机电系统建模与仿真ch2.ppt

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1、第二章 机电传动系统建模方法,2.1 机电传动系统概述 机电传动系统的一般结构和功能 机电传动系统建模中应着重反映传动类型、传动方式、传动精度、动态特性及传动可靠性等对伺服系统的精度、稳定性和快速性的影响。,2.2 机构的数学建模 2.2.1 机构的运动学建模 基于闭环矢量法的系统运动学模型：连杆机构 定义各个杆件矢量R1, R2, R3, . 闭环矢量方程 ，正交分解 被动杆件的速度方程 被动杆件的加速度方程,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,举例：定义连杆矢量 闭环矢量方程 R2+R3=R1+R4 矢量投影方程 r2cos2+r3cos3 =r1cos1+r4cos4， r2s

2、in2+r3sin3=r1sin1+r4sin4 速度方程 C=D,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模, 加速度方程 A=B 仿真算法,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,D-H法建立运动学模型： 对多体系统的每一刚体建立固连坐标系； 应用坐标变换原理推导机构“末端坐标系”相对于“参考坐标系”的等价齐次变换矩阵。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,坐标变换 设Pxyz=px, py, pzT Puvw=pu, pv, pwT 矢量表示法： Puvw=puiu+pvjv+pwkw px=ixPuvw=puixiu+pv

3、ixjv+pwixkw py=jyPuvw=pujyiu+pvjyjv+pwjykw pz=kzPuvw=pukziu+pvkzjv+pwkzkw,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,方向余弦矩阵 用方向余弦矩阵描述同一点在不同坐标系统中的坐标变换，也可用于描述刚体定点旋转后的方位。 R为正交矩阵RT= R1，detL=1。 方向余弦矩阵中仅有三个独立元素，各元素间存在如下的约束关系,刚体的连续转动及其合成 当刚体作连续两次转动时，其合成转动的方向余弦矩阵为两次分转动的方向余弦矩阵的乘积，乘积的顺序与分转动的顺序相反。 特殊情形： （注意变换方向） 对x轴的转动 对y轴的转动 对z轴

4、的转动,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,以欧拉角表示的旋转矩阵 欧拉角方式I：绕Oz旋转角绕转动后的Ou轴转动角绕转动后的Ow轴转动角 欧拉角方式II：绕Oz旋转角绕转动后的Ov轴转动角绕转动后的Ow轴转动角 欧拉角方式III：绕Ox旋转角（偏转）绕Oy轴转动角（俯仰）绕Oz轴转动角（侧倾）,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,齐次坐标和变换矩阵 齐次坐标P=wpx, wpy, wpz, wT 齐次变换矩阵 齐次平移矩阵,举例：两关节机器人，平面运动问题 O0x0y0z0绕O0z0轴旋转q1O1x1y1z1沿O1x1轴平移l

5、1O1x1y1z1绕O1z1轴旋转q2 O2x2y2z2沿O2x2 轴平移l2O2x2y2z2 0T1=Rz, q1Tx, l1，1T2=Rz, q2Tx, l2，T=0T11T2 末端齐次坐标（在O2x2y2z2） P2=0 0 0 1 变换至O0x0y0z0 P0=TP2,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,2.2.2 典型传动机构的动力学模型 定轴传动机构的模型,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,齿轮传动机构的模型（1）：刚性传动轴情况,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,齿轮传动机构的模型（2）：弹性传动轴情况,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建

6、模,齿轮传动机构的模型小结： （1）从动轴上的转动惯量J等效到主动轴上时，Je=n2J，n为由主动轴到从动轴的传动比。 （2）类似地，对于从动轴上的刚度K、阻尼B，等效到主动轴上时， Ke=n2K， Be=n2B。 （3）从动轴上的力矩M等效到主动轴上为nM。 （4）从动轴上的转角折算到主动轴上为/n。 （5）主动轴向从动轴的转换也成立。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,备注：齿轮传动系统的模型结构简化的一些前提假设 （1）齿轮具有理想的齿廓几何形状。 （2）齿轮的材质是均匀的，在啮合过程中啮合刚度为常数。 （3）齿轮啮合过程无功率消耗。 （4）齿轮传动过程是平稳的，无脱啮现象。

7、,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,丝杠螺母传动机构的模型 惯性负载的等效转换：转换前后系统所具有的动能不变。 Je=mL(L/2)2,备注：其它物理量的等效转换 力（矩）负载的等效转换：转换前后力（矩）负载对系统的作功（功率）不变。 等效刚度：转换前后弹簧的变形能相等。 等效阻尼：转换前后阻尼的耗能功率相等。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,同步齿形带传动机构的模型 主动轮半径：ri 从动轮半径：rL 齿形带弹性变形： l= riirLL 对主动轮和从 动轮分别列写微分方程，并化简。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的

8、数学建模,思考题：机床进给系统及简化 K1,K2,K3I,II,III轴的扭转刚度 K4丝杆螺母副及基座的轴向刚度 J1,J2,J3I,II,III轴上的转动惯量 Mi驱动马达输入转矩 m工作台直线运动部分质量 B工作台直线运动速度阻尼 x0工作台位移 l丝杆螺母的螺距 z1,z2,z3,z4齿轮齿数,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,2.2.3 系统的动力学模型 拉格朗日法的基本原理 拉格朗日方程 T质点系动能，qj广义坐标，Qj广义力 或 L拉格朗日函数，L=KP；K、P质点系动能和势能；广义力Fj中不含有势力,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,广义力的计算 定义式

9、 在虚位移上的元功之和相等 有势力的广义力 V 势能函数,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,举例：二关节机械手 选取广义坐标，建立坐标系 计算系统动能和势能 求出拉格朗日函数及其偏导数 求广义力 代人拉格朗日方程,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,Kane法 Kane方程（1） ： 在具有独立广义坐标qj（j=1, 2, , k）和m（mk）个速度约束的非完整约束系统中，引入km个独立的系统广义速率us（s=1, 2, , km），使广义速度表达为广义速率的线性组合： Wjs和Wj为广义坐标qj和时间t的确定性函数；设若有us= ds/dt，称s为对应于us的伪坐标。,

10、第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,Kane方程（2）：质点系中任一质点的矢径ri（i=1, 2, , n）均为广义坐标和时间的函数： ri=ri(q1, q2, , qk, t) 质点的速度 将式中广义速度表达为广义速率线性组合的形式,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,Kane方程（3）：令 其中vi(s)称质点i的第s偏速度。 质点i的速度即表示成广义速率的线性组合,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,Kane方程（4）：将质点速度vi对广义速率取变分 故 ，代入动力学普遍方程,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构

11、的数学建模,Kane方程（5）：定义对应于us的广义主动力 广义惯性力 则 由s的相互独立性，得到Kane方程,利用Kane方程建立动力学模型的步骤（1）： 建立偏速度方程：对自由度为k的多刚体系统，记i、 vCi及vij分别为系统中任一刚体Bi的角速度、质心速度及其上任意质点Pij的速度，据Kane方程 由于刚体运动可视为平动和绕质心转动的合成 vij=vCi+iij 其各偏速度之间也存在类如上式的关系 vij(s)=vCi(s)+i(s)ij,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,利用Kane方程建立动力学模型的步骤（2）： 广义主动力方程：作用于刚体Bi的广义主动力 记Fi=Fi

12、j表示作用于刚体Bi的全部主动力之和，Li=ijFij表示全部Fij对Bi质心的矩的和。 质点系的广义主动力为各刚体上广义主动力之和 或写成矩阵形式,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,利用Kane方程建立动力学模型的步骤（3）： 广义惯性力方程：作用于刚体Bi的广义惯性力 记Fi*=mijaij=MiaCi，Li*=ijmijaij， Mi和aCi分别为刚体Bi的质量和质心加速度。 进一步地，因aij=aCi+iij+i(i ij),第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,写成正交分量形式 以ei=ei1, ei2, ei3表示L

13、i*的向量基,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,综合为矩阵形式,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,利用Kane方程建立动力学模型的步骤（4）： 将以上得到的广义主动力和广义惯性力代入Kane方程 写成矩阵形式 亦即,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,备注（1）：关于矢量的坐标列阵 对于任意的矢量=xi+ yj+zk，x、y和 z为其在直角坐标系的正交分量，则称下列矩阵为的坐标列阵,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,备注（2）：关于刚体的惯性（或惯量）矩阵 Jxx、Jyy、Jzz刚体对x、y、z轴的转动

14、惯量（惯量矩）；Jxy、Jyz、Jzx刚体的惯量积,备注（3）：主轴坐标系和惯量主轴 使惯量矩阵成为对角阵的连体坐标系称为刚体的主轴坐标系，各坐标轴称刚体的惯量主轴，惯量矩阵的对角线元素称为刚体的主惯量矩。刚体对不同参考点均存在不同的惯量主轴和主惯量矩，其中对质心的惯量主轴和主惯量矩称中心惯量主轴和中心主惯量矩。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,备注（4）：对于惯量主轴的判断 1. 刚体对称轴为其上各点的惯量主轴，过对称轴上一点并与之垂直的任意轴也是该点的惯量主轴； 2. 刚体对称平面上各点的法线为该点的惯量主轴； 3. 过球对称刚体对称点任意轴为该点的惯量主轴； 4. 中心惯量

15、主轴上各点的惯量主轴与前者平行。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,Kane法应用举例 选取广义速率 u1=d1/dt，u2=d2/dt 将质心速度和角速度表达 为广义速率的线性组合， 得到相应的偏速度 求解广义主动力 求解广义惯性力 建立动力学方程,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,联立约束法建立动力学模型 根据牛顿定律列出每个连接杆件（运动部件）的力（力矩）平衡方程，同时将系统约束方程一起联立，建立约束矩阵方程。通过求解约束矩阵方程不仅可求出各构件动力-运动关系，还可同时解出各构件间的约束反力。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,应用举例 力平衡方程 约

16、束方程 约束矩阵方程,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,2.3 面向实体的机构建模 2.3.1 基于ADAMS的机械系统建模 2.3.2 基于MATLAB的机构建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,2.4 试验建模 2.4.1 辨识的基本概念 试验建模或系统辨识：根据系统的输入输出数据建立系统数学模型。确定数学模 型结构和估计数学模型参数。 离线辨识与在线辨识。 试验建模的方法：频率响 应法、脉冲试验法、随机 信号试验法,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,2.4.2 最小二乘辨识方法 最小二乘法的定义（1）：数学模型的结构 对SISO系统：A(z1)y(k

17、)=B(z1)u(k)+e(k) 将算子A和B的各系数组成向量 =a1, a2, , an, b0, b1, b2, , bnT 并令(k)=y(k1), , y(kn), u(k), , u(kn)T y(k)=T(k)+e(k) 对N次观测，将k=n+1, , n+N代入上式，得到N个方程组成的线性方程组。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘法的定义（2）：线性方程组形式的数学模型 令Y=y(n+1), y(n+2), , y(n+N)T e=e(n+1), e(n+2), , e(n+N)T 那么 Y=+e,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘法的定

18、义（3）：残差及准则函数 记参数的估计值为 ，由模型估计y(k)的值 残差：估计值和实际观测的差 准则函数： 或 J()=(Y)T(Y) 使J()最小的估计值 称的最小二乘估计。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘的解： J()取极值的条件：J()=0 TTY=0 T=TY 普通最小二乘估计,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,噪声对估计值的影响 假若噪声e(k)是具有不同统计特性的随机变量，则引入加权因子w(k) 或令w=diagw(n+1), w(n+2), , w(n+N) J()=(Y)Tw(Y) 由J()=0， 当e(k)是相互独立且具有同分布的随机变量

19、，w=I 普通假定e(k)是与输入无关的白噪声并服从正态分布。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,统计特性： 无偏性 有效性 当w=R1时，加权最小二乘估计 是最小误差方差估计。 一致性：若e(k)是零均值白噪声序列（高斯白噪声）， 是的一致估计。 渐进正态性：若e(k)是高斯白噪声， 服从正态分布。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘递推算法（1）：无矩阵求逆，减少计算量和存储量；跟踪时变系统，实现在线辨识。 对于任意的N次观测，记PN=NTN1，有最小二乘解 增加一组新观测值uN+1=u(n+N+1)，yN+1=y(n+N+1)： YN+1=N+1T+eN+

20、1； 其中，YN+1=YNT, yN+1T，N+1T=NT, N+1， N+1=yn+N, , yN+1, un+N+1, , uN+1T,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘递推算法（2）：PN+1与PN间的递推关系,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘递推算法（2）： 与 间的递推关系,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘递推算法（3）：算法流程 由m组数据确定初值 和Pm；或简单令 ，P0=2I， 为大的正数。 引入新一组观测数据uN+1和yN+1，构造 N+1=yn+N, , yN+1, un+N+1, , uN+1T 计算增益矩阵

21、GN+1=PNN+1/(1+N+1TPNN+1) 计算预报误差 ，满足迭代终止条件时结束计算。 不满足迭代终止条件时计算PN+1=PNGN+1N+1TPN及 ，并转。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘适应算法（1）：数据饱和现象 增益矩阵随数 据的增长而渐趋于 0，使 。 发生数据饱和 时如参数估计值距 真值偏差尚远，算 法因失去修正能力 而失效；对时变过 程，将导致参数估计值不能跟踪时变参数的变化。 克服数据饱和的方法：设法降低旧数据的影响。对时变系统，在辨识算法中充分利用新数据所包含的信息。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘适应算法（2）：遗忘因

22、子法 引入遗忘因子（01），并令=2 须为接近于1的正数，适用于常系数或缓慢时变系统。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,最小二乘适应算法（3）：限定记忆法 设长度为N的数据，有NT=1, 2, , N，且PN=(NTN)1为已知，此时有估计 。 当有新数据uN+1, yN+1加入，据递推公式有 为保持数据长度为N，在序列中剔除数据u1, y1，并对pN+1作修正，有 存在估计 ，注意此处N+1T =2, , N, N+1，YN+1=yn+2, , yn+N, yn+N+1T。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,改进的最小二乘算法（1）：增广最小二乘法 在数学模型中引入

23、噪声模型： A(z1)y(k)= B(z1)u(k)+D(z1)e(k)，或y(k)=T(k)+e(k) =a1, a2, , ana, b0, b1, b2, , bnb, d1, d2, , dmT (k)=y(k1), , y(kna), u(k), , u(knb), e(k1), , e(km)T 在此要求e(k)是可测量的。 递推增广增广最小二乘法的算法与RLS的形式一致，只是参数向量的维数扩充了m维。 算法简单，具有一致无偏性。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法 在SISO模型中，将有色噪声e(k)描述为以白噪声序列(k)为输

24、入的线性系统的输出：D(z1)e(k)=(k)，D(z1)=1+d1z1+d2z2 +dmzm 将D(z1)算子作用于SISO模型： A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+D(z1)e(k) 即 A(z1)D(z1)y(k)=B(z1)D(z1)u(k)+(k) 将yf(k)=D(z1)y(k)和uf (k)=D(z1)u(k)视为白化滤波处理后的输出和输入。 A(z1)yf(k)=B(z1)uf(k)+(k),第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法求解步骤 令D(z1)=1，利

25、用基本最小二乘法对A(z1)和B(z1)进行估计得到 和 ； 计算 ； 由D(z1)e(k)=(k)，估计 ； 由D(z1)计算yf(k)=D(z1)y(k)及uf(k)=D(z1)u(k)，而后重新估计A(z1)和B(z1)； 重复步骤，直到满足估计精度。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,改进的最小二乘算法（2）：广义最小二乘法的递推算法 设tk时刻的模型和噪声参数估计分别为 和 在tk+1时刻对新加入数据yk+1和uk+1进行滤波： 并令 据 和RLS算法将系统参数 修正为 计算残差估计 ，并构造残差数据向量 据k+1和RLS算法将系统参数 修正为,第二章 机电传动系统建模方

26、法 机构的数学建模,改进的最小二乘算法（3）：辅助变量法原理 设存在与同阶的辅助变量矩阵Z，使 非奇异，且 （Z与e独立） 当矩阵Z的选择与噪声无关而与数据阵密切相关，并满足上述假设条件时， 即为的无偏一致估计： 辅助变量的选择方法：迭代辅助变量算法、自适应滤波法、纯滞后和Tally原理等。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,改进的最小二乘算法（3）：迭代辅助变量法的参数估计流程 首先据观测数据、Y计算最小二乘估计 。 将 代入关系式：A(z1)w(k)=B(z1)u(k)，求得w(k)，w(k)为假定的理想系统在u(k)输入下的输出。 构造辅助变量矩阵 求 ，并以 取代 ，返回步

27、骤反复循环迭代，直至取得满意辨识结果。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,2.4.3 频率响应法 线性系统的频率保持性及频响特性 频响函数的测量 依赖于幅值的非 线性问题 不能直接模拟 大多数系统的 工作状态,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,附：振动试验系统之阶梯正弦激振测试 采用正（余）弦激振信号； 激励频率根据试验要 求以一定步长改变； 在共振频率附近进 行较大密度的扫描； 激励力幅值宜保持恒 定，并足以激发各主 要模态，但也不宜过 大；激振功率大，信 噪比高，能保证测试 精度，但测试周期长。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,附：振动试验系统之脉冲激

28、振测试 理想脉冲函数的谱在(, +)上是常数； 用脉冲锤产生脉冲激励，接 触时间T可通过改变锤头材料 调整，锤头愈硬， T愈小； 在能覆盖试验带宽前提下， 锤头应尽量软，使激振能量集 中于试验带宽， 并避免损坏试 件表面，试验中应避免锤击力 过大和二次锤击； 设备简单，简便易行，但信 噪比较低，具体运用时，一般 在相同条件下进行多次重复试验，然后取平均值。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,附：振动试验系统之快速正弦扫描 使激励力为频率连续变化的正弦函数： f(t)=P0sin2(at+b)t，(0tT) ，a、b为正常数，T为扫描周期（通常为数秒），下限频率fmin=b，上限频率

29、fmax=aT+b； 兼有阶梯正弦激励的精确性和瞬态激励的快速性，激励能量分散而导致有的模态可能激励能量不足，信噪比低而精度不高， 加大冲击能 量则又可能 引入非线性。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,附：振动试验系统之随机激 振测试 在一段时间内，以随机信 号（白噪声）被测系统进 行连续激励； 信噪比较瞬态激励高， 较阶梯正弦激励低，测 试时间亦居两者之间； 抗干扰能力强，即只要 （在响应端）混入的噪声 与施加的激励在统计上是不相关的，则通过统计平均的计算过程，该噪声的影响就会自动被排除。,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,举例：电动机频率特性辨识实验系统,第二章 机电传动系统建模方法 机构的数学建模,2.4.4 其他辨识方法 卡尔曼滤波：对信号的平稳性和时不变性不作要求。将时变模型的参数(k)表达为 (k)=(k1)+ q(k1)，q(k1)为协方差矩阵Eq(k1)qT(k1)=Q的零 均值白噪声序列，利用 卡尔曼滤波递推公式 对(k)进行估计。 神经网络辨识：非线性系统,