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1、,4.2 二次型的标准形与规范形,一、 用配方法化二次型为标准形,一、 用配方法化二次型为标准形,令,实对称矩阵A,经过非退化线性替换,二次型 f 化为:,存在可逆矩阵C,使得,二、 用正交替换化二次型为标准形,实对称矩阵A,存在正交矩阵Q,使得,存在正交矩阵Q,使得,QTAQ=,A的所有特征值,实对称矩阵A,经过正交替换,标准形,二次型化为：,例1 用正交替换化二次型,为标准形,解 二次型对应的矩阵为,特征值：,再将 单位化,得,将1,2正交化得,并写出所作的线性替换.,是正交矩阵,是正交矩阵,经过非退化的线性替换,二次型化为,例1 考虑二次型,有,称此二次型是正定二次型.,相应的矩阵,为正
2、定矩阵.,设实二次型,f ( x1 , x2 , , xn ) = XTAX ( AT = A ) ,如果对任何,则称二次型,A称为正定矩阵.,是正定二次型.,X = ( x1 , x2 , , xn )T o，有,例1 二次型,对任何,为正定二次型,X = (x1 , x2 , , xn )T o，,二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n),4.3 二次型和对称矩阵的有定性,一、正定二次型和正定矩阵,二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n),对x = ( 0 , , 0
3、 ,f (x1 , x2 , xn ) = 0 .,xr+1 , , xn )T o,，有,故二次型,不是正定二次型.,|A|大于零,二、二次型正定性的判别,如何判断一个矩阵或二次型是否正定呢?,以下给出几个矩阵为正定矩阵的充分必要条件.,准则1,准则2,f 的正惯性指数为n,f 正定,准则3,A的特征值都大于零,对称矩阵A为正定矩阵,称为矩阵A的顺序主子式.,准则4 对称阵A为正定矩阵,A的顺序主子式都大于零.,例1 判别下列矩阵或二次型是否正定, A正定,例1 判别下列矩阵或二次型是否正定,解 二次型对应的矩阵为：,该二次型正定,例2 取何值时,下面的二次型正定,解 二次型对应的矩阵为：,当 时，二次型正定.,Ex2: 取何值时,下面的二次型正定,B正定.,三、二次型的有定性,也不是 负定的.,有,二次型 是正定的,有,二次型 是负定的,有,二次型 是半正定的,使,有,二次型 是半负定的,使,例 二次型,不是 正定的;,(半),(半),此时,称为不定的.,1.二次型的负定性,矩阵A负定,矩阵 正定.,即奇数阶顺序主子式小于零，,偶数阶顺序主子式大于零.,A的顺序主子式都为负.,