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1、第五章,弯曲应力,在纵向对称面内受一对大小相等、方向相反的力偶作用的梁段称为处于纯弯曲状态。,可以看出, 纯弯曲状态下任意横截面上的内力都等于该力偶.,5-1 纯弯曲,纯弯曲,只在常值弯矩作用下的梁段.,横力弯曲,剪力和弯矩同时存在的梁段.,观察变形现象,1.横向线仍保持直线.,2.纵向线弯曲为曲线.,3.纵向线仍与横向线相正交.,4.底部纵线伸长，顶部纵线缩短.,5.纵线间距离保持不变.,1) 平面假设 对于纯弯曲，各横截面变形后仍然保持为平面，且仍与梁轴正交，只是横截面间做相对转动。,变形假设,2) 单向受力假设 各纵向线只在其直线方向受力作用，各纵向线之间无挤压或拉伸作用。,推论,1.横
2、截面上只存在正应力. (纵向线与横向线保持直角.) 2.正应力分布不是均匀的. (纵向线中既有伸长也有缩短的.),中性层和中性轴,如图所示，当梁弯曲时，底部各纵向纤维伸长，顶部各纵向纤维缩短。底部拉伸且顶部压缩，梁的底部和顶部之间必有一个平面，其上各纵向纤维长度不变化，该平面被称为梁的中性层，中性层与各横截面的交线成为中性轴。,5-2 纯弯曲时的正应力,变形后,1 变形几何关系,2 物理关系,根据单向受力假设, 横截面上任意点受单轴向应力作用.,根据胡克定律,s(y),正应力的分布规律,3 静力等效关系,这表明：中性轴必定通过截面形心.,则,两个问题：中性层位置？曲率半径r =？,静力等效关系
3、,横截面上无侧弯矩！,由于y轴是对称轴，则必有,静力等效关系,EIz 截面抗弯刚度,截面对Z轴的惯性矩,联立方程,最后可得,称为抗弯截面模量,弯曲正应力的分布,y,z,b,h,抗弯截面模量,纯弯曲,梁的受力段受剪力和弯矩同时作用，弯矩是横截面在梁轴上的位置函数。,梁的纯弯曲段只受弯矩的作用，并且各横截面上弯矩相等。,横力弯曲,5-3 横力弯曲时的正应力,这里，弯矩M是截面位置x的函数。,对于足够长的等截面直梁，横力弯曲时横截面上的正应力仍可按纯弯曲的正应力公式计算。,梁的弯曲正应力强度条件,解决三类问题,(1) 校核强度,(2) 设计截面尺寸,(3) 计算许用载荷,或,例 5-1 T形截面梁受
4、力及几何尺寸如图所示，已知截面对中性轴的惯性矩Iz=2610cm4,（1）试求梁上的最大拉应力和最大压应力，并指明产生于何处。（2）若s=160MPa，校核此梁的强度。,解：,(1) 求支反力,(2) 画弯矩图,37.5,62.5,50,14.1,25,极值点弯矩：,C点：,B点：,最大弯矩：,FQ,M,(kN),(kN.m),C,B,C,B,C截面,B截面,最大拉应力可能发生在C截面的下边缘或B截面的上边缘,故最大拉应力为 ， 发生在C截面的下边缘,(3) 求最大应力,C截面,B截面,最大压应力只可能发生在B截面的下边缘,(4) 强度校核,满足强度要求。,两个假设:,横截面上各点的切应力方向
5、与剪力平行，即平行于横截面的垂直边；,切应力沿截面宽度方向均匀分布，在高度方向上可能有变化。,5-4 弯曲切应力,矩形截面梁,研究方法:,FQ+dFQ,M,M+dM,FQ,dx,自由体平衡 在梁上截取宽度为dx的小段微元；,如图所示，在微段上选取一小块，作用在其上的所有应力应平衡.,FQ+dFQ,M,M+dM,FQ,dx,因为,FQ+dFQ,M,M+dM,FQ,dx,同理,梁腹板面积.,web,Flange,同理,需进行弯曲切应力强度条件校核的情况：, 铆接或焊接的工字梁，腹板较薄而高度较大，腹板与高度的比值小于型钢的相应比值。, 梁的跨度较短，或在支座附近作用较大载荷。, 焊接、铆接或胶合而
6、成的梁，焊缝、铆钉或胶合面。,弯曲切应力强度条件：,例 5-2 如图所示，木质简支梁受均布载荷作用，横截面为矩形，已知bh=0.12m0.18m,7MPa，0.9MPa, 请计算max/max的比率并校核梁的强度。,解:,1) 画出内力图，确定可能的危险截面.,q=3.6kN/m,A,L=3m,B,q=3.6kN/m,A,L=3m,B,2) 计算最大应力并校核强度.,梁是安全的.,q=3.6kN/m,A,L=3m,B,3) 计算 max/max 的比率.,对弯曲梁的强度起主要影响的是正应力.,梁的弯曲正应力强度条件,因此提高弯曲梁强度的措施应是减小弯矩M和提高抗弯截面模量Wz 。,显然,5-6
7、 提高弯曲强度的措施,1. 载荷及支座的合理配置,本例中a和Mmax 的最合理的值是多少？,1. 载荷及支座的合理配置,例 5-3 两端外伸梁如图所示，若已知钢材许用应力s=160MPa，试分别设计以下几种形状的截面尺寸和型号：（1）矩形（h/b=2）、（2）圆形、（3）工字钢、（4）管形（D/d=2）、（5）薄壁管（ D/d=1.1 ），并比较其经济性。,2. 梁的合理截面设计,5kN.m,15kN,10kN/m,0.5m,0.5m,0.5m,0.5m,例 5-3 s=160MPa，设计截面尺寸和型号：（1）矩形（h/b=2）、（2）圆形、（3）工字钢、（4）管形（D/d=2）、（5）薄壁管
8、（ D/d=1.1 ）,解：,1 求支反力,A,B,2.5kN,12.5kN,17.5kN,5kN,5kN.m,6.25kN.m,1.25kN.m,FQ,M,2 作剪力图和弯矩图,3 根据强度条件进行截面设计,(1) 矩形（h/b=2）,解得,(2) 圆形,(3) 工字钢,查型钢表，选择No10号工字钢,(4) 管形（D/d=2）,(5)薄壁管（ D/d=1.1 ）,2. 梁的合理截面设计,提高WZ：,尽可能使截面的面积分布得远离中性层。,对于矩形截面：,增加高度减小宽度来提高WZ。,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,T.Young
9、(英)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比为,如果抗拉和抗压能力不同，如脆性材料，则应采用上下非对称截面.,3. 合理设计梁的外形,变截面等强度设计.,本章完,2 惯性矩的计算,量纲: L4,单位: m4 或 mm4,惯性矩的值恒为正.,平面图形关于z轴和y轴的惯性矩定义：,关于z轴的惯性矩 .,关于y轴的惯性矩 .,极惯性矩 .,矩形关于形心轴zc和yc的惯性矩.,h,zc,yc,C,h/2,圆形关于形心轴zc轴和 yc轴的惯性矩.,D,zc,yc,C,由图形的对称性计算,同理，空心圆截面的惯性矩为：,组合图形的惯性矩,例如 空箱体截面关于形心轴zc 、 yc的惯性矩.,平行移轴公式,