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1、5 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念,二、二次型的表示方法,三、合同矩阵,四、化二次型为标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型 .,例如,为二次型的标准形.,称为二次型的规范形 ,例如,为二次型的规范形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,二次型的矩阵及秩,解,例2,三、合同矩阵,四、化二次型为标准形,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化
2、为标准形,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,解,step1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例3,从而得特征值,step2求特征向量,step3将特征向量正交化,得正交向量组,step4将正交向量组单位化，得正交矩阵P,于是所求正交变换为,说明,五、小结,实二次型的化简问题，在理论和实际中经常 遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一 对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩 阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题， 请同学们注意这种研究问题的思想方法,2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法拉格朗日配方法,思考题,思考题解答,