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1、第七章 梁的应力和强度计算,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩 M ，又有剪力 FS 。,引言,只有与正应力有关的法向内力元素 d FN = dA 才能合成弯矩,只有与切应力有关的切向内力元素 d FS = dA 才能合成剪力,所以，在梁的横截面上一般 既有 正应力(normal stresses )， 又有 切应力(shear Stresses),简支梁 CD 段的特点： 其任一横截面上： 剪力等于零，而弯矩为常量。,若梁在某段内各横截面的 弯矩为常量 ，剪力为零， 则该段梁的弯曲就称为 纯弯曲(pure bending)。,纯弯曲（pure bending),A,B,
2、变形几何关系,物理关系,静力关系,观察变形， 提出假设,变形的分布规律,应力的分布规律,建立公式,71 梁的正应力 (Normal stresses in beams ),纯弯曲梁加载过程,纯弯曲梁加载过程,1、实验（ Experiment）,（1）变形现象（Deformation phenomenon ),纵向线,相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直,各横向线仍保持为直线，,各纵向线段弯成弧线，,横向线,（2）提出假设 ( Assumptions）,平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线.,(b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压.,Fi
3、g 5-3,推论（Inference）:,横截面的转动将使梁的凹边的纵向线段缩短，凸边的纵向线段伸长，由于变形的连续性，中间必有一层纵向线段 无长度改变。此层称为 中性层 (Neutral surface)。中性层与横截面的交线称为 中性轴( neutral axis).,变形几何关系,静力关系,实 验,2、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）,变形几何关系,静力关系,建立公式,实 验,3、物理关系(Physical relationship),所以,Hookes Law,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径,M,1、中性轴的位置（Loca
4、tion of the neutral axis),2、中性层的曲率半径 (Curvature radius of the neutral surface),?,变形几何关系,静力关系,实 验,平面假设,单向受力假设,中性层、中性轴,4、静力关系 (Static relationship）,横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系,这一力系简化，得到三个内力分量,(1),(2),(3),中性层的曲率半径,中性轴的位置,待解决问题,中性轴通过横截面形心,将应力表达式代入(1)式，得,将应力表达式代入(2)式，得,中性层的曲率半径,中性轴的位置,待解决问题：,将应力表达式代入(3)式，得,自然
5、满足,静力关系,实 验,平面假设,单向受力假设,中性层、中性轴,该式为等直梁纯弯曲时横截面上任一点处正应力的计算公式,式中:,(Flexure Formula),伽利略（G.Galiieo, 1564-1642）的研究中认为： 弯曲应力是均匀分布的 （两门新科学的对话1638年出版 ） ， 因而得不到正确的公式，大科学家有时也弄错。,y,y,中性轴将横截面分为受拉和受压两部分。,拉,压,拉,压,应用公式时，一般将 M，y 以绝对值代入。根据梁变形的情况直接判断 的正，负号。 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力（ 为正号）。凹入边的应力为压应力，（ 为负号）。,若横截面存在剪力，当l/h
6、5，公式仍然适用,1)当 中性轴为对称轴时(The cross sections symmetrical about the neutral axis) :,WZ称为抗弯截面系数,72 梁的正应力强度条件和应用,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式,2)对于中性轴不是对称轴的横截面 (The cross sections unsymmetrical about the neutral axis):,求得相应的最大正应力,强度条件（strength condition)： 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力,1、数学表达式（ma
7、thematical formula),2、强度条件的应用(application of strength condition),(2)设计截面,(1) 强度校核,(3)确定许可核载,对于铸铁等 脆性材料 (brittle materials)制成的梁，由于材料的,（两者有时并不发生在同一横截面上）,且梁横截面的 中性轴 (neutral axis) 一般也不是对称轴，所以梁的,要求分别不超过材料的 许用拉应力(allowable tensile stress) 和 许用压应力 (allowable compressive stress) 。,Solution:,1)from,arrive a
8、t,例题2：T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的 抗拉许用应力为 t = 30MPa ,抗压许用应力为C =160MPa 。已知截面对形心轴Z的惯性矩为 Iz =763cm4 , y1 =52mm, 校核梁的强度。,F1=9KN,F2=4KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,解：,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,C,B,2.5KN,4KN,80,y1,y2,20,20,120,z,B 截面,F1=9KN,F2=4KN,RA,RB,A,c,B,D,1m,1m,1m,2.5KNm,4KNm,C截面,C,B,2.5KNm,4KNm,例题3：由 n 片薄片组成的梁,Z,b,h,
9、当每片间的磨擦力甚小时，每一薄片就独立弯曲,Z,b,h,近似地认为每片上承担的外力等于,每一薄片中的最大正应力等于,Z,b,h,Z,b,h,若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲,最大正应力等于,在面积相同时，增大 WZ,合理设计截面,合理放置截面,6-7,目录,73 梁的合理截面形状及变截面梁,一、 截面的合理形状,目录,矩形截面,方形截面,圆形截面,矩形截面比方形截面合理,合理设计截面,目录,因为,方形截面比圆形截面合理,工字形截面比方形截面合理,环形截面比圆形截面合理,目录,合理放置截面,二、变截面梁（等强度梁）,目录,目录,一、 矩形截面梁横截面上的切应力,1、两点假设：
10、 切应力与剪力平行； 距中性轴等距离处，切应力相等。,2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡,Fs(x)+d Fs(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Fs(x),dx,图a,图b,图c,7-4 7-5 梁横截面上的切应力,Q(x)+d Q(x),M(x),y,M(x)+d M(x),Q(x),dx,图a,图b,图c,由切应力互等,t方向：与横截面上剪力方向相同； t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。 最大切应力为平均切应力的1.5倍。,二、其它截面梁横截面上的切应力,1、研究方法与矩形截面同;切应力的计算公式亦为：,其中Fs为截面剪
11、力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；,2、几种常见截面的最大弯曲切应力,Iz为整个截面对z轴之惯性矩；b 为y点处截面宽度。,？翼缘同腹板相比起什么作用？,7-6 梁的切应力强度条件,1、危险面与危险点分析：,一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,一、梁的正应力和切应力强度条件,2、正应力和切应力强度条件：,带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大切应力的情况与上述相同；还有一个可能危险的点，在Fs和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲）,3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：,4、需要校核切应力的几种特殊情
12、况：,铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时（如腹板较薄而高度偏大时），要校核切应力。,梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核切应力。,各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。,、校核强度：,解：画内力图求危面内力,例2 矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大切应力之比, 并校核梁的强度。,A,B,L=3m,求最大应力并校核强度,应力之比,解：画弯矩图并求危面内力,例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于G点，y1=52mm， y2=88mm， Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并说明T字梁怎样放置更合理？,4,画危面应力分布图，找危险点,校核强度,T字头在上面合理。,提高梁强度的主要措施,目录,合理设计截面,北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5,英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出: 矩形木梁的合理高宽比为,