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1、材料力学,附 录 平面图形的几何性质,材料力学,选择材料与材料的机械性质有关,确定尺寸与截面大小、形状有关,拉压：应力均布，仅需满足 ， 不考虑形状；,扭转：应力不均布，出现 ，,在面积A相同，但形状不同的情况下，应 力分布不同。,平面图形的几何性质,材料力学,一、定 义,1、静矩,A,ydA,A,zdA,图形对y轴的静矩,图形对z轴的静矩,单位：,平面图形的几何性质,材料力学, 讨论,（1）静矩可0；0；0。,（2）若图形形心C已知，由静力学可知：,（3）求静矩的另一公式：,平面图形的几何性质,材料力学,（3）若,则,y、z轴称为形心轴。,若已知,则可确定z轴、y轴通过截面形心。,平面图形的
2、几何性质,材料力学,2、惯矩,A,ydA,A,zdA,图形对y轴的惯矩,图形对z轴的惯矩,单位：,平面图形的几何性质,材料力学, 讨论,（1）惯矩恒0；,（2）,所以,惯性半径,（单位： ）,平面图形的几何性质,材料力学,3、极惯矩,图形对o点的极惯矩,单位：, 讨论,（1）,平面图形的几何性质,材料力学,z,y,且,即,对o点极惯矩 =,对过o点同一平面内任意一 对相互垂直轴的惯矩之和,平面图形的几何性质,材料力学,所以 只与原点o有关，即,（2）,平面图形的几何性质,材料力学,4、惯积,图形对y、z两轴的惯积,单位：, 讨论,（1）,可0；0；0；,（2）若图形有一对称轴，则,平面图形的几
3、何性质,材料力学,（3）若,则y、z轴称为主惯性轴（主轴）。,对称轴一定是主轴，主轴不一定是对称轴。,通过形心的主轴称为形心主惯性轴。,平面图形的几何性质,材料力学,例：1、矩形。求,解：,（1）,（2）,dz,同理,c,平面图形的几何性质,材料力学,（3）,例：2、圆形。,已知,则,而,所以,平面图形的几何性质,材料力学,二、组合图形的几何性质,根据定义：,整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积）等于各个 分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积）之和。,平面图形的几何性质,I,II,III,材料力学,例如:,则,同理,平面图形的几何性质,材料力学,空心圆,其中,平面图形的几何性质,材料力学,平面图形的
4、几何性质,材料力学,三、平行移轴公式,已知:,(y、z轴过形心C),求,解：,代入定义式：,平面图形的几何性质,材料力学,同理,平面图形的几何性质,材料力学,平行移轴公式,注意：,（1）两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两 平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩 来换算;,（2）截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心 轴的惯性矩最小.,平面图形的几何性质,材料力学,例：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。,解:,(1)求形心,C,任选参考坐标系,如,I,II,而,平面图形的几何性质,材料力学,(2)求,平面图形的几何性质,材料力学,四、转轴公式,设一平面图形,已知 求,解:
5、,平面图形的几何性质,材料力学,同理,改写为,并且,角从原始坐标轴量起,逆时针转向为正,反之则为负.,平面图形的几何性质,材料力学,平面图形的几何性质,材料力学,五、主惯性轴及主惯性矩,如坐标原点与形心重合,则称为形心主惯性轴。,对主惯性轴的的惯矩称为主惯性矩,平面图形的几何性质,材料力学,方向 的求解:,代入,得主惯矩为,平面图形的几何性质,材料力学,求,因此主惯性轴的惯性矩 即过o点各轴中的惯矩极值.,可求得:,平面图形的几何性质,材料力学,定理:截面图形对某点有一对以上不相重合的主惯轴,则 所有通过该点的轴都是主惯轴.,推论: 当截面图形过某点的一对主惯轴的惯矩相等,则过 该点的轴都是主惯轴.,(2) 任何具有三个或三个以上对称轴的截面图形,它所有的形心轴都是主惯轴,且惯矩相等.,平面图形的几何性质,材料力学,(3)若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力偶作用面垂直于铆钉 的轴线，则各铆钉的受力与该铆钉横截面形心至钉群截面形心 的距离成正比，而力的方向与该铆钉至钉群截面形心的连线相 垂直。,若各铆钉的材料相同、直径相等，且外力作用线通过钉群截 面形心，则每一铆钉的受力相等。,铆钉受力假设,(2)若各铆钉的材料相同、直径不等，而外力作用线通过钉群截面 形心，则每一铆钉的受力与该铆钉的横截面面积成正比。,