯曲应力,矩形截面梁横力弯曲时切应力计算公式,式中，FS为横截面上的剪力；Iz 为整个横截面对于中性轴的惯性矩；b为矩形截面的宽度(与剪力FS垂直的截面尺寸)；Sz*为横截面上求切应力t 的点处横线以外部分面积对中性轴的静矩， 。,上式就是矩形截面等直梁在对称弯曲时横截面上任一点处切应力的计算公式。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,横截面上切应力的变化规律,前已讲
19、到，等直的矩形截面梁横力弯曲时，在对称弯曲情况下距中性轴等远处各点处的切应力大小相等。现在分析横截面上切应力t 在与中性轴垂直方向的变化规律。,上述切应力计算公式中，FS在一定的横截面上为一定的量，Iz和b也是一定的，可见t 沿截面高度(即随坐标y)的变化情况系由部分面积的静矩Sz*与坐标y之间的关系确定。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,可见：,1. t 沿截面高度系按二次抛物线规律变化； 2. 同一横截面上的最大切应力tmax在中性轴处(y=0):,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,
20、第九章 弯曲应力,(2) 工字形截面梁,1. 腹板上的切应力,其中,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,2. 在腹板与翼缘交界处：,在中性轴处：,对于轧制的工字钢，上式中的 就是型钢表中给出的比值 ，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,3. 翼缘上的切应力,翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其
21、它各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力 和 不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1构成的合力。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,根据 可得出,从而由切应力互等定理可知，翼缘横截面上距自由边为h处有平行于翼缘横截面边
22、长的切应力t1，而且它是随h按线性规律变化的。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,思考题: 试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,例题9-4 对于由56a号工字钢制成的如图a所示简支梁，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力t a 。梁的自重不计。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,图d为该梁的剪力图，最大剪力为FS,max，存在于除两个端截面A
23、，B和集中荷载F 的作用点处C 以外的所有横截面上。,(d),解：由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，且根据型钢表有Ix=65 586 cm4和 。前者就是前面一些公式中Iz，而后者就是我们以前在求tmax公式所 。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,(d),9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,其中：,于是有：,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。,tmax,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,. 梁的切应力强度条件,图a所示受满布
24、均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(state of uniaxial stress) (图d及图e)，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,该梁最大剪力所在两个支座截面的中性轴上E和F点，通常略去约束力产生的挤压应力而认为其处于纯剪切应力状态 (shearing state of stress ) (图f及图g)，从而其切应力强度条件是按纯剪切应力状态建立的，即梁的切应力强度条件为,亦即,式中，t 为材料在横力弯曲时的许用切应力。,9-3
25、梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,梁在荷载作用下，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。在选择梁的截面尺寸时，通常先按正应力强度条件定出截面尺寸，再按切应力强度条件校核。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,图a所示梁，其既有剪力又有弯矩的横截面m-m上任意点G和H处于如图h及图i所示的平面应力状态(state of plane stress)。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,需要指出，对于工字钢梁如果同一横截面上的弯矩和剪力都是最大的(图a,b,c)(或分别接近各自的最大值) 则该截面上腹板与翼缘交界点
26、处由于正应力和切应力均相当大 (图d)，因此处于平面应力状态(图e)。这样的点必须进行强度校核。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,但要注意，这时不能分别按正应力和切应力进行强度校核，而必须考虑两种应力的共同作用。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,此外，在最大弯矩所在横截面上还有剪力的情况，工字钢翼缘上存在平行于翼缘横截面边长的切应力，因此最大弯曲正应力所在点处也还有切应力，这些点事实上处于平面应力状态，只是在工程计算中对于它们通常仍应用按单轴应力状态建立的强度条件。,9-3 梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件,第九章 弯曲应力,
27、9-4 梁的合理设计,. 合理配置梁的荷载和支座,第九章 弯曲应力,9-4 梁的合理设计,第九章 弯曲应力,. 合理选取截面形状,(1) 尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数Wz增大。,由四根100 mm80 mm10 mm不等边角钢按四种不同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：,9-4 梁的合理设计,第九章 弯曲应力,图a所示截面,图b所示截面,图c所示截面,图d所示截面,9-4 梁的合理设计,第九章 弯曲应力,(2) 对于由拉伸和压缩许用应力值相等的材料 (例如建筑用钢) 制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴。对于在压缩强度远高于拉伸强度的材料(例如铸铁)制成的梁，宜采用T形等对中性轴不对称的截面，并将其翼缘置于受拉一侧，如下图。,9-4 梁的合理设计,第九章 弯曲应力,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,因,即,9-4 梁的合理设计,第九章 弯曲应力,. 合理设计梁的外形,可将梁的截面高度设计成考虑各截面弯矩大小变化的变截面梁；若使梁的各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用应力，则这种变截面梁称为等强度梁。,9-4 梁的合理设计,第九章 弯曲应力,