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1、第 四 章,刚体的转动,刚体是特殊的质点系，其上各质元间的相对位置保持不变。,刚体（rigid body）,（或任意两点之间的距离始终保持不变）,任何情况下形状和体积都不改变的物体（理想化的模型 ）。,在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想模型。,刚体的运动形式：平动、转动,一 平动：,刚体在运动中，其上任意两点的 连线始终保持平行。,二 转动：对点、对轴（只讨论定轴转动）,定轴转动：各质元均作圆周运动，其圆心都在一条固定不动的直线（转轴）上。,转轴,各质元的线速度、加速度一般不同， 但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同,描述刚体整体的运动用角量最方便。,角速度方向规定
2、为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。,在刚体作匀变速转动时，相应公式:,、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。,角量与线量的关系,例 有高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动开始时，它的角速度 ，经300 s 后，其转速达到 18 000 rmin-1 转子的角加速度与时间成正比问在这段时间内，转子转过多少转？,解 令 ，即 ，积分,得,当 t =300 s 时,由,得,在 300 s 内转子转过的转数,三、力矩 转动定律 转动惯量,1、力矩,力矩的分量式:,对轴的力矩,单位：牛米（N m）,O,（1）若力 不在转动平面内，把力分解
3、为平行和垂直于转轴方向的两个分量,其中 对转轴的力矩为零，故 对转轴的力矩,（2）合力矩等于各分力矩的矢量和,（3）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消,2. 转动定律,（1）单个质点 与转轴刚性连接,（2）刚体转动定律,和 为合外力和合内力,将切向分量式两边同乘以r，变换得,分解为作用在质量元dm上的 切向力和法向力：,对等式左边积分得:,角加速度对所有质量元都相等,于是有,所以,其中,写成矢量形式,刚体绕定轴Z的转动惯量 (moment of inertia),对等式右边积分:,刚体的转动定律,m反映质点的平动惯性， J反映刚体的转动惯性。,力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因
4、。,质点系的转动惯量,(2) 单位为千克米2（kgm2）,3、转动惯量的计算,(1) 与转动惯量有关的因素： 转轴的位置、刚体质量及其分布情况。,单个质点的转动惯量,质量连续分布的刚体的转动惯量,(3) 转动惯量具有可加性,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,注意,只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。,例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,例2、求质量为m、半径为R、厚为l 的均匀圆盘的转动惯量。轴与盘平面垂直并通过盘心。,解：取半径为r宽为dr
5、的薄圆环,可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量也是mR2/2。,例3、求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。,解：取如图坐标，dm=dx,平行轴定理,前例中JC表示相对通过质心的轴的转动惯量， JA表示相对通过棒端的轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。可见：,推广上述结论，若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：JJCmd2。,这个结论称为平行轴定理。,练习：右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、球半径为R）,刚体定轴转动的转动定律的应用,例1、一个质量为M、半径为R的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，
6、绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落高度h时的速度和此时滑轮的角速度。,mg,mg,解：,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例2,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理,四、力矩的功 定轴转动的动能定理,式中,对i求和，得：,力矩的功率为：,当输出功率一定时, 力矩与角速度成反比。,比较：,定轴转动的动能定理,1、转动动能,刚体绕定轴转动时转动动能等于刚体的转动惯量与角速度平方乘积的一半。,2、刚体定轴转动的动能定理,设在外力矩 M 的作用下，刚体绕定轴发生角位移d,元功
7、：,合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,刚体定轴转动的动能定理,例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。,解：棒下摆为加速过程，外力矩为重力对O的力矩。 棒上取质元dm,当棒处在下摆角时，该质量元的重力对轴的元力矩为,重力对整个棒的合力矩为,代入转动定律，可得,例4已知：如图示，,。,求： 杆下摆到 角时，,解：,（杆+地球）系统，,(1),(2),(1)、(2)解得：,只有重力作功，,E守恒。,角速度,均匀直杆质量为m，长为l，,初始水平静止。,轴光滑，,五、
8、角动量 角动量守恒定律,1、质点的角动量,质点相对O点的矢径 与质点的动量 的矢积定义为该时刻质点相对于O点的角动量，用 表示。,直角坐标系中角动量的分量表示,右手定则,质点匀速率圆周运动时,注意：同一质点相对于不同的点，角动量可以不同。 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个点而言的。,质点对O点的角动量（的大小）,角动量的大小、方向均不变！,2、质点的角动量定理,作用在质点上的力矩等于角动量对时间的变化率。,外力矩对系统的角冲量（冲量矩）等于角动量的增量。,角动量定理的微分形式,角动量定理的积分形式,3、质点角动量守恒定律,质点所受外力对固定点的力矩为零，则质点对该固定点的角动量守恒。 质
9、点的角动量守恒定律。,例5、如图所示，在光滑水平面上有一个小球系在一条细绳的一端，该细绳通过平面上的小孔向下拉。初始时刻小球在平面上作半径为R的圆周运动，速度为v0 ，当下拉细绳使小球以半径R/2作圆周运动时，其速度是多大？,解：先作受力分析：,通过受力分析，在根据力矩的计算公式，我们知道：如果以质点运动的圆心作为参考点，则合力矩为零,则质点运动时，对以圆心为参考点的角动量是守恒的。,例题6、已知一颗卫星运行时的近地点距离地心7000公里，速度为9公里/秒。试求卫星的远地点距离地心的距离及其在该点处的速度。设地球的质量为已知。,解：受力分析可知：若以地心为参考点，卫星在整个椭圆轨道上运动时角动
10、量都是守恒的。即卫星在近地点处相对于地心的角动量等于在远地点处相对于地心的角动量。,另外，在卫星从近地点运动到远地点的过程中，机械能守恒，于是我们有：,联立求解上述方程组即可求出R和v。,设卫星在远地点处距离地心R，速度为v，则有：,4、质点系的角动量定理,1、质点系对固定点的角动量定理,对由n个质点组成的质点系中第i个质点，有：,对i求和有：,得：,作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系角动量对时间的变化率。 质点系对固定点的角动量定理,2、质点系对轴的角动量定理,因有：,质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动,定轴转动刚体的角动量的增量等于合外力矩对冲量矩。,3、刚体组对轴的角动量
11、守恒定律,外力对某轴的力矩之和为零，则该物体对同一轴的角动量守恒。,对轴的角动量守恒定律,角动量守恒定律的两种情况：,1、转动惯量保持不变的刚体,例：回转仪,2、转动惯量可变的物体,例：旋转的舞蹈演员,当变形体所受合外力矩为零时，变形体的角动量也守恒,如：花样滑冰 跳水 芭蕾舞等,克服直升飞机机身反转的措施：,装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩,装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消,例7,一根长为l的轻质杆，端部固结一小球m1 ，,碰撞时重力和轴力都通过O，,解：,选m1（含杆）+ m2为系统,另一小球m2以水平速度v0碰杆中部并与杆粘合。,求：碰撞后杆的角速度,对O 力矩为零，故
12、角动量守恒。,解得：,有,质点与刚体力学规律对照表,力 质量m 牛顿第二定律,力矩 转动惯量 转动定律,动量 冲量 动量定理 动量守恒定律,角动量 冲量矩 角动量定理 角动量守恒定律,质点与刚体力学规律对照表,平动动能,力的功,动能定理,功能原理,转动动能,力矩的功,动能定理,功能原理,刚体(定轴转动),质点,减小,m: mg-T2= ma a=R1=r2 , 2=2ah 求解联立方程，代入数据，可得 =2m/s, T1=48N, T2=58N。,m1: T1R=J= m1R21,m2: T2r-T1r = m2r22,例题9 质量m1=24kg的匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，一轻绳缠绕于盘上，另一端通过质量为m2=5kg的具有水平光滑轴的圆盘形定滑轮后挂有m=10kg的物体，如图所示。求当物体m由静止开始下落了h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。,解 各物体受力情况如图所示。,解 (1)系统(圆盘+人)什么量守恒？ 系统角动量守恒：,上式正确吗？,错！因为角动量守恒定律只适用于惯性系。 所以应代入人相对于惯性系(地面)的角动量。,人对地=,+,正确的角动量守恒式子是：,解出：,(2) 欲使盘静止，可令,得,式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(o)方向一致。,