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1、变厚度矩形薄板问题,1.变厚度矩形薄板问题的发展 2.变厚度矩形薄板问题平衡微分方程 3.变厚度矩形薄板问题的求解 4.变厚度矩形薄板问题的DQ解法,1.变厚度矩形薄板问题的历史发展,（1）变厚度矩形薄板问题背景介绍 （2）现有解法的介绍,实际工程中为了提高材料的利用率，减轻结构的自重等需要，很多情况下要根据外界载荷和支撑情况而使板的厚度作相应变化，变厚度矩形薄板就是其中用的较多的一种工程结构，因而研究变厚度矩形薄板的弯曲问题有着重要的理论与实际意义。,1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （1）变厚度矩形薄板问题背景介绍一,1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （1）变厚度矩形薄板问题背景介绍二,长
2、期以来，有关等厚度板的研究非常多, 而涉及变厚度板则较少。变厚度矩形板弯曲间题的研究最早可追溯到R.G.Ossion(1 9 3 4 年)对一类线性变厚度板给出了级数解,对阶梯形板给出了统一解式, 并以此来逼近连续的单向变厚度板。自60 年代以来, 由于计算机的应用, 伴随有限元法的兴起, 使计算力学得到飞跃发展, 一般的板间题均可用有限元法和差分法解之, 但误差较大, 求解不甚经济。,1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （1）变厚度矩形薄板问题背景介绍三,近几年来, 利用求解对象的特征, 采用半解析法来解决问题的途径, 愈加受到推崇。目前有关变厚度矩形板的专门方法, 大多针对单向变厚度、两对边
3、简支的矩形板(称Levy 型板) , 其中有限条法较为有效, 然而, 在具体实施中较繁琐。以下简单介绍几种常见而有效的针对变厚度矩形薄板问题的解法。,1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （2）现有解法的介绍一,a.变厚度矩形薄板的GD解法 基本思路：该方法从泰勒级数出发，用全域内节点函数的加权和来表示该点的各阶导数值。 好处：GD法便捷，思路明确，是求解变厚度薄板弯曲问题、解决工程实例问题的一种有力工具。,1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （2）现有解法的介绍二,b.变厚度矩形薄板弯曲间题的插值矩阵法 单向变厚度型板的弯曲问题, 用单三角级数把矩形板的控制方程化成常徽分方程边值间题, 然后采用两
4、点边值问题的擂值矩阵法求解板的方程。 实践结果表明,用该方法求解变厚度板的方法，简洁,精度高，通用性强, 计算稳定, 收敛也快，使用方便。,1.变厚度矩形薄板问题的历史发展 （2）现有解法的介绍三,针对矩形薄板的动力响应问题，提出了一种有效的方法：DQ半解析法 . 本方法针对矩形薄板的振动控制微分方程，在空间域采用DQ法，即微分求积法在时间域取级数，采用时域配点的方法，得到求解以板各节点动力响应位移场为全部待定参数的线性方程组，只需一次求解该方程组即得到全部待定参数，进而得到各节点的动力响应位移场，再由高阶Lagrange插值得到全域内的动力响应位移场该法和之前提到的GD法类似。,2.变厚度矩
5、形薄板力学平衡微分方程,（1）根据等厚度矩形薄板的平衡微分方程推导变厚度矩形薄板平衡微分方程 （2）考察厚度沿某一方向线性变化的情况,（D=常数）,等厚度矩形薄板弯矩、扭矩与挠度w的关系：,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程,（a）,等厚度矩形薄板平衡微分方程：,等厚度矩形薄板 变厚度矩形薄板,?,即： D=常数 D=D(x,y),则Mx,My,Mxy的表达式仍然成立，但弯曲刚度D变为x和y的函数。,假设：1.薄板厚度变化比较平缓；2.薄板中面仍然是平面。,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程,（b）,将D=D(x,y)带入Mx,My,Mxy的表达式，再将
6、Mx,My,Mxy带入薄板平衡方程：,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程,得到：,式（b）为变厚度矩形薄板的平衡微分方程,其中 = ， 式（c）为挠度w的变系数微分方程 。对于薄板厚度的不同变化规律，该微分方程的系数取不同的函数形式，要求用不同的方法求解。,2,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （1）平衡微分方程,进一步改写：,(c),2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化,薄板厚度沿着某一方向线性变化的情况虽然是一种特殊情况，但却是工程上比较常见的。,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化,如图，假定薄板y=b/2处厚
7、度为t0,有,则任意点厚度表示为 （ ）,将挠度视为x,y及参数的函数，并表达为：,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化,现在我们已经有,(c),2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化,将（d）、（e）带入（c）可以得到一个关于代数的方程，因为在-1到1之间取任意数值方程都成立，所以的所有各次幂的系数都应当等于零，得到如下一系列常微分方程：,2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化,（f）,(g),(h),2.变厚度矩形薄板力学平衡微分方程 （2）厚度沿某一方向线性变化,在求解问题的时候，可以先在边界条件下由(f)解出wo；然后将w0带入微分方程（g），解出w1；再将wo、w1带入（h），解出w2；以此类推。最后，将解出的wn带入表达式（e）,即得厚度沿某一方向线性变化问题的解答。,参考文献,安徽大学学报（自然科学版），1981年第二期 合肥工业大学学报（自然科学版)，第15卷第3期，1992年12月 河南师范大学学报(自然科学版)，第36卷第6期，2008年11月,